分母有理化

Edexcel 国际GCSE 进阶纯数学· 1D· 12 分钟阅读

1. 单根式分母有理化★★☆☆☆⏱ 4 min

✓ 计算器

当分母仅包含一个形如 $a$ 的根式时，你可以将分子和分母同时乘以 $a$ 完成有理化。该方法成立的原因是 $a \times a = a$ 是有理数，且你相当于将原式乘以1，因此表达式的值不会发生改变。

📘 定义

单根式分母

仅由根号（平方根）项组成，不含额外常数或加减项的分母

📐 例题

将 $\frac{10}{2}$ 分母有理化，将答案化为最简形式。

1
将分子和分母同时乘以 $2$ ，消去分母中的根式
$\frac{10}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
2
利用 $2 \times 2 = 2$ 化简分母
$\frac{10\sqrt{2}}{2}$
3
将分子和分母同时除以二者的最大公因数2，完成完全化简
$5\sqrt{2}$

Exam tip:

有理化完成后务必对得到的分数进行化简，避免因步骤不完整失分。

2. 二项根式分母有理化★★★☆☆⏱ 5 min

✓ 计算器

当分母是形如 $a \pm b$ 的含根式二项式时，你可以使用分母的共轭式进行有理化。将二项式与其共轭式相乘可以消去根式项，因为使用平方差公式展开乘积时，交叉项会相互抵消。

📘 定义

二项根式的共轭式

对于形如 $a + b$ 的二项式，其共轭式为 $a - b$ ；对于形如 $a - b$ 的二项式，其共轭式为 $a + b$ 。二项式与其共轭式的乘积始终为有理数。

📐 例题

将 $\frac{1}{2 - 3}$ 分母有理化，给出精确形式的答案。

1
确定分母 $2 - 3$ 的共轭式：即 $2 + 3$
2
将分子和分母同时乘以该共轭式
$\frac{1}{2 - \sqrt{3}} \times \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$
3
使用平方差恒等式 $(x - y) (x + y) = x^{2} - y^{2}$ 展开分母
$\frac{2 + \sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 + \sqrt{3}$

Exam tip:

使用平方差恒等式而非FOIL法展开分母，避免常见的符号错误。

3. 综合有理化习题★★★★☆⏱ 3 min

✓ 计算器

考试题通常要求你先化简根式再进行有理化，或将有理化后的项与其他表达式合并，得到符合要求形式的最终答案。务必检查最终答案的分子和分母之间没有公因数，且所有根式都已完全化简。

📐 例题

完全化简： $\frac{12}{8} + \frac{1}{3 + 2}$

1
化简 $8 = 4 \times 2 = 22$ ，再化简第一项
$\frac{12}{2\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}}$
2
对第一项进行有理化并化简
$\frac{6}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$
3
使用第二项的共轭式 $3 - 2$ 对其进行有理化
$\frac{1}{3 + \sqrt{2}} \times \frac{3 - \sqrt{2}}{3 - \sqrt{2}} = \frac{3 - \sqrt{2}}{9 - 2} = \frac{3 - \sqrt{2}}{7}$
4
通分合并两项并化简
$3\sqrt{2} + \frac{3 - \sqrt{2}}{7} = \frac{21\sqrt{2} + 3 - \sqrt{2}}{7} = \frac{3 + 20\sqrt{2}}{7}$

✓ 快速检测

$5 + 7$ 的共轭式是什么？
- $5 - 7$
- $- 5 + 7$
- $7 + 5$
- $7 - 5$
将 $\frac{4}{3}$ 分母有理化，化简后的答案是什么？
- $43$
- $\frac{4 3}{3}$
- $\frac{3}{4}$
- $123$
显示答案
1 —
正确：将分子分母同时乘以 $3$ 即可得到 $\frac{4 3}{3}$ 。

4. 常见陷阱

错误做法:

仅将分母乘以 $a$ 或共轭式，没有同时乘以分子

原因:

这会改变整个表达式的值，得到错误的结果

正确做法:

始终将分子和分母同时乘以同一个项（等价于乘以1），保持表达式的值不变

错误做法:

求共轭式时改变常数项的符号，例如将 $- 2 + 3$ 作为 $2 - 3$ 的共轭式

原因:

如果你改变常数项的符号，乘积结果不会是有理数，因此无法消去分母中的根式

正确做法:

求共轭式时仅改变根式项的符号： $2 - 3$ 的共轭式是 $2 + 3$

错误做法:

有理化完成后没有化简最终的分数，例如将 $\frac{10 2}{2}$ 作为最终答案

原因:

考官要求答案为最简形式，你会因化简不完整而失分

正确做法:

有理化后始终将分子和分母除以二者的最大公因数，得到最简形式

错误做法:

使用FOIL法而非平方差公式展开二项根式的分母

原因:

手动展开在合并交叉项时经常会出现负号错误

正确做法:

使用平方差恒等式 $(x - y) (x + y) = x^{2} - y^{2}$ 快速准确地展开分母

5. 速查表

分母类型	有理化方法	示例
单根式（ $\frac{1}{a}$ ）	分子分母同乘 $a$	$\frac{1}{2} = \frac{2}{2}$
二项式（ $\frac{1}{a + b}$ ）	分子分母同乘 $a - b$	$\frac{1}{3 + 5} = \frac{3 - 5}{4}$
二项式（ $\frac{1}{a - b}$ ）	分子分母同乘 $a + b$	$\frac{1}{2 - 3} = 2 + 3$

6. 常见问题

我在所有4PM1考试答案中都必须将分母有理化吗？

是的，除非题目另有明确说明。阅卷考官要求最终的根式答案必须带有有理化分母，才能给到满分。

我可以使用计算器验证我的有理化计算结果吗？

可以，该知识点在允许使用计算器的试卷中考查。你可以对比原表达式和有理化结果的小数值，确认二者相等。

深入阅读

official_documentEdexcel 4PM1 考试大纲第1部分（代数）的官方考试大纲

下一步

掌握分母有理化后，你可以将该技能应用到Edexcel IGCSE进阶纯数学的诸多知识点中，包括涉及根式距离的坐标几何题、三角函数精确值计算，以及求解带根式根的二次方程。如果你后续学习A-Level数学，该技能也是更高级根式运算的前置要求。请务必练习往年真题，熟悉有理化知识点与其他S1知识点结合的考查方式。