# 正弦与余弦公式

> 爱德思国际GCSE高等纯数学 · 4PM1 2016
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-further-pure-math-s10-the-sine-and-cosine-formulae/

本指南涵盖爱德思IGCSE高等纯数（4PM1）要求的非直角三角形三大核心三角公式：正弦定理、余弦定理、½ab sin C面积公式，以及面向考试的解题策略。

**先修:** [直角三角形三角函数（SOHCAHTOA）](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-further-pure-math-s10-right-angled-trigonometry/); [30°、45°、60°的精确三角函数值](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-further-pure-math-s10-exact-trig-values/)

## 学习目标

- 回忆并运用正弦定理求解三角形中的未知边长与角度
- 使用给定的余弦定理求解非直角三角形中的未知量
- 凭记忆使用½ab sin C公式计算任意三角形的面积
- 识别并解决考试题目中正弦定理的多解模糊情况

## 正弦定理

**正弦定理** — 将任意三角形的边长与其对角的正弦值关联起来。该公式需要在考试中自行回忆，不会印在公式表上。

*记法:* \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}

当你已知至少一组对应的边和对角，外加一个额外的边或角时，就可以使用正弦定理。请始终统一标注三角形：边$a$对应角$A$的对边，边$b$对应角$B$的对边，边$c$对应角$C$的对边。

**例题:** 在三角形$ABC$中，角$A = 40^\circ$，边$a = 8$厘米，边$b = 10$厘米。求角$B$，结果保留1位小数。

1. 将已知数值代入正弦定理公式：
2. $$\frac{8}{\sin 40^\circ} = \frac{10}{\sin B}$$
3. 移项分离出$\sin B$：
4. $$\sin B = \frac{10 \times \sin 40^\circ}{8}$$
5. 计算右侧数值：$\sin B = \frac{10 \times 0.6428}{8} = 0.8035$
6. 取反正弦求$B$：$B = \arcsin(0.8035) = 53.5^\circ$（保留1位小数）
7. 注意：本题属于模糊多解情况，因此第二个有效解为$B = 180^\circ - 53.5^\circ = 126.5^\circ$，请检查该解是否符合题目条件。

> **warning**
>
> 模糊多解情况仅出现在已知两条边和一个非夹角（SSA）的场景下。请始终检查补角是否为有效解（三角形内角和不能超过180°）。

> **考试提示:** 如果题目没有指定使用哪个三角形，请给出模糊多解情况的全部两个可能解，以拿到全部分数。

*计算器:* allowed

## 余弦定理

**余弦定理** — 用于求解无法使用正弦定理的三角形中的未知边或角。该公式印在考试公式表上，你无需背诵。

*记法:* a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A

在两种场景下使用余弦定理：1）你已知两条边和它们之间的夹角，需要求第三条边；2）你已知三角形的全部三条边长，需要求任意内角。

**例题:** 在三角形$PQR$中，边$p = 5$厘米，边$q = 7$厘米，夹角$R = 60^\circ$。求边$r$的长度，结果保留2位有效数字。

1. 标注三角形：边$r$是角$R$的对边，代入余弦定理得：
2. $$r^2 = p^2 + q^2 - 2pq \cos R$$
3. $$r^2 = 5^2 + 7^2 - 2(5)(7)\cos 60^\circ$$
4. 计算每一项：$r^2 = 25 + 49 - 70 \times 0.5 = 74 - 35 = 39$
5. 开平方得：$r = \sqrt{39} = 6.2$厘米（保留2位有效数字）

> **考试提示:** 必要时可直接变形余弦定理求解角度：$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$，以在考试中节省时间。

*计算器:* allowed

## 三角形面积：½ab sin C

**三角函数三角形面积公式** — 当你已知两条边的长度和它们之间的夹角大小时，就可以用该公式计算任意三角形的面积。该公式需要在考试中自行回忆，不会印在公式表上。

*记法:* \text{Area} = \frac{1}{2}ab \sin C

该公式适用于所有三角形，并非仅直角三角形。为保证公式计算正确，角$C$必须始终是边$a$和边$b$的夹角。

**例题:** 求三角形$XYZ$的面积，已知边长$x = 12$ 厘米，$z = 9$ 厘米，夹角$Y = 30^\circ$。请给出精确值结果。

1. 确定两条边与夹角：边$x$和边$z$的交点为角$Y$，将数值代入公式可得：
2. $$\text{Area} = \frac{1}{2} \times x \times z \times \sin Y$$
3. $$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 12 \times 9 \times \sin 30^\circ$$
4. 使用精确值$\sin 30^\circ = 0.5$：
5. $$\text{Area} = 54 \times 0.5 = 27 \text{ cm}^2$$

> **考试提示:** 如果题目要求给出精确面积，请使用30°、45°、60°的精确三角函数值，不要使用小数近似，避免失分。

*计算器:* allowed

## 考试题型中的公式综合运用

绝大多数考试题会要求你依次使用多个公式来求解完整问题。解题时请先清晰标注三角形的各个元素，列出所有已知数值，再为你要求解的第一个未知量选择正确的公式。

**例题:** 在三角形$ABC$中，$AB = 10$ 厘米，$BC = 8$ 厘米，角$BAC = 50^\circ$。求三角形$ABC$的面积，结果保留1位小数。

1. 首先，使用正弦定理求角$ACB$：
2. $$\frac{BC}{\sin BAC} = \frac{AB}{\sin ACB}$$
3. $$\frac{8}{\sin 50^\circ} = \frac{10}{\sin C} \implies \sin C = \frac{10 \times 0.7660}{8} = 0.9575$$
4. 角$C$有两个可能值：$73.2^\circ$ 或 $106.8^\circ$
5. 第一组解：角$B = 180 - 50 -73.2 = 56.8^\circ$，面积 = $\frac{1}{2} \times 8 \times 10 \times \sin 56.8^\circ = 33.5$ 平方厘米
6. 第二组解：角$B = 180 -50 -106.8 = 23.2^\circ$，面积 = $\frac{1}{2} \times 8 \times10 \times \sin23.2^\circ =15.8$ 平方厘米

> **考试提示:** 综合使用多个公式时，请写出所有中间步骤：即便你的最终答案有误，阅卷考官也会根据你对单个公式的正确应用给出对应分数。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** Using the sine rule when only sides and no opposite angle pairs are known
  - 原因: The sine rule requires at least one matching side-angle pair to function, leading to incorrect equations if this condition is not met
  - 正确做法: Use the cosine rule instead when you have two sides and included angle, or all three sides
- **错误做法:** Forgetting to check for the ambiguous case when using the sine rule with SSA measurements
  - 原因: Two valid triangles can exist, leading to missing half the solution and losing marks
  - 正确做法: Always calculate the supplementary angle ($180^\circ -$ calculated angle) and verify if it is a valid solution (sum of angles < 180°)
- **错误做法:** Using a non-included angle in the ½ab sin C area formula
  - 原因: The formula only works if the angle is between the two sides used, leading to incorrect area values
  - 正确做法: If you do not have the included angle, use the sine/cosine rule to find it first before calculating area
- **错误做法:** Trying to memorize the cosine rule when it is provided on the formula sheet
  - 原因: Wastes valuable memorization capacity for other required formulae like the sine rule and area formula
  - 正确做法: Familiarize yourself with the formula sheet layout to quickly locate the cosine rule during exams
- **错误做法:** Mixing up side and opposite angle labels when substituting into formulae
  - 原因: This leads to incorrect values for sides and angles, even if you applied the formula structure correctly
  - 正确做法: Always label your triangle with side $a$ opposite angle $A$, $b$ opposite $B$, $c$ opposite $C$ before substituting any values

## 速查表

| Formula | Use Case | Given on Formula Sheet? |
| --- | --- | --- |
| $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ | Find unknown side/angle, 1+ side-angle pair known | No |
| $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ | Find 3rd side (2 sides + included angle) / find angle (all 3 sides known) | Yes |
| $\text{Area} = \frac{1}{2}ab \sin C$ | Calculate area, 2 sides + included angle known | No |

## 下一步

Now that you have mastered the sine and cosine formulae, you can apply these skills to solve 2D and 3D trigonometry problems, the next sub-topic in the Edexcel IGCSE Further Pure Math syllabus. You will also use these formulae alongside coordinate geometry and vector problems later in the course. Practise past exam questions to familiarize yourself with how these formulae are tested in structured written papers, and make sure you can quickly recall the sine rule and area formula under timed conditions. Remember to always check for the ambiguous case in SSA problems, as this is a common mark-losing trap in exams.

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-further-pure-math-s10-the-sine-and-cosine-formulae/