方程求解（含一次与二次联立方程组）

Edexcel 国际 GCSE 进阶纯数学· 考纲第 3C 节· 25 分钟阅读

1. 用代入法求解一次-二次联立方程组★★☆☆☆⏱ 15 min

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📘 定义

一次-二次联立方程组

包含两个变量的两个方程组成的系统，其中一个是一次（线性）方程，另一个是二次方程。解是同时满足两个方程的坐标对 $(x, y)$ 。

本考纲要求的唯一求解方法是代入法，遵循固定的 5 步流程：1. 整理一次方程，将其中一个变量单独放在等号一侧。2. 将该表达式代入二次方程，展开后得到单变量二次方程。3. 求解该二次方程，得到被分离变量的取值。4. 将每个取值代回整理后的一次方程，得到对应的第二个变量的值。5. 将所有解代回两个原方程进行校验。

📐 例题

求解联立方程组： $x + y = 7$ 和 $x^{2} + y^{2} = 25$

1
步骤 1：整理一次方程，分离出 y。
$y = 7 - x$
2
步骤 2：将 $y = 7 - x$ 代入二次方程。
$x^2 + (7 - x)^2 = 25$
3
步骤 3：展开并化简，得到关于 x 的二次方程。
$x^2 + 49 - 14x + x^2 = 25 \\ 2x^2 - 14x + 24 = 0 \\ x^2 - 7x + 12 = 0$
4
步骤 4：因式分解并求解二次方程。
$(x - 3)(x - 4) = 0 \\ x = 3 \text{ 或 } x = 4$
5
步骤 5：将每个 x 值代回 $y = 7 - x$ ，得到对应的 y 值。
$若 $x = 3$：$y = 7 - 3 = 4$ \\ 若 $x = 4$：$y = 7 - 4 = 3$$
6
步骤 6：校验两组解都满足两个原方程。有效解为 $(3, 4)$ 和 $(4, 3)$ 。

Exam tip:

务必校验解：代入过程中对项取平方可能会生成不满足原一次方程的无效值，如果将其保留在最终答案中会导致失分。

2. 求解含有理根的三次方程★★★☆☆⏱ 15 min

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📘 定义

三次方程

次数为 3 的多项式方程，标准形式为 $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ 其中 $a \neq = 0$ 。所有 4PM1 考纲中的三次方程都至少包含一个有理根。

这项技能直接建立在你在 S3_T02 中学过的因式定理之上。遵循以下步骤：1. 使用有理根定理列出所有可能的有理根。对于大多数首项系数 $a = 1$ 的考题，可能的根是常数项 $d$ 的正负因数。2. 逐个代入测试候选根，直到找到满足 $f (k) = 0$ 的值 $k$ ，此时 $(x - k)$ 就是一个因式。3. 使用多项式除法或待定系数法将三次式分解为 $(x - k) (A x^{2} + B x + C) = 0$ 。4. 求解二次因式，得到剩余两个根。

📐 例题

求解三次方程 $x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12 = 0$

1
步骤 1：列出所有可能的有理根： $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$
2
步骤 2：代入测试 $x = 2$ ：
$f(2) = 8 - 12 - 8 + 12 = 0 \\ \text{因此 } (x - 2) \text{ 是一个因式}$
3
步骤 3：使用待定系数法将三次式分解为一次式 × 二次式：
$x^3 - 3x^2 -4x +12 = (x-2)(x^2 + bx + c) \\ = x^3 + (b-2)x^2 + (c - 2b)x - 2c \\ \text{对比系数：} b-2=-3 \Rightarrow b=-1; -2c=12 \Rightarrow c=-6 \\ \text{分解结果：} (x-2)(x^2 -x -6) = 0$
4
步骤 4：求解二次因式：
$x^2 -x -6 = (x-3)(x+2) = 0 \\ \text{全部根：} x = -2, x=2, x=3$

3. 文字情境类方程求解题★★★★☆⏱ 10 min

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考题经常要求你从文字情境中建立方程，包括几何场景或数字问题。在列方程之前务必明确定义变量，并且确保最终答案符合题目给出的约束条件（例如长度必须为正值）。

📐 例题

两个正整数的和为 12，它们的平方和为 74，求这两个数。

1
步骤 1：定义变量：设两个正整数分别为 $x$ 和 $y$ 。
2
步骤 2：根据题意列出方程：
$x + y = 12 \\ x^2 + y^2 = 74$
3
步骤 3：整理一次方程得到 $y = 12 - x$ ，代入二次方程：
$x^2 + (12 - x)^2 = 74 \\ 2x^2 -24x +70 = 0 \\ x^2 -12x +35 = 0 \\ (x-5)(x-7) = 0 \\ x=5 \text{ 或 } x=7$
4
步骤 4：求出对应的 y 值： $y = 7$ 或 $y = 5$ 。两个值均为正，因此这两个数是 5 和 7。

Exam tip:

即使解满足你列出的方程，只要不符合题目情境要求就必须舍去（例如负的长度、非整数的物体数量）。

4. 常见陷阱

错误做法:

将整理后的一次方程代回原一次方程，而不是代入二次方程

原因:

这只会得到恒等式，无法得到可求解的方程，浪费宝贵的考试时间

正确做法:

始终将整理后的一次表达式代入二次方程，得到可求解的单变量二次方程

错误做法:

忘记校验一次-二次方程组的解

原因:

代入过程中对项取平方可能会引入不满足原一次方程的增根，导致失分

正确做法:

将每一组解代回两个原方程，确认有效后再写出最终答案

错误做法:

测试三次方程的有理根时只试正根

原因:

考试题目中负有理根非常常见，跳过负根会导致你无法找到第一个一次因式

正确做法:

寻找三次方程的有理根时，务必同时测试常数项的正因数和负因数

错误做法:

求解联立方程只给出 x 的值

原因:

考试要求给出完整的坐标对才能获得全部分数，只给出单个变量的取值无法得分

正确做法:

所有联立方程题都要写出完整的带标注的解对

错误做法:

整理一次方程用于代入时出现符号错误

原因:

符号错误会传递到后续所有步骤，导致最终解完全错误

正确做法:

将整理后的一次方程代入二次方程之前，用测试值校验符号是否正确

5. 速查表

技能	核心步骤	考试校验点
一次-二次联立方程组	从一次方程分离变量 2. 代入二次方程 3. 求解二次方程 4. 求出第二个变量	校验所有解对都满足两个原方程
三次方程求解（有理根法）	列出所有可能的有理根 2. 测试找到第一个因式 3. 分解为一次式 × 二次式 4. 求解二次方程	校验所有根都满足原三次方程
文字情境方程题	明确定义变量 2. 根据题意列方程 3. 用合适的方法求解 4. 对照情境约束校验	舍去所有不符合题目情境的解

6. 常见问题

我需要校验联立方程的解吗？

需要。代入过程中对项取平方可能会引入不满足原一次方程的增根，因此请务必将所有解对代回两个原方程进行校验，避免失分。

在 4PM1 的三次方程考题中我能找到多少个有理根？

所有 4PM1 的三次方程题都至少包含一个有理根，因此你总能先分解出一个一次因式，再求解剩余的二次方程得到另外两个根。

深入阅读

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下一步

现在你已经掌握了 Edexcel IGCSE 进阶纯数学的核心方程求解技能，可以继续学习不等式求解，也就是恒等式与不等式单元的下一个子主题。这些方程求解技能在坐标几何、微积分等其他考纲模块中也高频出现，请务必练习过往真题以提升解题速度和准确率，全程写出完整步骤以最大化得分。