简单三角方程的求解

Q: 本次考试中我需要给出三角方程的通解吗？

不需要，你只需要找出所有落在题目明确给出的区间内的解即可。不要在最终答案中添加或项。

爱德思国际GCSE进阶纯数学· S10H· 15 分钟阅读

1. 含单角的线性三角方程★★☆☆☆⏱ 3 min

✓ 计算器

线性三角方程的形式为 $sin x = k$ 、 $cos x = k$ 或 $tan x = k$ ，其中k为常数。解题时首先要明确给定区间的单位（角度或弧度），并在所有步骤中统一使用该单位。

📘 定义

主值解

三角方程的最小正解，可通过计算器或特殊角精确值知识求得。利用象限规则找出区间内的所有其他解。

📐 例题

求解 $tan x = 1$ ，其中 $9 0^{\circ} < x < 27 0^{\circ}$ 。

1
利用精确值知识求主值解： $tan^{- 1} (1) = 4 5^{\circ}$
2
正切的周期为180°，因此将主值解加180°即可得到给定范围内的解：
3
$x = 45^\circ + 180^\circ = 225^\circ$
4
验证225°处于90°到270°之间，因此它是唯一的有效解。

Exam tip:

请务必将你求得的每一个解代回原方程检验，确认它成立且落在给定区间内。

2. 处理变换角（平移角/倍角）★★★☆☆⏱ 4 min

✓ 计算器

当三角函数的自变量是x的线性变换形式（例如 $3 x + 3 0^{\circ}$ 或 $x - π /2$ ）时，首先将给定区间调整为匹配变换后的变量，求出变换变量的所有解，再整理得到x的解。

📐 例题

求解 $cos (3 x + 3 0^{\circ}) = \frac{1}{2}$ ，其中 $- 9 0^{\circ} < x < 9 0^{\circ}$ 。

1
为 $θ = 3 x + 3 0^{\circ}$ 调整区间：将x的上下限乘以3，再加30°： $3 (- 90) + 30 = - 24 0^{\circ}$ ， $3 (90) + 30 = 30 0^{\circ}$ 。在 $- 24 0^{\circ} < θ < 30 0^{\circ}$ 范围内求解 $cos θ = 1/2$ 。
2
主值解： $cos^{- 1} (1/2) = 6 0^{\circ}$ 。余弦在第一和第四象限为正，因此有效的 $θ$ 值为 $- 6 0^{\circ}$ 和 $6 0^{\circ}$ 。
3
回代求x： $x = \frac{θ - 3 0 ^{\circ}}{3}$
4
$\text{For } \theta = -60^\circ: x = \frac{-90}{3} = -30^\circ$
5
$\text{For } \theta = 60^\circ: x = \frac{30}{3} = 10^\circ$
6
两个解都落在 $- 9 0^{\circ} < x < 9 0^{\circ}$ 范围内，因此最终解为 $x = - 3 0^{\circ}, 1 0^{\circ}$ 。

Exam tip:

请务必先为变换角扩大区间再求解，否则你会漏掉在回代到x之前超出原x区间的解。

3. 求解二次三角方程★★★★☆⏱ 4 min

✓ 计算器

二次三角方程可以整理为 $a R^{2} + b R + c = 0$ 的形式，其中R是单一三角比（sin、cos、tan）。如果方程同时包含sin和cos项，可以使用三角勾股恒等式 $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ 消去其中一个三角比。

📘 定义

毕达哥拉斯三角恒等式

对所有x值均成立的恒等式 $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ ，可用于正弦平方项与余弦平方项之间的转换，将方程化简为仅含单一三角函数的形式。

📐 例题

求解方程 $6 cos^{2} x^{\circ} + sin x^{\circ} - 5 = 0$ ，其中 $0 \leq x < 360$ 。

1
利用毕达哥拉斯三角恒等式，将 $cos^{2} x$ 替换为 $1 - sin^{2} x$ ：
2
$6(1 - \sin^2 x) + \sin x - 5 = 0$
3
$6 - 6\sin^2 x + \sin x - 5 = 0 \implies 6\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$
4
对关于 $sin x$ 的二次式进行因式分解：
5
$(3\sin x + 1)(2\sin x - 1) = 0$
6
求解每个因式： $sin x = - \frac{1}{3}$ 或 $sin x = \frac{1}{2}$
7
找出给定范围内的所有解：当 $sin x = 1/2$ 时，解为 $3 0^{\circ}, 15 0^{\circ}$ ；当 $sin x = - 1/3$ 时，解为 $199. 5^{\circ}, 340. 5^{\circ}$ （保留1位小数）。

Exam tip:

舍去所有满足 $∣ sin x ∣ > 1$ 或 $∣ cos x ∣ > 1$ 的二次方程解，这类解是不可能存在的，没有对应的实解。

4. 用弧度制求解三角方程★★★☆☆⏱ 3 min

✓ 计算器

很多题目会使用弧度而非角度，尤其是涉及 $π$ 的区间类题目。解答这类题目时请确保你的计算器已切换至弧度模式，同时使用代表整周的 $2 π$ 而非360°来调整区间范围。

📐 例题

求解方程 $sin (x - π /2) = 3/4$ ，其中 $0 < x < 2 π$ 。

1
针对 $θ = x - π /2$ 调整区间：对上下限同时减去 $π /2$ ，得到 $- π /2 < θ < 3 π /2$ 。
2
主值解： $sin^{- 1} (3/4) \approx 0.848$ 弧度。正弦函数在第一、第二象限为正，因此第二个解为 $π - 0.848 \approx 2.294$ 弧度。
3
回代求解x： $x = θ + π /2$
4
$\text{First solution: } 0.848 + 1.571 ≈ 2.42 \text{ radians}$
5
$\text{Second solution: } 2.294 + 1.571 ≈ 3.87 \text{ radians}$
6
两个数值都落在 $0 < x < 2 π$ 范围内，因此均为有效解。

Exam tip:

如果题目要求给出精确解，请使用 $3 0^{\circ} = π /6$ 、 $4 5^{\circ} = π /4$ 、 $6 0^{\circ} = π /3$ 等精确弧度值，不要使用小数近似值。

5. 常见陷阱

错误做法:

Mixing degrees and radians in the same working

原因:

Causes incorrect solution values as calculator modes will give wrong outputs

正确做法:

Always use the unit stated in the question interval, set calculator to match, and keep all working in that unit

错误做法:

Forgetting to adjust the interval for transformed angles

原因:

You will miss valid solutions that fall outside the original x interval when solving for the transformed variable

正确做法:

First widen/narrow the interval to match the transformed angle before finding solutions

错误做法:

Including general solutions with $+ 360 n^{\circ}$ or $+ 2 π n$

原因:

The exam only requires solutions in the given interval, extra general solutions will lose marks

正确做法:

Only list solutions that lie strictly inside the given interval, discard any outside

错误做法:

Not discarding quadratic trigonometric solutions where $∣ sin x ∣ > 1$ or $∣ cos x ∣ > 1$

原因:

Sine and cosine only take values between -1 and 1, so these solutions are impossible

正确做法:

After solving the quadratic, check each root is within the valid range for the trigonometric ratio before finding x values

错误做法:

Rounding solutions too early in working

原因:

Rounding intermediate steps leads to inaccurate final answers

正确做法:

Keep 3-4 extra decimal places in intermediate steps, only round final answers to the required number of significant figures or decimal places

6. 速查表

Equation type	Steps to solve	Key check
Linear (single angle)	Find principal solution 2. Find all solutions in interval 3. Verify each solution	Confirm all solutions are within given interval
Linear (transformed angle)	Adjust interval for transformed variable 2. Solve for transformed variable 3. Unwind to x 4. Verify	Widen interval before solving, don't miss solutions
Quadratic	Use Pythagorean identity to get single ratio 2. Factorise/solve quadratic 3. Discard invalid roots 4. Find all x solutions in interval	Check $∣ sin x ∣ \leq 1$ and $∣ cos x ∣ \leq 1$ for all roots

7. 常见问题

本次考试中我需要给出三角方程的通解吗？

不需要，你只需要找出所有落在题目明确给出的区间内的解即可。不要在最终答案中添加 $+ 360 n^{\circ}$ 或 $+ 2 π n$ 项。

我可以在解题过程中混用角度和弧度吗？

不可以，始终使用区间标注的单位，并将变换角的区间调整为匹配同一单位。开始解题前请将你的计算器设置为正确的模式。

如果我得到的二次根满足 $∣ sin x ∣ > 1$ 或 $∣ cos x ∣ > 1$ 该怎么办？

请直接舍去这些解，因为正弦和余弦的取值范围仅在-1到1之间，因此这些根不存在有效的实角解。

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下一步

Now that you can solve simple trigonometric equations, you are ready to apply these skills to more advanced trigonometry problems in your Edexcel IGCSE Further Pure Maths exam. Next, you should practice solving mixed trigonometric equation questions from past papers, and learn how to use double-angle identities to solve more complex equations. You will also use these solution skills when working with trigonometric graphs and calculus problems later in the course.