# 简单三角方程的求解

> 爱德思国际GCSE进阶纯数学 · 4PM1
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-further-pure-math-s10-solution-of-simple-trigonometric-equations/

本指南将教你求解爱德思IGCSE进阶纯数学（4PM1）的线性与二次三角方程。你将学习处理平移角/倍角、调整区间，并找出给定范围内的所有有效解。

**先修:** [三角恒等式（勾股恒等式、二倍角公式）](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-further-pure-math-s10-trigonometric-identities/); [30°、45°、60°的三角精确值](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-further-pure-math-s10-exact-trig-values/)

## 学习目标

- 在给定区间内求解含倍角/平移角的线性三角方程
- 利用三角勾股恒等式求解二次三角方程
- 为变换后的角度调整区间，再反解得到所有有效的x解

## 含单角的线性三角方程

线性三角方程的形式为$\sin x = k$、$\cos x = k$或$\tan x = k$，其中k为常数。解题时首先要明确给定区间的单位（角度或弧度），并在所有步骤中统一使用该单位。

**主值解** — 三角方程的最小正解，可通过计算器或特殊角精确值知识求得。利用象限规则找出区间内的所有其他解。

**例题:** 求解$\tan x = 1$，其中$90^\circ < x < 270^\circ$。

1. 利用精确值知识求主值解：$\tan^{-1}(1) = 45^\circ$
2. 正切的周期为180°，因此将主值解加180°即可得到给定范围内的解：
3. $$x = 45^\circ + 180^\circ = 225^\circ$$
4. 验证225°处于90°到270°之间，因此它是唯一的有效解。

> **考试提示:** 请务必将你求得的每一个解代回原方程检验，确认它成立且落在给定区间内。

*计算器:* allowed

## 处理变换角（平移角/倍角）

当三角函数的自变量是x的线性变换形式（例如$3x + 30^\circ$或$x - \pi/2$）时，首先将给定区间调整为匹配变换后的变量，求出变换变量的所有解，再整理得到x的解。

**例题:** 求解$\cos(3x + 30^\circ) = \frac{1}{2}$，其中$-90^\circ < x < 90^\circ$。

1. 为$\theta = 3x + 30^\circ$调整区间：将x的上下限乘以3，再加30°：$3(-90) +30 = -240^\circ$，$3(90) +30 = 300^\circ$。在$-240^\circ < \theta < 300^\circ$范围内求解$\cos \theta = 1/2$。
2. 主值解：$\cos^{-1}(1/2) = 60^\circ$。余弦在第一和第四象限为正，因此有效的$\theta$值为$-60^\circ$和$60^\circ$。
3. 回代求x：$x = \frac{\theta - 30^\circ}{3}$
4. $$\text{For } \theta = -60^\circ: x = \frac{-90}{3} = -30^\circ$$
5. $$\text{For } \theta = 60^\circ: x = \frac{30}{3} = 10^\circ$$
6. 两个解都落在$-90^\circ < x < 90^\circ$范围内，因此最终解为$x=-30^\circ, 10^\circ$。

> **考试提示:** 请务必先为变换角扩大区间再求解，否则你会漏掉在回代到x之前超出原x区间的解。

*计算器:* allowed

## 求解二次三角方程

二次三角方程可以整理为$aR^2 + bR + c = 0$的形式，其中R是单一三角比（sin、cos、tan）。如果方程同时包含sin和cos项，可以使用三角勾股恒等式$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$消去其中一个三角比。

**毕达哥拉斯三角恒等式** — 对所有x值均成立的恒等式$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$，可用于正弦平方项与余弦平方项之间的转换，将方程化简为仅含单一三角函数的形式。

**例题:** 求解方程$6\cos^2 x^\circ + \sin x^\circ - 5 = 0$，其中$0 ≤ x < 360$。

1. 利用毕达哥拉斯三角恒等式，将$\cos^2 x$替换为$1 - \sin^2 x$：
2. $$6(1 - \sin^2 x) + \sin x - 5 = 0$$
3. $$6 - 6\sin^2 x + \sin x - 5 = 0 \implies 6\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$$
4. 对关于$\sin x$的二次式进行因式分解：
5. $$(3\sin x + 1)(2\sin x - 1) = 0$$
6. 求解每个因式：$\sin x = -\frac{1}{3}$ 或 $\sin x = \frac{1}{2}$
7. 找出给定范围内的所有解：当$\sin x = 1/2$时，解为$30^\circ, 150^\circ$；当$\sin x = -1/3$时，解为$199.5^\circ, 340.5^\circ$（保留1位小数）。

> **考试提示:** 舍去所有满足$|\sin x|>1$或$|\cos x|>1$的二次方程解，这类解是不可能存在的，没有对应的实解。

*计算器:* allowed

## 用弧度制求解三角方程

很多题目会使用弧度而非角度，尤其是涉及$\pi$的区间类题目。解答这类题目时请确保你的计算器已切换至弧度模式，同时使用代表整周的$2\pi$而非360°来调整区间范围。

**例题:** 求解方程$\sin(x - \pi/2) = 3/4$，其中$0 < x < 2\pi$。

1. 针对$\theta = x - \pi/2$调整区间：对上下限同时减去$\pi/2$，得到$-\pi/2 < \theta < 3\pi/2$。
2. 主值解：$\sin^{-1}(3/4) ≈ 0.848$弧度。正弦函数在第一、第二象限为正，因此第二个解为$\pi - 0.848 ≈ 2.294$弧度。
3. 回代求解x：$x = \theta + \pi/2$
4. $$\text{First solution: } 0.848 + 1.571 ≈ 2.42 \text{ radians}$$
5. $$\text{Second solution: } 2.294 + 1.571 ≈ 3.87 \text{ radians}$$
6. 两个数值都落在$0 < x < 2\pi$范围内，因此均为有效解。

> **考试提示:** 如果题目要求给出精确解，请使用$30^\circ=\pi/6$、$45^\circ=\pi/4$、$60^\circ=\pi/3$等精确弧度值，不要使用小数近似值。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** Mixing degrees and radians in the same working
  - 原因: Causes incorrect solution values as calculator modes will give wrong outputs
  - 正确做法: Always use the unit stated in the question interval, set calculator to match, and keep all working in that unit
- **错误做法:** Forgetting to adjust the interval for transformed angles
  - 原因: You will miss valid solutions that fall outside the original x interval when solving for the transformed variable
  - 正确做法: First widen/narrow the interval to match the transformed angle before finding solutions
- **错误做法:** Including general solutions with $+360n^\circ$ or $+2\pi n$
  - 原因: The exam only requires solutions in the given interval, extra general solutions will lose marks
  - 正确做法: Only list solutions that lie strictly inside the given interval, discard any outside
- **错误做法:** Not discarding quadratic trigonometric solutions where $|\sin x|>1$ or $|\cos x|>1$
  - 原因: Sine and cosine only take values between -1 and 1, so these solutions are impossible
  - 正确做法: After solving the quadratic, check each root is within the valid range for the trigonometric ratio before finding x values
- **错误做法:** Rounding solutions too early in working
  - 原因: Rounding intermediate steps leads to inaccurate final answers
  - 正确做法: Keep 3-4 extra decimal places in intermediate steps, only round final answers to the required number of significant figures or decimal places

## 速查表

| Equation type | Steps to solve | Key check |
| --- | --- | --- |
| Linear (single angle) | 1. Find principal solution 2. Find all solutions in interval 3. Verify each solution | Confirm all solutions are within given interval |
| Linear (transformed angle) | 1. Adjust interval for transformed variable 2. Solve for transformed variable 3. Unwind to x 4. Verify | Widen interval before solving, don't miss solutions |
| Quadratic | 1. Use Pythagorean identity to get single ratio 2. Factorise/solve quadratic 3. Discard invalid roots 4. Find all x solutions in interval | Check $\|\sin x\| ≤1$ and $\|\cos x\| ≤1$ for all roots |

## 下一步

Now that you can solve simple trigonometric equations, you are ready to apply these skills to more advanced trigonometry problems in your Edexcel IGCSE Further Pure Maths exam. Next, you should practice solving mixed trigonometric equation questions from past papers, and learn how to use double-angle identities to solve more complex equations. You will also use these solution skills when working with trigonometric graphs and calculus problems later in the course.

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