# 加法公式

> Edexcel 国际GCSE 进阶纯数学 · 4PM1
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-further-pure-math-s10-addition-formulae/

本指南将教你使用给定的sin(A±B)、cos(A±B)和tan(A±B)加法公式展开、化简三角表达式，并推导出Edexcel 4PM1考试要求掌握的倍角恒等式。

**先修:** [掌握30°、45°、60°的三角函数精确值](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-further-pure-math-s10-exact-trig-values/); [理解基础三角恒等式（sin²x + cos²x = 1，tanx = sinx/cosx）](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-further-pure-math-s10-basic-trig-identities/)

## 学习目标

- 使用给定的sin(A±B)、cos(A±B)和tan(A±B)公式展开并化简三角表达式
- 从加法公式直接推导所有倍角恒等式
- 使用加法公式计算非标准角度的精确三角函数值
- 使用加法和倍角规则验证简单的三角恒等式

## 给定加法公式与基础应用

所有核心加法公式都在Edexcel 4PM1公式表中提供，因此你无需熟记它们。你将使用这些公式展开包含组合角度的表达式，计算非标准角度的精确值，并化简复杂的三角表述。

**加法公式（给定）** — 六个核心给定公式如下：
- $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$
- $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$
- $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$
- $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$
- $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$
- $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$

**例题:** 使用$\sin(A+B)$的加法公式计算$\sin 75^\circ$的精确值。

1. 步骤1：将75°表示为两个已知精确值的角度之和：$75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$，因此$A=45^\circ$，$B=30^\circ$
2. 步骤2：代入给定的$\sin(A+B)$公式：
3. $$\sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin45^\circ \cos30^\circ + \cos45^\circ \sin30^\circ$$
4. 步骤3：代入精确值：$\sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin30^\circ=\frac{1}{2}$
5. $$= \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$

> **考试提示:** 当题目要求得到精确结果时，始终使用30°/45°/60°角度的精确值，切勿使用小数近似值。

*计算器:* allowed

## 从加法公式推导倍角恒等式

倍角恒等式不会在公式表中给出，但你可以通过在加法公式中令$B = A$快速推导出它们。这些恒等式对于化简角度乘以2的表达式非常有用。

> **tip**
>
> 熟记$\cos 2A$的三种形式以节省考试时间，它们在化简中使用频率很高。

**倍角恒等式（推导所得）** — 你必须能够从给定的加法公式推导出以下所有恒等式：
- $\sin 2A = 2 \sin A \cos A$
- $\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 2\cos^2 A - 1 = 1 - 2\sin^2 A$
- $\tan 2A = \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A}$

**例题:** 从$\cos(A+B)$加法公式出发，推导出仅用$\cos^2 A$表示的$\cos 2A$恒等式。

1. 步骤1：从给定的$\cos(A+B)$公式开始：
2. $$\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$$
3. 步骤2：令$B = A$得到倍角：
4. $$\cos(A+A) = \cos A \cos A - \sin A \sin A \implies \cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A$$
5. 步骤3：使用毕达哥拉斯恒等式$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A$进行代入：
6. $$\cos 2A = \cos^2 A - (1 - \cos^2 A) = 2\cos^2 A - 1$$

*计算器:* allowed

## 展开与化简三角表达式

常见的考题要求你使用加法公式展开或化简组合三角表达式，之后通常还需要使用基础恒等式或倍角规则进一步化简。请务必展示所有解题步骤以获得满分。

**例题:** 化简表达式$\cos(\theta + 30^\circ) + \sin(\theta - 60^\circ)$，将答案化为最简形式。

1. 步骤1：使用加法公式展开两项：
2. $$\cos(\theta + 30^\circ) = \cos\theta \cos30^\circ - \sin\theta \sin30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta - \frac{1}{2}\sin\theta$$
3. $$\sin(\theta - 60^\circ) = \sin\theta \cos60^\circ - \cos\theta \sin60^\circ = \frac{1}{2}\sin\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta$$
4. 步骤2：将两个展开后的表达式相加：
5. $$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta - \frac{1}{2}\sin\theta\right) + \left(\frac{1}{2}\sin\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta\right) = 0$$

> **考试提示:** 化简时，始终先划去符号相反的相等项，以减少你需要处理的项数。

*计算器:* allowed

## 验证三角恒等式

你可能会被要求使用加法公式证明两个三角表达式相等。始终从恒等式更复杂的一侧开始，对其进行变形以匹配更简单的一侧。

**例题:** 证明$\sin(A + B) + \sin(A - B) = 2 \sin A \cos B$。

1. 步骤1：从更复杂的左侧（LHS）开始。
2. 步骤2：使用给定的加法公式展开$\sin(A+B)$和$\sin(A-B)$：
3. $$LHS = [\sin A \cos B + \cos A \sin B] + [\sin A \cos B - \cos A \sin B]$$
4. 步骤3：合并同类项进行化简：
5. $$LHS = \sin A \cos B + \cos A \sin B + \sin A \cos B - \cos A \sin B = 2 \sin A \cos B$$
6. 这与右侧（RHS）相等，因此恒等式得证。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 混淆$\cos(A \pm B)$公式中的符号
  - 原因: 余弦展开式中的符号与两个角度之间的运算符号相反，因此学生经常误将-写为+
  - 正确做法: 记住口诀：余弦交叉，符号翻转：对于$\cos(A+B)$，你需要减去正弦的乘积，对于$\cos(A-B)$，你需要加上正弦的乘积。
- **错误做法:** 当题目明确要求时忘记推导倍角恒等式
  - 原因: 倍角恒等式不会在公式表中给出，因此如果题目要求从加法规则推导，直接写出恒等式而不推导会失分
  - 正确做法: 当题目要求时，始终在对应的加法公式中令$B=A$，并展示推导的所有步骤。
- **错误做法:** 当A或B是90°的奇数倍时使用$\tan(A\pm B)$公式
  - 原因: 正切在90°的奇数倍处无定义，因此该公式会产生无效结果
  - 正确做法: 对于$\tan$无定义的角度，请改用正弦和余弦加法公式。
- **错误做法:** 展开$\sin(A-B)$或$\cos(A-B)$时符号处理错误
  - 原因: 学生经常忘记将负号应用到展开式后半部分的所有项上
  - 正确做法: 如果你对减法形式不熟悉，可以将角度写为$A + (-B)$，使用标准加法公式以保持符号一致。
- **错误做法:** 当角度以弧度给出时使用计算器的角度模式，反之亦然
  - 原因: 这会得到错误的数值结果，导致你的解题过程无效
  - 正确做法: 始终检查题目中给出的角度单位，如果你使用计算器计算，请相应调整计算器模式。

## 速查表

| 公式类型 | 给定 / 推导所得 | 恒等式 |
| --- | --- | --- |
| 加法（正弦） | 给定 | $\sin(A\pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ |
| 加法（余弦） | 给定 | $\cos(A\pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ |
| 加法（正切） | 给定 | $\tan(A\pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$ |
| 倍角（正弦） | 推导所得 | $\sin2A = 2 \sin A \cos A$ |
| 倍角（余弦） | 推导所得 | $\cos2A = \cos^2A - \sin^2A = 2\cos^2A - 1 = 1 - 2\sin^2A$ |
| 倍角（正切） | 推导所得 | $\tan2A = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2A}$ |

## 下一步

现在你已经掌握了加法公式的使用和倍角恒等式的推导，你可以将这些技能应用于求解三角方程，这是Edexcel 4PM1三角单元的下一个主题。你还将在后续的三角函数微积分等主题中使用这些恒等式，使用倍角规则化简会让积分和求导变得简单得多。请确保定期练习推导倍角恒等式，以提升考试解题速度，并且在尝试任何涉及组合角度的问题时，始终首先参考给定的加法公式。

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