三角比及其图像

Q: 我需要为考试熟记30/45/60°的三角精确值吗？

是的，4PM1公式表中不会给出这些数值，因此你必须熟记它们才能解答精确值类题目。

Q: sin/cos的周期和tan的周期有什么区别？

sin和cos的周期为360°（2π弧度），而tan的周期更短，为180°（π弧度）。

爱德思国际GCSE进阶纯数学· 10B· 45 分钟阅读

1. 任意大小角度的三角比★★☆☆☆⏱ 10 min

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📘 定义

任意角度的三角比

对于从x轴正方向逆时针测量的角度θ，若其终边上有一点 $(x, y)$ ，到原点的距离为 $r$ ，则： $sin θ = \frac{y}{r}$ ， $cos θ = \frac{x}{r}$ ， $tan θ = \frac{y}{x}$

该定义适用于大于90°的角、负角，以及角度制和弧度制下的所有角，摆脱了直角三角形的限制。每个三角比的符号取决于角度终边所在的象限。

📐 例题

判断 $sin 21 0^{\circ}$ 、 $cos 33 0^{\circ}$ 和 $tan 15 0^{\circ}$ 的符号。

1
确定每个角度所在的象限：210°位于第三象限（180°–270°），330°位于第四象限（270°–360°），150°位于第二象限（90°–180°）
2
应用CAST规则：第三象限只有正切为正，因此 $sin 21 0^{\circ}$ 为负。第四象限只有余弦为正，因此 $cos 33 0^{\circ}$ 为正。第二象限只有正弦为正，因此 $tan 15 0^{\circ}$ 为负。

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What is the sign of $cos 22 5^{\circ}$ ?
- Positive
- Negative
- Zero
显示答案
Negative —
225° falls in Q3, where only tan ratios are positive, so cos 225° is negative.

2. 30°、45°、60°的三角精确值★★☆☆☆⏱ 10 min

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你必须熟记这些常见角度的根式精确值，4PM1公式表中不会给出这些数值。必要时你可以通过30-60-90和45-45-90直角三角形推导它们。

Angle (°)	Angle (rad)	$sin θ$	$cos θ$	$tan θ$
30	$\frac{π}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{3}$
45	$\frac{π}{4}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{2}{2}$	$1$
60	$\frac{π}{3}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$3$

📐 例题

求 $cos 3 0^{\circ} + sin 4 5^{\circ}$ 的精确值，结果保留根式形式。

1
回忆精确值： $cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ ， $sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$
2
将两分数相加： $\frac{3}{2} + \frac{2}{2} = \frac{3 + 2}{2}$
3
该结果无法进一步化简，因此最终答案为 $\frac{3 + 2}{2}$

3. 利用对称性和CAST图求相关角的三角比★★★☆☆⏱ 12 min

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你可以利用图像对称性或CAST图，将0–90°范围外的角度关联到其锐角参考角（终边与x轴之间的最小夹角），从而求出对应的三角值。

Q2 (90° < θ < 180°): Reference angle = $18 0^{\circ} - θ$ , sin positive, cos and tan negative
Q3 (180° < θ < 270°): Reference angle = $θ - 18 0^{\circ}$ , tan positive, sin and cos negative
Q4 (270° < θ < 360°): Reference angle = $36 0^{\circ} - θ$ , cos positive, sin and tan negative

📐 例题

求 $sin 12 0^{\circ}$ 和 $tan 30 0^{\circ}$ 的精确值。

1
对于 $sin 12 0^{\circ}$ ：120°位于第二象限，参考角 = $180 - 120 = 6 0^{\circ}$ 。正弦在第二象限为正，因此 $sin 12 0^{\circ} = sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$
2
对于 $tan 30 0^{\circ}$ ：300°位于第四象限，参考角 = $360 - 300 = 6 0^{\circ}$ 。正切在第四象限为负，因此 $tan 30 0^{\circ} = - tan 6 0^{\circ} = - 3$

✓ 快速检测

What is the exact value of $cos 21 0^{\circ}$ ?
- $\frac{3}{2}$
- $- \frac{3}{2}$
- $\frac{1}{2}$
- $- \frac{1}{2}$
显示答案
$-\frac{\sqrt{3}}{2}$ —
210° is in Q3, reference angle = 30°, cos is negative in Q3, so $cos 21 0^{\circ} = - cos 3 0^{\circ} = - \frac{3}{2}$

4. sin x、cos x、tan x的图像★★★☆☆⏱ 15 min

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你必须能够准确绘制这三个三角函数的图像，保证周期、振幅、截距正确，并根据要求将坐标轴标注为角度或弧度。

Function	Period	Amplitude	Range	Key intercepts (0 ≤ x ≤ 2π)
$y = sin x$	$2 π$ (360°)	1	$- 1 \leq y \leq 1$	$(0, 0), (π, 0), (2 π, 0)$
$y = cos x$	$2 π$ (360°)	1	$- 1 \leq y \leq 1$	$(\frac{π}{2}, 0), (\frac{3 π}{2}, 0)$
$y = tan x$	$π$ (180°)	Undefined	All real numbers	$(0, 0), (π, 0), (2 π, 0)$

📐 例题

绘制 $0^{\circ} \leq x \leq 36 0^{\circ}$ 范围内 $y = sin x$ 的图像，标注所有截距、最大值点和最小值点。

1
绘制x轴，标注为x（角度），范围从0到360，y轴范围从-1到1
2
在点 $(0, 0)$ 、 $(180, 0)$ 、 $(360, 0)$ 处标注截距
3
在点 $(90, 1)$ 处标注最大值点，在点 $(270, - 1)$ 处标注最小值点
4
绘制一条连接这些点的平滑周期性波形，使其符合标准正弦曲线的形状

5. 常见陷阱

错误做法:

Using a calculator to find decimal values when exact surd answers are required

原因:

Exact value questions test recall of core knowledge, decimal approximations lose accuracy marks

正确做法:

Use memorised exact 30/45/60° values and CAST symmetry for exact value questions, unless told otherwise

错误做法:

Stating the period of tan x is 360° / 2π

原因:

Tan x repeats every 180° / π, unlike sin and cos which repeat every 360° / 2π

正确做法:

Memorise: period of sin/cos = 360° (2π), period of tan = 180° (π)

错误做法:

Assigning the wrong sign to trig ratios in non-acute quadrants

原因:

Forgetting CAST rules leads to sign errors that lose all marks for a question

正确做法:

First identify the angle's quadrant, use CAST to confirm the sign before calculating the ratio from the reference angle

错误做法:

Sketching tan x as a continuous curve across asymptotes

原因:

Tan x is undefined at odd multiples of 90° / π/2, so it has breaks at these points

正确做法:

Draw separate disconnected branches of tan x on either side of each vertical asymptote

错误做法:

Forgetting to label graph axes as degrees or radians

原因:

The same x value has different meaning in degrees vs radians, examiners require clear labelling for full marks

正确做法:

Always add an explicit label to the x-axis (e.g. x (degrees) or x (radians) when sketching trig graphs

6. 速查表

Concept	Key Details
Exact values (30/45/60°)	sin30=1/2, sin45=\sqrt{2}/2, sin60=\sqrt{3}/2; cos30=\sqrt{3}/2, cos45=\sqrt{2}/2, cos60=1/2; tan30=1/\sqrt{3}, tan45=1, tan60=\sqrt{3}
CAST Diagram	Q1: All +ve; Q2: Sin +ve; Q3: Tan +ve; Q4: Cos +ve
sin x / cos x properties	Period = 360° (2π), Amplitude = 1, Range = [-1, 1]
tan x properties	Period = 180° (π), No amplitude, Range = all real numbers, Asymptotes at 90°+180°n

7. 常见问题

我需要为考试熟记30/45/60°的三角精确值吗？

是的，4PM1公式表中不会给出这些数值，因此你必须熟记它们才能解答精确值类题目。

sin/cos的周期和tan的周期有什么区别？

sin和cos的周期为360°（2π弧度），而tan的周期更短，为180°（π弧度）。

深入阅读

formula sheet爱德思4PM1公式表4PM1考试的官方公式表

下一步

Now that you have mastered trigonometric ratios and their graphs, you are ready to move on to core trigonometric identities, which build on your knowledge of sin, cos and tan relationships to simplify expressions and solve exam-style problems. This topic is a foundational prerequisite for all subsequent trigonometry content in the Edexcel IGCSE Further Pure Math syllabus, including solving trigonometric equations and applying addition formulae. Make sure you practise sketching graphs and using the CAST diagram regularly to retain these core skills for your exam.