恒等式 tan θ = sin θ / cos θ

Q: 考试时我需要背诵tan θ = sin θ / cos θ这个恒等式吗？

不需要，该恒等式已明确印在爱德思4PM1官方公式表中，因此你无需背诵，但你需要掌握正确的应用方法。

Q: 什么时候不能使用这个恒等式？

该恒等式仅在时成立，因为除以零是无定义的。这意味着它不能用于的θ取值，例如或。

爱德思国际GCSE进阶纯数学· 10F· 10 分钟阅读

1. 什么是tan θ = sin θ / cos θ恒等式？★☆☆☆☆⏱ 3 min

📘 定义

tan θ恒等式

这是一个三角恒等式，表明对于所有满足 $cos θ \neq = 0$ 的θ值，均有 $tan θ \equiv \frac{s i n θ}{c o s θ}$ 。该恒等式已在爱德思4PM1公式表中给出。

例:

For $θ = 4 5^{\circ}$ , $sin 45 = \frac{2}{2}$ , $cos 45 = \frac{2}{2}$ , so $tan 45 = \frac{\frac{2}{2}}{\frac{2}{2}} = 1$ , which matches the known exact value.

由于除以零无定义，该恒等式对所有cos θ不为零的角度θ均成立。当cos θ = 0（例如θ = 90°、270°）时，tan θ无定义，因此这些情况下该恒等式不适用。

📐 例题

使用三角精确值验证该恒等式在θ = 30°时成立。

1
步骤1：写出sin 30°、cos 30°和tan 30°的精确值。
2
$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$
3
步骤2：计算θ = 30°时sin θ / cos θ的数值。
4
$\frac{\sin 30^\circ}{\cos 30^\circ} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
5
步骤3：将结果与tan 30°对比：二者数值相等，因此该恒等式在θ = 30°时成立。

Exam tip:

使用该恒等式前务必确认cos θ ≠ 0，尤其是当你处理接近90°或270°的角度时。

2. 使用恒等式化简三角表达式★★☆☆☆⏱ 3 min

✓ 计算器

该恒等式最常见的用途之一就是化简同时包含tan、sin和cos项的表达式。你可以将tan θ替换为sin θ / cos θ，或者将sin θ与cos θ的比值改写为tan θ，以此减少表达式中的项数。

📐 例题

将表达式 $tan θ \times cos θ$ 尽可能化简。

1
步骤1：使用恒等式将tan θ替换为sin θ / cos θ。
2
$\tan \theta \times \cos \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \times \cos \theta$
3
步骤2：在cos θ ≠ 0的前提下，约去分子和分母中公共的cos θ项。
4
$\frac{\sin \theta}{\cancel{\cos \theta}} \times \cancel{\cos \theta} = \sin \theta$
5
步骤3：化简后的表达式为sin θ，对所有满足cos θ ≠ 0的θ均成立。

✓ 快速检测

测试你对化简知识点的理解

What is the simplified form of $\frac{s i n θ}{t a n θ}$ ?
- cos θ
- sin θ
- tan θ
- 1

Exam tip:

如果一个表达式中有多个正切项，将所有tan替换为sin/cos通常可以约去公因子，大幅简化表达式。

3. 使用恒等式求解三角方程★★★☆☆⏱ 4 min

✓ 计算器

你可以使用该恒等式求解同时包含tan、sin和cos项的方程，方法是将所有项改写为sin和cos的形式，或者重新整理项，将其组合为可替换为tan的sin/cos比值。

📐 例题

在0° ≤ θ < 360°且cos θ ≠ 0的条件下，求解方程 $2 sin θ = tan θ$ 。

1
步骤1：将方程中的tan θ替换为sin θ / cos θ。
2
$2 \sin \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
3
步骤2：将所有项移到等号一侧，提取公因子sin θ。
4
$2 \sin \theta - \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 0 \implies \sin \theta \left(2 - \frac{1}{\cos \theta}\right) = 0$
5
步骤3：令每个因子等于零，求解θ。
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情况1：sin θ = 0。在给定范围内的解为θ = 0°、180°。
7
情况2： $2 - 1/ cos θ = 0$ ，推导得 $1/ cos θ = 2$ ，即 $cos θ = 1/2$ 。该取值范围内的解为 $θ = 6 0^{\circ}$ 、 $30 0^{\circ}$ 。
8
步骤4：验证所有解都不会使 $cos θ = 0$ ，所有解均有效。最终解为： $0^{\circ}$ 、 $6 0^{\circ}$ 、 $18 0^{\circ}$ 、 $30 0^{\circ}$ 。

Exam tip:

除非你能百分百确定sin θ或cos θ不可能为零，否则绝对不要将方程两边同时除以sin θ或cos θ，否则会丢失有效解。请始终采用因式分解的方式，如示例所示。

4. 常见陷阱

错误做法:

Using the identity when cos θ = 0

原因:

Division by zero is undefined, so tan θ is undefined at these angles, making the identity invalid

正确做法:

Always check that cos θ ≠ 0 for your angle values before applying the identity

错误做法:

Dividing both sides of an equation by sin θ or cos θ to simplify

原因:

This removes any solutions where the divided term equals zero, leading to incomplete answers

正确做法:

Rearrange all terms to one side and factor out the common trigonometric term instead of dividing

错误做法:

Forgetting the identity is only valid for real angles where tan θ is defined

原因:

Applying it to angles like 90° will lead to mathematical errors

正确做法:

Exclude angles where cos θ = 0 (90°, 270° etc.) from your solution set when using this identity

错误做法:

Rewriting cos θ / sin θ as tan θ

原因:

The identity states tan θ = sin θ / cos θ, not the reverse. Cotangent is out of scope for 4PM1 so you should not use that term either

正确做法:

Only replace a fraction of sin θ over cos θ with tan θ, leave cos θ / sin θ as is unless you can simplify it another way

错误做法:

Memorizing the identity unnecessarily

原因:

It is provided on the formula sheet, so you waste memory space that could be used for non-provided formulae

正确做法:

Focus on learning to apply the identity correctly rather than memorizing it

5. 速查表

Task	Action	Validity Note
Verify the identity	Substitute known sin/cos values and compare to tan	Only for θ where cos θ ≠ 0
Simplify expressions with tan	Replace tan θ with sin θ / cos θ, cancel common factors	Exclude θ where cos θ = 0
Solve equations with mixed tan/sin/cos	Substitute tan, rearrange and factor, solve for θ	Check no solutions have cos θ = 0

6. 常见问题

考试时我需要背诵tan θ = sin θ / cos θ这个恒等式吗？

不需要，该恒等式已明确印在爱德思4PM1官方公式表中，因此你无需背诵，但你需要掌握正确的应用方法。

什么时候不能使用这个恒等式？

该恒等式仅在 $cos θ \neq = 0$ 时成立，因为除以零是无定义的。这意味着它不能用于 $cos θ = 0$ 的θ取值，例如 $θ = 9 0^{\circ}$ 或 $θ = 27 0^{\circ}$ 。

深入阅读

formula_sheet爱德思4PM1官方公式表下载印有该恒等式的官方公式表

下一步

Now that you have mastered applying the $tan θ = \frac{s i n θ}{c o s θ}$ identity, you are ready to build on this knowledge with other core trigonometric identities and problem-solving techniques for your Edexcel IGCSE Further Pure Math exam. Next, you will learn the Pythagorean identity $sin^{2} θ + cos^{2} θ \equiv 1$ , which is often used alongside the tan identity to simplify more complex expressions. Following that, you will cover trigonometric addition formulae and learn to solve a wider range of trigonometric equations, both of which regularly appear in 4PM1 exam papers. Make sure you practice applying this identity to mixed problems to reinforce your understanding before moving to more advanced topics.