恒等式 cos²θ + sin²θ = 1
Edexcel 国际 GCSE 进阶纯数学· 10E· 15 分钟阅读
1. 恒等式的推导与核心记忆★☆☆☆☆⏱ 3 min
毕达哥拉斯三角恒等式
对任意角度 θ，该恒等式表述为 cos²θ + sin²θ ≡ 1，对所有实数 θ 都成立。
例:
当 θ = 45° 时，cos 45° = \sqrt{2}/2，sin 45° = \sqrt{2}/2，所以 (\sqrt{2}/2)² + (\sqrt{2}/2)² = 0.5 + 0.5 = 1，满足该恒等式。
该恒等式直接由单位圆上斜边长为1的直角三角形的毕达哥拉斯定理推导而来。角 θ 的邻边为 cos θ，对边为 sin θ，因此两条边的平方和等于斜边的平方：cos²θ + sin²θ = 1² = 1。
sin²30° + cos²30° 的值是多少？
显示答案
1 —该恒等式对所有角度都成立，因此和永远为1，无需计算！
2. 化简三角表达式★★☆☆☆⏱ 4 min
✓ 计算器
考试中你会经常遇到需要使用该恒等式化简同时包含 sin² 和 cos² 项的表达式的题目，替换掉其中一个平方三角比就可以合并同类项。
化简表达式 2cos²θ + 3sin²θ
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步骤1：对恒等式变形，代入 cos²θ = 1 - sin²θ
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步骤2：展开括号
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步骤3：合并同类项
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注：你也可以代入 sin²θ = 1 - cos²θ 得到 3 - cos²θ，两种都是合法的化简结果。
Exam tip:
选择能减少表达式项数、或者匹配题目要求形式的替换方式。
3. 证明三角结论★★★☆☆⏱ 4 min
证明题要求你仅通过合法的代数运算和该恒等式，证明等式的一侧等于另一侧。证明过程中绝不能将项从等式的一侧移到另一侧：仅在一侧进行运算，直到它与另一侧相等。
证明 (sinθ + cosθ)² - 1 ≡ 2 sinθ cosθ
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步骤1：展开左侧（LHS）的平方括号
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步骤2：将展开后的形式代回左侧表达式
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步骤3：使用恒等式将 sin²θ + cos²θ 替换为1
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步骤4：消去1和-1完成化简
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4. 将方程改写为单一三角比形式★★★☆☆⏱ 4 min
要解同时包含 sinθ 和 cosθ 项的三角方程，你可以使用该恒等式将方程改写为仅含一种三角比的形式，之后就可以用标准方法求解。
将方程 3cos²θ = 2 + sinθ 改写为仅含 sinθ 作为三角比的形式
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步骤1：对恒等式变形，用 sin²θ 的项替换 cos²θ：cos²θ = 1 - sin²θ
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步骤2：展开左侧
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步骤3：整理为标准二次方程形式，将所有项移到同一侧
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现在这是关于 x = sinθ 的二次方程，可以使用二次公式求解，若可因式分解也可因式分解。
5. 常见陷阱
错误做法:
将 cos²θ 或 sin²θ 写成 cosθ² 或 sinθ²
原因:
这种记法有歧义：它可能被理解为 cos(θ²) 而不是 (cosθ)²，会在考试中丢分。
正确做法:
永远将平方号写在三角函数缩写之后，例如 (cosθ)² 要写成 cos²θ。
错误做法:
忘记该恒等式仅适用于平方项，尝试将其用于 cosθ + sinθ
原因:
对绝大多数 θ 值来说 cosθ + sinθ 都不等于1，只有它们的平方和才恒等于1。
正确做法:
仅当你看到 cos²θ 或 sin²θ 项时才应用该恒等式，不能用于线性的 sin 或 cos 项。
错误做法:
在证明或化简中使用超出大纲范围的恒等式，例如 1 + tan²θ = sec²θ
原因:
这些恒等式不属于4PM1大纲要求，考官期望你在这类题目中仅使用 cos²θ + sin²θ ≡ 1 恒等式。
正确做法:
本主题的所有题目都只能使用 cos²θ + sin²θ ≡ 1 及其直接变形。
错误做法:
证明过程中将项从等式一侧移到另一侧
原因:
证明题要求你仅操作一侧使其匹配另一侧；在证明完成前移动项相当于预先假设恒等式成立，逻辑上不成立。
正确做法:
仅在证明等式的一侧进行运算，使用替换和代数展开证明它等于另一侧。
错误做法:
误以为恒等式会印在公式表上，没有去熟记
原因:
cos²θ + sin²θ ≡ 1 恒等式不在4PM1公式手册中，考试时你无法查阅它。
正确做法:
考试前熟记该恒等式以及它的两个变形（cos²θ = 1 - sin²θ，sin²θ = 1 - cos²θ）。
6. 速查表
恒等式 | 核心变形 | 适用场景 |
|---|---|---|
cos²θ + sin²θ ≡ 1 | cos²θ ≡ 1 - sin²θ, sin²θ ≡ 1 - cos²θ | 化简表达式、证明结论、将方程改写为单一三角比 |
重要提示 | 不在公式表中提供（必须熟记） | 仅适用于平方三角项，不适用于线性项 |
7. 常见问题
cos²θ + sin²θ = 1 这个恒等式会在 Edexcel IGCSE 进阶纯数的公式表中给出吗？
不会，你必须熟记这个恒等式：它不在4PM1大纲提供的公式手册范围内。
我可以对这个恒等式变形来消去某一个三角比吗？
可以：使用变形形式 cos²θ ≡ 1 - sin²θ 或 sin²θ ≡ 1 - cos²θ，就可以从任意表达式或方程中替换掉任意一个平方项的三角比。
深入阅读
下一步
在掌握 cos²θ + sin²θ ≡ 1 恒等式后，你就可以继续学习 Edexcel IGCSE 进阶纯数大纲中的相关三角学主题了。该恒等式是你后续在三角学题目（包括解方程、本单元后续学习二倍角公式）中会频繁用到的基础工具。请确保你练习足够多的表达式化简和证明题来建立信心，该考点几乎每年的试卷都会出现。