# 方程求解（含一次与二次联立方程组）

> Edexcel 国际 GCSE 进阶纯数学 · 4PM1（2016 考纲，高阶）
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-further-pure-math-s3-solution-of-equations/

本指南涵盖 Edexcel IGCSE 进阶纯数学的两项核心方程求解技能：通过代入法求解一次-二次联立方程组，以及求解至少含有一个有理根的三次方程，内容完全匹配 4PM1 考纲要求。

**先修:** [因式定理与余数定理（S3_T02）](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-further-pure-math-s3-factor-remainder-theorem/); [二次方程求解](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-further-pure-math-s2-quadratic-equations/)

## 学习目标

- 使用代入法求解一次-二次联立方程组
- 通过因式分解求解至少含有一个有理根的三次方程
- 将方程求解技巧应用于文字类和情境类考题
- 给出完整、经过验证的解集以获得考试全部分数

## 用代入法求解一次-二次联立方程组

**一次-二次联立方程组** — 包含两个变量的两个方程组成的系统，其中一个是一次（线性）方程，另一个是二次方程。解是同时满足两个方程的坐标对 $(x,y)$。

本考纲要求的唯一求解方法是代入法，遵循固定的 5 步流程：1. 整理一次方程，将其中一个变量单独放在等号一侧。2. 将该表达式代入二次方程，展开后得到单变量二次方程。3. 求解该二次方程，得到被分离变量的取值。4. 将每个取值代回整理后的一次方程，得到对应的第二个变量的值。5. 将所有解代回两个原方程进行校验。

**例题:** 求解联立方程组：$x + y = 7$ 和 $x^2 + y^2 = 25$

1. 步骤 1：整理一次方程，分离出 y。

   $$y = 7 - x$$
2. 步骤 2：将 $y = 7 - x$ 代入二次方程。

   $$x^2 + (7 - x)^2 = 25$$
3. 步骤 3：展开并化简，得到关于 x 的二次方程。

   $$x^2 + 49 - 14x + x^2 = 25 \\ 2x^2 - 14x + 24 = 0 \\ x^2 - 7x + 12 = 0$$
4. 步骤 4：因式分解并求解二次方程。

   $$(x - 3)(x - 4) = 0 \\ x = 3 \text{ 或 } x = 4$$
5. 步骤 5：将每个 x 值代回 $y = 7 - x$，得到对应的 y 值。

   $$若 $x = 3$：$y = 7 - 3 = 4$ \\ 若 $x = 4$：$y = 7 - 4 = 3$$$
6. 步骤 6：校验两组解都满足两个原方程。有效解为 $(3, 4)$ 和 $(4, 3)$。

> **考试提示:** 务必校验解：代入过程中对项取平方可能会生成不满足原一次方程的无效值，如果将其保留在最终答案中会导致失分。

*计算器:* allowed

## 求解含有理根的三次方程

**三次方程** — 次数为 3 的多项式方程，标准形式为 $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ 其中 $a \neq 0$。所有 4PM1 考纲中的三次方程都至少包含一个有理根。

这项技能直接建立在你在 S3_T02 中学过的因式定理之上。遵循以下步骤：1. 使用有理根定理列出所有可能的有理根。对于大多数首项系数 $a=1$ 的考题，可能的根是常数项 $d$ 的正负因数。2. 逐个代入测试候选根，直到找到满足 $f(k) = 0$ 的值 $k$，此时 $(x - k)$ 就是一个因式。3. 使用多项式除法或待定系数法将三次式分解为 $(x - k)(Ax^2 + Bx + C) = 0$。4. 求解二次因式，得到剩余两个根。

**例题:** 求解三次方程 $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0$

1. 步骤 1：列出所有可能的有理根：$\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12$
2. 步骤 2：代入测试 $x=2$：

   $$f(2) = 8 - 12 - 8 + 12 = 0 \\ \text{因此 } (x - 2) \text{ 是一个因式}$$
3. 步骤 3：使用待定系数法将三次式分解为一次式 × 二次式：

   $$x^3 - 3x^2 -4x +12 = (x-2)(x^2 + bx + c) \\ = x^3 + (b-2)x^2 + (c - 2b)x - 2c \\ \text{对比系数：} b-2=-3 \Rightarrow b=-1; -2c=12 \Rightarrow c=-6 \\ \text{分解结果：} (x-2)(x^2 -x -6) = 0$$
4. 步骤 4：求解二次因式：

   $$x^2 -x -6 = (x-3)(x+2) = 0 \\ \text{全部根：} x = -2, x=2, x=3$$

> **tip**
>
> 如果首项系数不为 1，在列出可能的有理根时请记得包含首项系数的负因数，例如对于 $2x^3 + ...$，可能的分母取值为 $\pm1, \pm2$。

*计算器:* allowed

## 文字情境类方程求解题

考题经常要求你从文字情境中建立方程，包括几何场景或数字问题。在列方程之前务必明确定义变量，并且确保最终答案符合题目给出的约束条件（例如长度必须为正值）。

**例题:** 两个正整数的和为 12，它们的平方和为 74，求这两个数。

1. 步骤 1：定义变量：设两个正整数分别为 $x$ 和 $y$。
2. 步骤 2：根据题意列出方程：

   $$x + y = 12 \\ x^2 + y^2 = 74$$
3. 步骤 3：整理一次方程得到 $y = 12 - x$，代入二次方程：

   $$x^2 + (12 - x)^2 = 74 \\ 2x^2 -24x +70 = 0 \\ x^2 -12x +35 = 0 \\ (x-5)(x-7) = 0 \\ x=5 \text{ 或 } x=7$$
4. 步骤 4：求出对应的 y 值：$y=7$ 或 $y=5$。两个值均为正，因此这两个数是 5 和 7。

> **考试提示:** 即使解满足你列出的方程，只要不符合题目情境要求就必须舍去（例如负的长度、非整数的物体数量）。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 将整理后的一次方程代回原一次方程，而不是代入二次方程
  - 原因: 这只会得到恒等式，无法得到可求解的方程，浪费宝贵的考试时间
  - 正确做法: 始终将整理后的一次表达式代入二次方程，得到可求解的单变量二次方程
- **错误做法:** 忘记校验一次-二次方程组的解
  - 原因: 代入过程中对项取平方可能会引入不满足原一次方程的增根，导致失分
  - 正确做法: 将每一组解代回两个原方程，确认有效后再写出最终答案
- **错误做法:** 测试三次方程的有理根时只试正根
  - 原因: 考试题目中负有理根非常常见，跳过负根会导致你无法找到第一个一次因式
  - 正确做法: 寻找三次方程的有理根时，务必同时测试常数项的正因数和负因数
- **错误做法:** 求解联立方程只给出 x 的值
  - 原因: 考试要求给出完整的坐标对才能获得全部分数，只给出单个变量的取值无法得分
  - 正确做法: 所有联立方程题都要写出完整的带标注的解对
- **错误做法:** 整理一次方程用于代入时出现符号错误
  - 原因: 符号错误会传递到后续所有步骤，导致最终解完全错误
  - 正确做法: 将整理后的一次方程代入二次方程之前，用测试值校验符号是否正确

## 速查表

| 技能 | 核心步骤 | 考试校验点 |
| --- | --- | --- |
| 一次-二次联立方程组 | 1. 从一次方程分离变量 2. 代入二次方程 3. 求解二次方程 4. 求出第二个变量 | 校验所有解对都满足两个原方程 |
| 三次方程求解（有理根法） | 1. 列出所有可能的有理根 2. 测试找到第一个因式 3. 分解为一次式 × 二次式 4. 求解二次方程 | 校验所有根都满足原三次方程 |
| 文字情境方程题 | 1. 明确定义变量 2. 根据题意列方程 3. 用合适的方法求解 4. 对照情境约束校验 | 舍去所有不符合题目情境的解 |

## 下一步

现在你已经掌握了 Edexcel IGCSE 进阶纯数学的核心方程求解技能，可以继续学习不等式求解，也就是恒等式与不等式单元的下一个子主题。这些方程求解技能在坐标几何、微积分等其他考纲模块中也高频出现，请务必练习过往真题以提升解题速度和准确率，全程写出完整步骤以最大化得分。

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