指数与对数的性质

Q: 求解指数方程时我可以使用自然对数（ln）吗？

可以，只要你正确应用对数运算法则并写出完整推导过程，你可以使用任意底数（以10为底、自然对数或指数的底数）来求解形如的方程。

爱德思国际GCSE进阶纯数学· S1部分，1B模块· 25 分钟阅读

1. 适用于整数、负数和有理指数的指数运算法则★★☆☆☆⏱ 7 min

✓ 计算器

📘 定义

指数运算法则

用于化简含指数的表达式的一系列规则，适用于所有有理指数：

$a^{0} = 1$ （其中 $a \neq = 0$ ）
$a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ （其中 $a \neq = 0$ ）
$a^{m / n} = (n a)^{m}$ （其中 $a > 0$ ）

例:

$8^{2/3} = (38)^{2} = 2^{2} = 4$

这些规则将基础整数指数法则拓展到负指数和分数次幂。请始终先化简负指数，再处理分数次幂，避免计算错误。

📐 例题

化简 $(\frac{16 x ^{- 4}}{81 y ^{8}})^{- 3/4}$ ，最终答案仅保留正指数。

1
对括号外的负指数应用指数法则，翻转括号内的分数：
$\left(\frac{81y^{8}}{16x^{-4}}\right)^{3/4}$
2
将括号内的负指数改写为正指数：
$\left(\frac{81y^{8}x^{4}}{16}\right)^{3/4}$
3
将分数次幂分别作用于每一项：
$\frac{(\sqrt[4]{81})^3 \times (\sqrt[4]{y^8})^3 \times (\sqrt[4]{x^4})^3}{(\sqrt[4]{16})^3}$
4
计算每一项的方根和幂次，得到最终化简结果：
$\frac{3^3 \times (y^2)^3 \times x^3}{2^3} = \frac{27x^3y^6}{8}$

Exam tip:

除非题目明确要求，否则最终答案请始终使用正指数形式呈现，最终解中出现负指数通常会被扣分。

2. 核心对数运算法则★★☆☆☆⏱ 7 min

✓ 计算器

📘 定义

对数运算法则

用于化简或合并对数表达式的规则（满足 $a > 0$ , $a \neq = 1$ , $x > 0$ , $y > 0$ ）：

$lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$
$lo g_{a} (\frac{x}{y}) = lo g_{a} x - lo g_{a} y$
$lo g_{a} (x^{k}) = k lo g_{a} x$
$lo g_{a} a = 1$
$lo g_{a} 1 = 0$

例:

$lo g_{2} (8 x) = lo g_{2} 8 + lo g_{2} x = 3 + lo g_{2} x$

这些法则是指数运算法则的逆运算，考试中你需要自行熟记所有内容，它们不会在公式表中给出。

📐 例题

将 $2 lo g_{10} 5 + lo g_{10} 8 - lo g_{10} 2$ 化简为一个整数值。

1
对第一项应用幂次法则，将系数移入对数内部：
$\log_{10} 5^2 + \log_{10} 8 - \log_{10} 2 = \log_{10} 25 + \log_{10} 8 - \log_{10} 2$
2
使用乘积法则合并加法项：
$\log_{10}(25 \times 8) - \log_{10} 2 = \log_{10} 200 - \log_{10} 2$
3
使用商数法则合并减法项：
$\log_{10}\left(\frac{200}{2}\right) = \log_{10} 100$
4
计算对数得到最终整数值：
$\log_{10} 100 = 2$

Exam tip:

绝对不要将 $lo g_{a} (x + y)$ 拆分为 $lo g_{a} x + lo g_{a} y$ ，这是非常常见的错误。乘积法则仅适用于对数内部的乘积项，不适用于求和项。

3. 对数换底公式★★★☆☆⏱ 5 min

✓ 计算器

📘 定义

换底公式

\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}

可将以 $a$ 为底的对数改写为以公共底数 $b$ 的对数之比的公式，通常取底数为10或自然对数以便用计算器求值。特殊情形 $lo g_{a} b = \frac{1}{l o g _{b} a}$ 是将通用公式中 $x = b$ 代入推导得到的。

例:

$lo g_{3} 7 = \frac{l o g _{10} 7}{l o g _{10} 3} \approx 1.771$

该公式会在考试公式表中给出，因此你无需背诵，但必须掌握其正确的应用方法，包括倒数的特殊情况。

📐 例题

使用以2为底的对数计算 $lo g_{4} 27$ 的值，结果以最简精确形式表示。

1
应用以2为底的换底公式：
$\log_4 27 = \frac{\log_2 27}{\log_2 4}$
2
化简分母，因为 $2^{2} = 4$ ：
$\log_2 4 = 2$
3
使用对数的幂法则重写分子：
$\log_2 3^3 = 3\log_2 3$
4
合并各项得到最终精确值：
$\frac{3\log_2 3}{2}$

Exam tip:

当题目要求求精确值时，不要使用计算器计算以10为底或自然对数的结果，这只会得到小数近似值。尽可能选择可以将分母化简为整数的底数。

4. 求解形如$a^x = b$的指数方程★★★☆☆⏱ 6 min

✓ 计算器

对于形如 $a^{x} = b$ 的方程，要求解未知指数，可对方程两边同时取对数，再应用对数运算法则分离出 $x$ 。你可以选择任意底数的对数进行运算，但使用底数 $a$ 可以简化计算。

📐 例题

求解 $3^{2 x - 1} = 20$ ，结果保留3位有效数字。

1
对方程两边同时取以10为底的对数：
$\log_{10}(3^{2x - 1}) = \log_{10} 20$
2
应用幂法则将指数下移：
$(2x - 1)\log_{10} 3 = \log_{10} 20$
3
将等式两边同时除以 $lo g_{10} 3$ ，分离出括号内的项：
$2x - 1 = \frac{\log_{10}20}{\log_{10}3} \approx 2.727$
4
求解 $x$ 并将结果四舍五入至3位有效数字：
$2x = 3.727 \implies x \approx 1.86$

✓ 快速检测

What is the first step to solve $5^{x + 2} = 12$ ?
- Divide both sides by 5
- Take logarithm of both sides
- Subtract 2 from both sides
显示答案
1 —
Correct! Taking the logarithm of both sides lets you use the power rule to bring the unknown exponent down to the level of the equation.

Exam tip:

请务必将答案代回原指数方程进行核验，确认结果正确，尤其在考试结束前还有剩余时间时更要执行这一步。

5. 常见陷阱

错误做法:

Writing $a^{- n} = - a^{n}$

原因:

Confusing negative exponents with negative coefficients. Negative exponents indicate a reciprocal, not a negative value.

正确做法:

Rewrite $a^{- n}$ as $\frac{1}{a ^{n}}$ for $a \neq = 0$ .

错误做法:

Splitting $lo g_{a} (x + y)$ into $lo g_{a} x + lo g_{a} y$

原因:

Misapplying the product rule, which only applies to products, not sums, inside logarithms.

正确做法:

Leave $lo g_{a} (x + y)$ as is unless you can factor the expression inside the logarithm into a product.

错误做法:

Incorrectly applying the change of base formula as $lo g_{a} x = \frac{l o g _{b} a}{l o g _{b} x}$

原因:

Swapping the numerator and denominator of the ratio.

正确做法:

Remember that the base of the original logarithm appears in the denominator of the change of base ratio.

错误做法:

Forgetting that $a^{0} = 1$ only applies when $a \neq = 0$

原因:

Ignoring the domain constraint, as $0^{0}$ is undefined.

正确做法:

Always state that $a \neq = 0$ when applying the $a^{0} = 1$ rule if the base includes a variable.

错误做法:

Rounding intermediate values when solving exponential equations

原因:

Premature rounding introduces errors in subsequent calculation steps, leading to inaccurate final answers.

正确做法:

Keep all intermediate values in your calculator memory and only round the final answer to the required number of significant figures or decimal places.

6. 速查表

Concept	Rule	Key Note
Index Laws	$a^{0} = 1$	$a \neq = 0$
Index Laws	$a^{- n} = 1/ a^{n}$	$a \neq = 0$
Index Laws	$a^{m / n} = (n a)^{m}$	$a > 0$
Logarithm Laws	$lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$	$x, y > 0, a > 0, a \neq = 1$
Logarithm Laws	$lo g_{a} (x / y) = lo g_{a} x - lo g_{a} y$	$x, y > 0, a > 0, a \neq = 1$
Logarithm Laws	$lo g_{a} (x^{k}) = k lo g_{a} x$	$x > 0, a > 0, a \neq = 1$
Change of Base	$lo g_{a} x = lo g_{b} x / lo g_{b} a$	Given on formula sheet
Change of Base Special Case	$lo g_{a} b = 1/ lo g_{b} a$	Derived from general formula
Solve $a^{x} = b$	$x = lo g_{a} b = lo g b / lo g a$	Use any base for calculation

7. 常见问题

我需要为考试熟记换底公式吗？

不需要，换底公式会在官方4PM1公式表中给出，但你需要熟记所有其他指数和对数运算法则，这些内容不会在考场上提供。

求解指数方程时我可以使用自然对数（ln）吗？

可以，只要你正确应用对数运算法则并写出完整推导过程，你可以使用任意底数（以10为底、自然对数或指数的底数）来求解形如 $a^{x} = b$ 的方程。

深入阅读

formula sheet爱德思4PM1进阶纯数学考纲与公式表包含换底公式在内的给定公式请参考第32页。

下一步

Now that you have mastered the properties of indices and logarithms, you are ready to apply these rules to more advanced topics in Edexcel IGCSE Further Pure Math. You will frequently use these laws when simplifying algebraic expressions, solving exponential and logarithmic equations, and working with sequences and series. Be sure to practice both simplification problems and equation-solving questions to build fluency, as these concepts are often tested alongside other topics like coordinate geometry and trigonometry. Next, you can explore related topics to reinforce your knowledge and prepare for more complex exam questions.