# 二次表达式的运算

> Edexcel 国际GCSE 进阶纯数学 · 4PM1
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-further-pure-math-s2-manipulation-of-quadratic-expressions/

本指南覆盖Edexcel IGCSE进阶纯数学（4PM1）核心的二次表达式运算技能：$ax^2 + bx + c$的因式分解、配方法，以及利用配方式识别二次函数图像的核心特征。

**先修:** [基础代数展开与化简运算](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-maths-algebraic-expansion/); [了解抛物线的图像形状特征](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-fpm-quadratic-graphs-basics/)

## 学习目标

- 对形如 $ax^2 + bx + c$ 的二次表达式进行因式分解
- 将 $ax^2 + bx + c$ 改写为配方式 $a(x + p)^2 + q$
- 利用配方式求出二次函数图像的顶点、最大值/最小值和对称轴

## 二次表达式的因式分解

将形如 $ax^2 + bx + c$ 的二次表达式因式分解，是将其改写为两个一次括号的乘积。对于首项系数为1的二次式（$a=1$），找到两个数，它们的乘积等于$c$，和等于$b$。对于首项系数大于1的非首一二次式（$a>1$），使用AC法：先计算$a$和$c$的乘积，找到该乘积的两个因数，它们的和等于$b$，拆分中间项后分组因式分解。

**二次式因式分解** — 将二次表达式 $ax^2 + bx + c$ 改写为两个一次因式 $(mx + n)(px + q)$ 乘积的过程，其中$m,n,p,q$均为整数。

**例题:** 对 $2x^2 + 7x + 3$ 进行因式分解

1. 计算 $a \times c = 2 \times 3 = 6$，找到两个乘积为6、和为7的数：6和1。
2. 用这两个数拆分中间项：$2x^2 + 6x + x + 3$
3. 分组因式分解：$2x(x + 3) + 1(x + 3) = (2x + 1)(x + 3)$
4. 展开验证：$(2x + 1)(x + 3) = 2x^2 + 6x + x + 3 = 2x^2 +7x +3$，与原式完全一致。

> **考试提示:** 完成因式分解后务必将结果展开验证，检查算术错误，尤其是负号相关的错误，这是考试中失分的常见原因。

*计算器:* allowed

## 对 $ax^2 + bx + c$ 使用配方法

配方法将二次表达式改写为 $a(x + p)^2 + q$ 的形式，可以直接得到对应抛物线图像的核心性质。对于首一二次式，将$x$的系数取半后平方，调整常数项以保证等式成立。对于非首一二次式，先将前两项的$x^2$系数提取出来，再在括号内进行配方运算。

**配方式** — 二次表达式 $ax^2 + bx + c$ 的变形形式，其中$a,p,q$均为常数，且$a \neq 0$。

*记法:* $a(x + p)^2 + q$

> **mnemonic**
>
> 提取、取半、平方、调整（F-H-S-A）：使用这个四步助记法可以避免对非首一二次式配方时出现错误。

**例题:** 将 $3x^2 - 12x + 7$ 改写为 $a(x + p)^2 + q$ 的形式

1. 将前两项的$x^2$系数3提取出来：$3(x^2 - 4x) + 7$
2. 在括号内配方：-4的一半是-2，-2的平方是4，在括号内同时加和减4：$3[(x^2 -4x +4) -4] +7$
3. 改写为完全平方形式：$3[(x - 2)^2 - 4] +7$
4. 展开外层括号并化简：$3(x - 2)^2 - 12 +7 = 3(x -2)^2 -5$
5. 展开验证：$3(x^2 -4x +4) -5 = 3x^2 -12x +12 -5 = 3x^2 -12x +7$，结果正确。

*计算器:* allowed

## 利用配方式求解二次函数图像特征

当二次式被写为配方式 $a(x + p)^2 + q$ 后，无需描点或解方程就可以直接读出对应抛物线图像的所有核心特征。这些特征在4PM1考试中高频出现，通常和二次函数图像绘制考点结合考察。

**从配方式得到的二次函数核心特征** — 对于 $y = a(x + p)^2 + q$：1. 对称轴为 $x = -p$，2. 顶点（拐点）坐标为 $(-p, q)$，3. 若 $a > 0$，$q$ 是二次函数的最小值；若 $a < 0$，$q$ 是二次函数的最大值。

**例题:** 对于二次函数 $y = 2(x - 3)^2 + 5$，写出它的对称轴、顶点坐标和最小值。

1. 将给定形式与 $a(x + p)^2 + q$ 匹配：$a=2$，$p=-3$，$q=5$。
2. 对称轴为 $x = -p = -(-3) = 3$。
3. 顶点坐标为 $(-p, q) = (3, 5)$。
4. 由于 $a = 2 > 0$，抛物线开口向上，因此最小值为 $q = 5$。

> **考试提示:** 求顶点坐标时务必检查$p$的符号：令括号内的项等于0来确认横坐标，不要仅凭记忆直接代入，避免符号错误。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 对非首一二次式配方时，将系数$a$从所有项中提取出来，例如错误地将 $3x^2 -12x +7$ 写为 $3(x^2 -4x +7)$，而非 $3(x^2 -4x) +7$
  - 原因: 这种操作改变了常数项的数值，会得到错误的$q$值，进而得到错误的图像特征。
  - 正确做法: 仅将$a$从$x^2$和$x$项中提取出来，常数项留在括号外，再进行完全平方的调整。
- **错误做法:** 混淆顶点横坐标的符号，例如将 $y=(x+2)^2 +3$ 的顶点误认为是(2, 3)，而非(-2, 3)
  - 原因: 错误套用公式$x=-p$，当括号内为正号时容易出错，得到错误的图像坐标。
  - 正确做法: 令括号内的项等于0：$x + 2 = 0 \implies x = -2$，即可得到顶点的正确横坐标。
- **错误做法:** 展开括号时忘记将减去的平方项乘以$a$，例如错误地将 $3[(x-2)^2 -4] +7$ 写为 $3(x-2)^2 -4 +7$，而非 $3(x-2)^2 -12 +7$
  - 原因: 被减去的项位于括号内，需要和$a$相乘，没有对其进行缩放会得到错误的常数项。
  - 正确做法: 在合并常数项之前，先将$a$分配到括号内的所有项上。
- **错误做法:** 无论$a$的符号如何，都默认$q$是二次函数的最小值
  - 原因: 如果$a$为负，抛物线开口向下，此时$q$是最大值，而非最小值。
  - 正确做法: 首先检查$a$的符号：$a>0$说明$q$是最小值，$a<0$说明$q$是最大值。
- **错误做法:** 对非首一二次式完成因式分解后跳过展开验证步骤
  - 原因: 因式分解时因数对的微小符号错误，会导致展开结果和原式不符，在考试中直接失分。
  - 正确做法: 完成因式分解后立刻将结果展开，确认和原二次表达式完全一致。

## 速查表

| 运算类型 | 步骤 | 核心输出 |
| --- | --- | --- |
| 对 $ax^2 + bx + c$ 因式分解 | 1. 计算 $a \times c$ 2. 找到乘积$ac$的两个因数，和为$b$ 3. 拆分中间项，分组因式分解 | $(mx + n)(px + q)$ |
| 对 $ax^2 + bx + c$ 配方 | 1. 从$x^2$和$x$项中提取系数$a$ 2. 将$x$的系数取半、平方，调整常数项 3. 化简为标准形式 | $a(x + p)^2 + q$ |
| 求对称轴 | 从配方式 $a(x + p)^2 + q$ 中计算 $x = -p$ | 经过顶点的竖直线方程 |
| 求顶点坐标 | 从配方式 $a(x + p)^2 + q$ 中直接取 $(-p, q)$ | 拐点的坐标 |
| 求最值 | 检查$a$的符号：$a>0$对应最小值$q$，$a<0$对应最大值$q$ | 二次函数的极值 |

## 下一步

熟练掌握二次表达式运算，是你Edexcel IGCSE进阶纯数学课程中所有后续二次相关知识点的基础。在接下来的单元中，你会频繁使用这些技能求解二次方程、分析判别式、研究根的对称函数。因式分解和配方法同样是求解二次不等式、绘制抛物线、化简后续纯数学知识点中代数表达式的必备技能。你要定期用历年真题练习这些技能，避免常见的符号错误，提升解题速度，几乎每一份4PM1考试卷都会考察这些知识点，它们经常作为高分值多步大题的第一步出现。

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