简单线性与二次不等式

Q: 如何判断二次不等式的解是单个区间还是两个独立区间？

对于首项系数为正的二次式： < 或 ≤ 对应的解是两个临界值之间的单个区间； 或 ≥ 对应的解是临界值两侧的两个独立区间。如果首项系数为负，上述规律相反，你也可以先将整个不等式乘以-1（记得翻转不等号！），把首项系数变为正数后再套用上述规则。

Edexcel 国际GCSE 进阶纯数学· 3D· 15 分钟阅读

1. 求解简单线性不等式★★☆☆☆⏱ 4 min

✓ 计算器

📘 定义

线性不等式

可以写成 $a x + b ⋈ c x + d$ 形式的不等式，其中 $⋈$ 是 $<, >, \leq$ 或 $\geq$ ，且 $x$ 的最高次幂为 1。

求解线性不等式的步骤和整理线性方程基本一致，但有一条核心规则：如果不等式两边同时乘以或除以一个负数，必须反转不等号的方向。

📐 例题

求解不等式 $3 x + 7 \geq 19 - 2 x$ ，将结果表示为 $x ⋈ k$ 的形式。

1
两边同时加上 $2 x$ ，将 $x$ 项全部移到左侧： $5 x + 7 \geq 19$
2
两边同时减去7： $5 x \geq 12$
3
两边同时除以5（正数，无需翻转不等号）： $x \geq \frac{12}{5} = 2.4$

📐 例题

求解不等式 $11 - 4 x < 3$ 。

1
两边同时减去11： $- 4 x < - 8$
2
两边同时除以-4（负数，翻转不等号）： $x > 2$

Exam tip:

在最后一步一定要反复检查你是否对不等式两边进行了负数乘除操作——忘记翻转不等号是求解线性不等式时最常见的错误。

2. 整理二次不等式与求解临界值★★★☆☆⏱ 5 min

✓ 计算器

求解二次不等式时，首先要将所有项移到不等号的一侧，另一侧为0，并且保证首项系数为正，这样后续判断符号会更简单。临界值就是对应二次方程的根。

📘 定义

二次不等式的标准形式

形如 $a x^{2} + b x + c ⋈ 0$ 的二次不等式，其中 $a > 0$ ，且 $⋈$ 是 $<, >, \leq$ 或 $\geq$ 。

📐 例题

将 $2 x^{2} + 3 x - 5 < x^{2} + 2 x + 1$ 整理为标准形式，并求出它的临界值。

1
两边同时减去右侧所有项： $x^{2} + x - 6 < 0$
2
对二次表达式进行因式分解： $(x + 3) (x - 2) = 0$
3
求解 $x$ 得到临界值： $x = - 3$ 和 $x = 2$

3. 为二次不等式选择正确的解区间★★★☆☆⏱ 6 min

✓ 计算器

得到临界值之后，你可以使用符号图或者二次抛物线草图来找出满足不等式的区间。对于首项系数为正的二次式，抛物线开口向上，因此它在两根之间的部分位于x轴下方，在两根之外的部分位于x轴上方。

方法对比

两种考试中都认可的有效解区间求解方法：

符号图法

在数轴上标记出临界值，在每个区间内选取一个测试值，判断二次表达式的正负，再选出和不等号要求符号匹配的区间。

+ 优点: 简单二次式求解速度快; 无需绘制图像

− 缺点: 需要手动代入数值测试; 跳过步骤很容易搞混符号

抛物线草图法

画出开口向上（首项系数为正）的U型抛物线，它和x轴的交点就是临界值，之后根据不等式要求直接读出抛物线在x轴上方或下方对应的区间即可。

+ 优点: 可视化程度高，符号出错概率低; 适用于所有类型的二次不等式

− 缺点: 需要基础的草图绘制能力; 耗时略长

📐 例题

使用符号图法求解 $x^{2} + x - 6 < 0$ 。

1
临界值是 $x = - 3$ 和 $x = 2$ ，将数轴划分为3个区间： $x < - 3$ 、 $- 3 < x < 2$ 、 $x > 2$
2
代入 $x = - 4$ 测试： $(- 4 + 3) (- 4 - 2) = 6 > 0$ （不满足 < 0 的要求）
3
代入 $x = 0$ 测试： $(0 + 3) (0 - 2) = - 6 < 0$ （满足不等式要求）
4
代入 $x = 3$ 测试： $(3 + 3) (3 - 2) = 6 > 0$ （不满足 < 0 的要求）
5
最终解： $- 3 < x < 2$

Exam tip:

一定要先判断不等式是严格不等（ $<, >$ ）还是包含等号（ $\leq, \geq$ ），以此确定是否要将临界值纳入解集。

4. 常见陷阱

错误做法:

除以或乘以负数时忘记翻转不等号方向

原因:

不等式乘以负数后数值在数轴上的顺序会反转，因此不等号方向也会反转（例如 $3 < 5$ 乘以-1后变为 $- 3 > - 5$ ）

正确做法:

只要你对不等式两边同时乘以或除以一个负数，立刻反转不等号方向，在提交答案前再次核对这一步。

错误做法:

为二次不等式选错解区间（例如首项系数为正的情况下，解 $< 0$ 时选了两根之外的区间）

原因:

对抛物线形状产生混淆：首项系数为正的二次式是U型，因此它在x轴下方的部分位于两根之间，而不是两根之外。

正确做法:

牢记当 $a > 0$ 时： $<$ 对应的解在两根之间， $>$ 对应的解在两根之外，也可以快速画一张抛物线草图来确认区间。

错误做法:

在求二次不等式的临界值之前，忘记将所有项移到不等号的同一侧

原因:

如果项分布在不等号两侧，你就无法正确对二次表达式进行因式分解求根，最终得到错误的临界值。

正确做法:

在因式分解或求解临界值之前，一定要先将不等式整理为 $a x^{2} + b x + c ⋈ 0$ 且 $a > 0$ 的标准形式。

错误做法:

在严格不等式（ $<, >$ ）的解集中纳入临界值

原因:

严格不等式要求表达式不能等于零，因此让表达式等于零的根不属于解集。

正确做法:

严格不等式使用 $<$ 或 $>$ （开区间），允许取等的不等式使用 $\leq$ 或 $\geq$ （闭区间）。

5. 速查表

不等式类型	标准形式（ $a > 0$ ）	解区间
线性	$a x + b > c x + d$	整理移项，乘除负数时翻转不等号
二次不等式 $< / \leq$	$a x^{2} + b x + c < 0$	单个区间： $x_{1} < x < x_{2}$ （或 $\leq$ ）
二次不等式 $> / \geq$	$ax^2 + bx + c > 0	两个区间： $x < x_{1}$ 或 $x > x_{2}$ （或 $\leq / \geq$ ）

6. 常见问题

给不等式两边乘以或除以负数时，是否需要翻转不等号方向？

是的！如果不等式两边同时乘以或除以一个负数，必须始终反转不等号的方向（< ↔ >，≤ ↔ ≥）。对正数进行乘除，或者对任意数进行加减操作时，不需要翻转不等号。

如何判断二次不等式的解是单个区间还是两个独立区间？

对于首项系数为正的二次式：* < 或 ≤ 对应的解是两个临界值之间的单个区间；* > 或 ≥ 对应的解是临界值两侧的两个独立区间。如果首项系数为负，上述规律相反，你也可以先将整个不等式乘以-1（记得翻转不等号！），把首项系数变为正数后再套用上述规则。

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下一步

现在你已经掌握了简单线性和二次不等式的求解方法，可以继续学习Edexcel IGCSE进阶纯数学中更进阶的不等式相关内容。接下来你将学习双变量线性不等式的图像绘制，用于区域问题和线性规划问题，还可以将不等式求解技巧应用到坐标几何交点问题和二次方程根的相关问题中。掌握这个基础主题也能为你后续学习函数定义域和优化问题提供支撑。请务必练习过往真题，巩固知识点，养成在考试环境下规避常见错误的习惯。