二次表达式的运算

Edexcel 国际GCSE 进阶纯数学· S2 2A· 15 分钟阅读

1. 二次表达式的因式分解★★☆☆☆⏱ 4 min

✓ 计算器

将形如 $a x^{2} + b x + c$ 的二次表达式因式分解，是将其改写为两个一次括号的乘积。对于首项系数为1的二次式（ $a = 1$ ），找到两个数，它们的乘积等于 $c$ ，和等于 $b$ 。对于首项系数大于1的非首一二次式（ $a > 1$ ），使用AC法：先计算 $a$ 和 $c$ 的乘积，找到该乘积的两个因数，它们的和等于 $b$ ，拆分中间项后分组因式分解。

📘 定义

二次式因式分解

将二次表达式 $a x^{2} + b x + c$ 改写为两个一次因式 $(m x + n) (p x + q)$ 乘积的过程，其中 $m, n, p, q$ 均为整数。

📐 例题

对 $2 x^{2} + 7 x + 3$ 进行因式分解

1
计算 $a \times c = 2 \times 3 = 6$ ，找到两个乘积为6、和为7的数：6和1。
2
用这两个数拆分中间项： $2 x^{2} + 6 x + x + 3$
3
分组因式分解： $2 x (x + 3) + 1 (x + 3) = (2 x + 1) (x + 3)$
4
展开验证： $(2 x + 1) (x + 3) = 2 x^{2} + 6 x + x + 3 = 2 x^{2} + 7 x + 3$ ，与原式完全一致。

Exam tip:

完成因式分解后务必将结果展开验证，检查算术错误，尤其是负号相关的错误，这是考试中失分的常见原因。

2. 对 $ax^2 + bx + c$ 使用配方法★★★☆☆⏱ 5 min

✓ 计算器

配方法将二次表达式改写为 $a (x + p)^{2} + q$ 的形式，可以直接得到对应抛物线图像的核心性质。对于首一二次式，将 $x$ 的系数取半后平方，调整常数项以保证等式成立。对于非首一二次式，先将前两项的 $x^{2}$ 系数提取出来，再在括号内进行配方运算。

📘 定义

配方式

$a (x + p)^{2} + q$

二次表达式 $a x^{2} + b x + c$ 的变形形式，其中 $a, p, q$ 均为常数，且 $a \neq = 0$ 。

📐 例题

将 $3 x^{2} - 12 x + 7$ 改写为 $a (x + p)^{2} + q$ 的形式

1
将前两项的 $x^{2}$ 系数3提取出来： $3 (x^{2} - 4 x) + 7$
2
在括号内配方：-4的一半是-2，-2的平方是4，在括号内同时加和减4： $3 [(x^{2} - 4 x + 4) - 4] + 7$
3
改写为完全平方形式： $3 [(x - 2)^{2} - 4] + 7$
4
展开外层括号并化简： $3 (x - 2)^{2} - 12 + 7 = 3 (x - 2)^{2} - 5$
5
展开验证： $3 (x^{2} - 4 x + 4) - 5 = 3 x^{2} - 12 x + 12 - 5 = 3 x^{2} - 12 x + 7$ ，结果正确。

3. 利用配方式求解二次函数图像特征★★★☆☆⏱ 4 min

✓ 计算器

当二次式被写为配方式 $a (x + p)^{2} + q$ 后，无需描点或解方程就可以直接读出对应抛物线图像的所有核心特征。这些特征在4PM1考试中高频出现，通常和二次函数图像绘制考点结合考察。

📘 定义

从配方式得到的二次函数核心特征

对于 $y = a (x + p)^{2} + q$ ：1. 对称轴为 $x = - p$ ，2. 顶点（拐点）坐标为 $(- p, q)$ ，3. 若 $a > 0$ ， $q$ 是二次函数的最小值；若 $a < 0$ ， $q$ 是二次函数的最大值。

📐 例题

对于二次函数 $y = 2 (x - 3)^{2} + 5$ ，写出它的对称轴、顶点坐标和最小值。

1
将给定形式与 $a (x + p)^{2} + q$ 匹配： $a = 2$ ， $p = - 3$ ， $q = 5$ 。
2
对称轴为 $x = - p = - (- 3) = 3$ 。
3
顶点坐标为 $(- p, q) = (3, 5)$ 。
4
由于 $a = 2 > 0$ ，抛物线开口向上，因此最小值为 $q = 5$ 。

Exam tip:

求顶点坐标时务必检查 $p$ 的符号：令括号内的项等于0来确认横坐标，不要仅凭记忆直接代入，避免符号错误。

4. 常见陷阱

错误做法:

对非首一二次式配方时，将系数 $a$ 从所有项中提取出来，例如错误地将 $3 x^{2} - 12 x + 7$ 写为 $3 (x^{2} - 4 x + 7)$ ，而非 $3 (x^{2} - 4 x) + 7$

原因:

这种操作改变了常数项的数值，会得到错误的 $q$ 值，进而得到错误的图像特征。

正确做法:

仅将 $a$ 从 $x^{2}$ 和 $x$ 项中提取出来，常数项留在括号外，再进行完全平方的调整。

错误做法:

混淆顶点横坐标的符号，例如将 $y = (x + 2)^{2} + 3$ 的顶点误认为是(2, 3)，而非(-2, 3)

原因:

错误套用公式 $x = - p$ ，当括号内为正号时容易出错，得到错误的图像坐标。

正确做法:

令括号内的项等于0： $x + 2 = 0 ⟹ x = - 2$ ，即可得到顶点的正确横坐标。

错误做法:

展开括号时忘记将减去的平方项乘以 $a$ ，例如错误地将 $3 [(x - 2)^{2} - 4] + 7$ 写为 $3 (x - 2)^{2} - 4 + 7$ ，而非 $3 (x - 2)^{2} - 12 + 7$

原因:

被减去的项位于括号内，需要和 $a$ 相乘，没有对其进行缩放会得到错误的常数项。

正确做法:

在合并常数项之前，先将 $a$ 分配到括号内的所有项上。

错误做法:

无论 $a$ 的符号如何，都默认 $q$ 是二次函数的最小值

原因:

如果 $a$ 为负，抛物线开口向下，此时 $q$ 是最大值，而非最小值。

正确做法:

首先检查 $a$ 的符号： $a > 0$ 说明 $q$ 是最小值， $a < 0$ 说明 $q$ 是最大值。

错误做法:

对非首一二次式完成因式分解后跳过展开验证步骤

原因:

因式分解时因数对的微小符号错误，会导致展开结果和原式不符，在考试中直接失分。

正确做法:

完成因式分解后立刻将结果展开，确认和原二次表达式完全一致。

5. 速查表

运算类型	步骤	核心输出
对 $a x^{2} + b x + c$ 因式分解	计算 $a \times c$ 2. 找到乘积 $a c$ 的两个因数，和为 $b$ 3. 拆分中间项，分组因式分解	$(m x + n) (p x + q)$
对 $a x^{2} + b x + c$ 配方	从 $x^{2}$ 和 $x$ 项中提取系数 $a$ 2. 将 $x$ 的系数取半、平方，调整常数项 3. 化简为标准形式	$a (x + p)^{2} + q$
求对称轴	从配方式 $a (x + p)^{2} + q$ 中计算 $x = - p$	经过顶点的竖直线方程
求顶点坐标	从配方式 $a (x + p)^{2} + q$ 中直接取 $(- p, q)$	拐点的坐标
求最值	检查 $a$ 的符号： $a > 0$ 对应最小值 $q$ ， $a < 0$ 对应最大值 $q$	二次函数的极值

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熟练掌握二次表达式运算，是你Edexcel IGCSE进阶纯数学课程中所有后续二次相关知识点的基础。在接下来的单元中，你会频繁使用这些技能求解二次方程、分析判别式、研究根的对称函数。因式分解和配方法同样是求解二次不等式、绘制抛物线、化简后续纯数学知识点中代数表达式的必备技能。你要定期用历年真题练习这些技能，避免常见的符号错误，提升解题速度，几乎每一份4PM1考试卷都会考察这些知识点，它们经常作为高分值多步大题的第一步出现。