# 恒等式 cos²θ + sin²θ = 1

> Edexcel 国际 GCSE 进阶纯数学 · 4PM1 (2016 高阶大纲)
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-further-pure-math-s10-the-identity-cos-2-sin/

本指南涵盖核心毕达哥拉斯三角恒等式 cos²θ + sin²θ ≡ 1，包括恒等式记忆、表达式化简、结论证明、将方程改写为单一三角比形式，完全符合4PM1大纲要求。

**先修:** [基础直角三角形三角学（sin、cos的定义）](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-further-pure-math-s10-right-angled-trig/); [30°、45°、60°的精确三角函数值](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-further-pure-math-s10-exact-trig-values/)

## 学习目标

- 熟记恒等式 cos²θ + sin²θ ≡ 1（该恒等式不在考试公式表中提供）
- 使用该恒等式化简三角表达式
- 应用该恒等式证明结论，将方程改写为仅含单一三角比的形式

## 恒等式的推导与核心记忆

**毕达哥拉斯三角恒等式** — 对任意角度 θ，该恒等式表述为 cos²θ + sin²θ ≡ 1，对所有实数 θ 都成立。

*例:* 当 θ = 45° 时，cos 45° = \sqrt{2}/2，sin 45° = \sqrt{2}/2，所以 (\sqrt{2}/2)² + (\sqrt{2}/2)² = 0.5 + 0.5 = 1，满足该恒等式。

该恒等式直接由单位圆上斜边长为1的直角三角形的毕达哥拉斯定理推导而来。角 θ 的邻边为 cos θ，对边为 sin θ，因此两条边的平方和等于斜边的平方：cos²θ + sin²θ = 1² = 1。

> **warning**
>
> 该恒等式**不会**在考试公式表中提供。你必须熟记它以及它的两个变形：cos²θ ≡ 1 - sin²θ 和 sin²θ ≡ 1 - cos²θ。

**概念自测**

1. sin²30° + cos²30° 的值是多少？

   *解析:* 该恒等式对所有角度都成立，因此和永远为1，无需计算！

## 化简三角表达式

考试中你会经常遇到需要使用该恒等式化简同时包含 sin² 和 cos² 项的表达式的题目，替换掉其中一个平方三角比就可以合并同类项。

**例题:** 化简表达式 2cos²θ + 3sin²θ

1. 步骤1：对恒等式变形，代入 cos²θ = 1 - sin²θ
2. $$2(1 - \sin^2\theta) + 3\sin^2\theta$$
3. 步骤2：展开括号
4. $$2 - 2\sin^2\theta + 3\sin^2\theta$$
5. 步骤3：合并同类项
6. $$2 + \sin^2\theta$$
7. 注：你也可以代入 sin²θ = 1 - cos²θ 得到 3 - cos²θ，两种都是合法的化简结果。

> **考试提示:** 选择能减少表达式项数、或者匹配题目要求形式的替换方式。

*计算器:* allowed

## 证明三角结论

证明题要求你仅通过合法的代数运算和该恒等式，证明等式的一侧等于另一侧。证明过程中绝不能将项从等式的一侧移到另一侧：仅在一侧进行运算，直到它与另一侧相等。

**例题:** 证明 (sinθ + cosθ)² - 1 ≡ 2 sinθ cosθ

1. 步骤1：展开左侧（LHS）的平方括号
2. $$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta$$
3. 步骤2：将展开后的形式代回左侧表达式
4. $$LHS = (\sin^2\theta + \cos^2\theta) + 2\sin\theta\cos\theta - 1$$
5. 步骤3：使用恒等式将 sin²θ + cos²θ 替换为1
6. $$LHS = 1 + 2\sin\theta\cos\theta - 1$$
7. 步骤4：消去1和-1完成化简
8. $$LHS = 2\sin\theta\cos\theta = RHS，得证$$

> **tip**
>
> 如果你在证明题中卡住了，就去找平方的sin或cos项：这就是提示你使用 cos²θ + sin²θ ≡ 1 恒等式的信号。

## 将方程改写为单一三角比形式

要解同时包含 sinθ 和 cosθ 项的三角方程，你可以使用该恒等式将方程改写为仅含一种三角比的形式，之后就可以用标准方法求解。

**例题:** 将方程 3cos²θ = 2 + sinθ 改写为仅含 sinθ 作为三角比的形式

1. 步骤1：对恒等式变形，用 sin²θ 的项替换 cos²θ：cos²θ = 1 - sin²θ
2. $$3(1 - \sin^2\theta) = 2 + \sin\theta$$
3. 步骤2：展开左侧
4. $$3 - 3\sin^2\theta = 2 + \sin\theta$$
5. 步骤3：整理为标准二次方程形式，将所有项移到同一侧
6. $$3\sin^2\theta + \sin\theta - 1 = 0$$
7. 现在这是关于 x = sinθ 的二次方程，可以使用二次公式求解，若可因式分解也可因式分解。

## 常见错误

- **错误做法:** 将 cos²θ 或 sin²θ 写成 cosθ² 或 sinθ²
  - 原因: 这种记法有歧义：它可能被理解为 cos(θ²) 而不是 (cosθ)²，会在考试中丢分。
  - 正确做法: 永远将平方号写在三角函数缩写之后，例如 (cosθ)² 要写成 cos²θ。
- **错误做法:** 忘记该恒等式仅适用于平方项，尝试将其用于 cosθ + sinθ
  - 原因: 对绝大多数 θ 值来说 cosθ + sinθ 都不等于1，只有它们的平方和才恒等于1。
  - 正确做法: 仅当你看到 cos²θ 或 sin²θ 项时才应用该恒等式，不能用于线性的 sin 或 cos 项。
- **错误做法:** 在证明或化简中使用超出大纲范围的恒等式，例如 1 + tan²θ = sec²θ
  - 原因: 这些恒等式不属于4PM1大纲要求，考官期望你在这类题目中仅使用 cos²θ + sin²θ ≡ 1 恒等式。
  - 正确做法: 本主题的所有题目都只能使用 cos²θ + sin²θ ≡ 1 及其直接变形。
- **错误做法:** 证明过程中将项从等式一侧移到另一侧
  - 原因: 证明题要求你仅操作一侧使其匹配另一侧；在证明完成前移动项相当于预先假设恒等式成立，逻辑上不成立。
  - 正确做法: 仅在证明等式的一侧进行运算，使用替换和代数展开证明它等于另一侧。
- **错误做法:** 误以为恒等式会印在公式表上，没有去熟记
  - 原因: cos²θ + sin²θ ≡ 1 恒等式不在4PM1公式手册中，考试时你无法查阅它。
  - 正确做法: 考试前熟记该恒等式以及它的两个变形（cos²θ = 1 - sin²θ，sin²θ = 1 - cos²θ）。

## 速查表

| 恒等式 | 核心变形 | 适用场景 |
| --- | --- | --- |
| cos²θ + sin²θ ≡ 1 | cos²θ ≡ 1 - sin²θ, sin²θ ≡ 1 - cos²θ | 化简表达式、证明结论、将方程改写为单一三角比 |
| 重要提示 | 不在公式表中提供（必须熟记） | 仅适用于平方三角项，不适用于线性项 |

## 下一步

在掌握 cos²θ + sin²θ ≡ 1 恒等式后，你就可以继续学习 Edexcel IGCSE 进阶纯数大纲中的相关三角学主题了。该恒等式是你后续在三角学题目（包括解方程、本单元后续学习二倍角公式）中会频繁用到的基础工具。请确保你练习足够多的表达式化简和证明题来建立信心，该考点几乎每年的试卷都会出现。

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-further-pure-math-s10-the-identity-cos-2-sin/