加法公式

Edexcel 国际GCSE 进阶纯数学· 10G· 15 分钟阅读

1. 给定加法公式与基础应用★★☆☆☆⏱ 4 min

✓ 计算器

所有核心加法公式都在Edexcel 4PM1公式表中提供，因此你无需熟记它们。你将使用这些公式展开包含组合角度的表达式，计算非标准角度的精确值，并化简复杂的三角表述。

📘 定义

加法公式（给定）

六个核心给定公式如下：

$sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B$
$sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin B$
$cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B$
$cos (A - B) = cos A cos B + sin A sin B$
$tan (A + B) = \frac{t a n A + t a n B}{1 - t a n A t a n B}$
$tan (A - B) = \frac{t a n A - t a n B}{1 + t a n A t a n B}$

📐 例题

使用 $sin (A + B)$ 的加法公式计算 $sin 7 5^{\circ}$ 的精确值。

1
步骤1：将75°表示为两个已知精确值的角度之和： $7 5^{\circ} = 4 5^{\circ} + 3 0^{\circ}$ ，因此 $A = 4 5^{\circ}$ ， $B = 3 0^{\circ}$
2
步骤2：代入给定的 $sin (A + B)$ 公式：
3
$\sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin45^\circ \cos30^\circ + \cos45^\circ \sin30^\circ$
4
步骤3：代入精确值： $sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ ， $cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ ， $cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ ， $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$
5
$= \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Exam tip:

当题目要求得到精确结果时，始终使用30°/45°/60°角度的精确值，切勿使用小数近似值。

2. 从加法公式推导倍角恒等式★★★☆☆⏱ 4 min

✓ 计算器

倍角恒等式不会在公式表中给出，但你可以通过在加法公式中令 $B = A$ 快速推导出它们。这些恒等式对于化简角度乘以2的表达式非常有用。

📘 定义

倍角恒等式（推导所得）

你必须能够从给定的加法公式推导出以下所有恒等式：

$sin 2 A = 2 sin A cos A$
$cos 2 A = cos^{2} A - sin^{2} A = 2 cos^{2} A - 1 = 1 - 2 sin^{2} A$
$tan 2 A = \frac{2 t a n A}{1 - t a n ^{2} A}$

📐 例题

从 $cos (A + B)$ 加法公式出发，推导出仅用 $cos^{2} A$ 表示的 $cos 2 A$ 恒等式。

1
步骤1：从给定的 $cos (A + B)$ 公式开始：
2
$\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$
3
步骤2：令 $B = A$ 得到倍角：
4
$\cos(A+A) = \cos A \cos A - \sin A \sin A \implies \cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A$
5
步骤3：使用毕达哥拉斯恒等式 $sin^{2} A = 1 - cos^{2} A$ 进行代入：
6
$\cos 2A = \cos^2 A - (1 - \cos^2 A) = 2\cos^2 A - 1$

3. 展开与化简三角表达式★★★☆☆⏱ 4 min

✓ 计算器

常见的考题要求你使用加法公式展开或化简组合三角表达式，之后通常还需要使用基础恒等式或倍角规则进一步化简。请务必展示所有解题步骤以获得满分。

📐 例题

化简表达式 $cos (θ + 3 0^{\circ}) + sin (θ - 6 0^{\circ})$ ，将答案化为最简形式。

1
步骤1：使用加法公式展开两项：
2
$\cos(\theta + 30^\circ) = \cos\theta \cos30^\circ - \sin\theta \sin30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta - \frac{1}{2}\sin\theta$
3
$\sin(\theta - 60^\circ) = \sin\theta \cos60^\circ - \cos\theta \sin60^\circ = \frac{1}{2}\sin\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta$
4
步骤2：将两个展开后的表达式相加：
5
$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta - \frac{1}{2}\sin\theta\right) + \left(\frac{1}{2}\sin\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta\right) = 0$

Exam tip:

化简时，始终先划去符号相反的相等项，以减少你需要处理的项数。

4. 验证三角恒等式★★★★☆⏱ 3 min

✓ 计算器

你可能会被要求使用加法公式证明两个三角表达式相等。始终从恒等式更复杂的一侧开始，对其进行变形以匹配更简单的一侧。

📐 例题

证明 $sin (A + B) + sin (A - B) = 2 sin A cos B$ 。

1
步骤1：从更复杂的左侧（LHS）开始。
2
步骤2：使用给定的加法公式展开 $sin (A + B)$ 和 $sin (A - B)$ ：
3
$LHS = [\sin A \cos B + \cos A \sin B] + [\sin A \cos B - \cos A \sin B]$
4
步骤3：合并同类项进行化简：
5
$LHS = \sin A \cos B + \cos A \sin B + \sin A \cos B - \cos A \sin B = 2 \sin A \cos B$
6
这与右侧（RHS）相等，因此恒等式得证。

5. 常见陷阱

错误做法:

混淆 $cos (A \pm B)$ 公式中的符号

原因:

余弦展开式中的符号与两个角度之间的运算符号相反，因此学生经常误将-写为+

正确做法:

记住口诀：余弦交叉，符号翻转：对于 $cos (A + B)$ ，你需要减去正弦的乘积，对于 $cos (A - B)$ ，你需要加上正弦的乘积。

错误做法:

当题目明确要求时忘记推导倍角恒等式

原因:

倍角恒等式不会在公式表中给出，因此如果题目要求从加法规则推导，直接写出恒等式而不推导会失分

正确做法:

当题目要求时，始终在对应的加法公式中令 $B = A$ ，并展示推导的所有步骤。

错误做法:

当A或B是90°的奇数倍时使用 $tan (A \pm B)$ 公式

原因:

正切在90°的奇数倍处无定义，因此该公式会产生无效结果

正确做法:

对于 $tan$ 无定义的角度，请改用正弦和余弦加法公式。

错误做法:

展开 $sin (A - B)$ 或 $cos (A - B)$ 时符号处理错误

原因:

学生经常忘记将负号应用到展开式后半部分的所有项上

正确做法:

如果你对减法形式不熟悉，可以将角度写为 $A + (- B)$ ，使用标准加法公式以保持符号一致。

错误做法:

当角度以弧度给出时使用计算器的角度模式，反之亦然

原因:

这会得到错误的数值结果，导致你的解题过程无效

正确做法:

始终检查题目中给出的角度单位，如果你使用计算器计算，请相应调整计算器模式。

6. 速查表

公式类型	给定 / 推导所得	恒等式
加法（正弦）	给定	$sin (A \pm B) = sin A cos B \pm cos A sin B$
加法（余弦）	给定	$cos (A \pm B) = cos A cos B \mp sin A sin B$
加法（正切）	给定	$tan (A \pm B) = \frac{t a n A \pm t a n B}{1 \mp t a n A t a n B}$
倍角（正弦）	推导所得	$sin 2 A = 2 sin A cos A$
倍角（余弦）	推导所得	$cos 2 A = cos^{2} A - sin^{2} A = 2 cos^{2} A - 1 = 1 - 2 sin^{2} A$
倍角（正切）	推导所得	$tan 2 A = \frac{2 t a n A}{1 - t a n ^{2} A}$

7. 常见问题

我需要为4PM1考试熟记加法公式吗？

不需要，sin(A±B)、cos(A±B)和tan(A±B)公式会在考试公式表中提供。你只需要熟记如何从这些公式推导出倍角恒等式。

我可以在答案中直接使用倍角公式吗？

可以，你可以用它们来化简和计算，但如果题目明确要求你从加法公式推导出倍角公式，你必须展示所有推导步骤才能获得满分。

深入阅读

formula sheetEdexcel 4PM1 官方大纲与公式表第32页可查看给定的三角公式

下一步

现在你已经掌握了加法公式的使用和倍角恒等式的推导，你可以将这些技能应用于求解三角方程，这是Edexcel 4PM1三角单元的下一个主题。你还将在后续的三角函数微积分等主题中使用这些恒等式，使用倍角规则化简会让积分和求导变得简单得多。请确保定期练习推导倍角恒等式，以提升考试解题速度，并且在尝试任何涉及组合角度的问题时，始终首先参考给定的加法公式。