对数函数

Q: 备考4PM1需要掌握对数函数的求导吗？

不需要，对数函数或非形式的指数函数的求导不属于4PM1考纲内容。你只需要掌握它们的图像形状和反函数关系即可。

Q: 换底公式会在4PM1考试中给出吗？

是的，对数换底公式会印在4PM1的公式表上，不过本小节内容不要求使用该公式（换底公式在S1T02部分讲解）。

Edexcel 国际IGCSE 进阶纯数学· 4PM1 第S1章节（2016版考纲）· 12 分钟阅读

1. 反函数关系与对数定义★★☆☆☆⏱ 4 min

✓ 计算器

形如 $y = a^{x}$ （其中 $a > 1$ ）的指数函数和形如 $y = lo g_{b} x$ （其中 $b > 1$ ）的对数函数互为反函数。这意味着其中一个运算可以抵消另一个的作用，它们的图像关于直线 $y = x$ 对称。

📘 定义

对数定义

\log_b x = y

等价于 $b^{y} = x$ ，其中 $b > 1$ 是底数， $x > 0$ 是输入值， $y$ 是运算得到的指数。

例:

$lo g_{2} 8 = 3$ 因为 $2^{3} = 8$

📐 例题

将指数式 $3^{4} = 81$ 改写为对数形式，将对数式 $lo g_{5} 125 = 3$ 改写为指数形式。

1
回忆核心定义： $lo g_{b} x = y ⟺ b^{y} = x$ 。对于 $3^{4} = 81$ ，识别出 $b = 3$ ， $y = 4$ ， $x = 81$ 。
2
代入对数形式得到 $lo g_{3} 81 = 4$ 。
3
对于 $lo g_{5} 125 = 3$ ，识别出 $b = 5$ ， $y = 3$ ， $x = 125$ 。
4
代入指数形式得到 $5^{3} = 125$ 。

Exam tip:

务必确认对数的输入值为正，在本阶段的实数范围内非正数的对数是无定义的。

2. 指数函数 $y = a^x$ 的图像★★★☆☆⏱ 3 min

✓ 计算器

所有底数 $a > 1$ 的指数函数都具有统一的典型形状。它们经过点 $(0, 1)$ ，因为任何正数的0次幂都等于1。图像随 $x$ 增大而递增，当 $x$ 取非常小的负值时，图像趋近于水平渐近线 $y = 0$ 。

📐 例题

绘制 $y = 2^{x}$ 的图像，清晰标注关键点和渐近线。

1
标注y轴截距点 $(0, 1)$ ，因为 $2^{0} = 1$ 。
2
用虚线画出水平渐近线 $y = 0$ （即x轴），图像永远不会接触或穿过这条线。
3
绘制一条平滑递增曲线，当 $x \to - \infty$ 时曲线逐渐靠近 $y = 0$ ，当 $x$ 取正值时曲线快速上升。
4
清晰标注曲线、截距和渐近线以获得全部分数。

Exam tip:

除非题目明确要求标注特定点，否则图像题你只需要画出正确的形状，标注关键点和渐近线即可。

3. 对数函数 $y = \log_b x$ 的图像★★★☆☆⏱ 3 min

✓ 计算器

作为指数函数的反函数，对数图像是 $y = b^{x}$ 关于直线 $y = x$ 的对称图像。所有底数 $b > 1$ 的对数图像都经过点 $(1, 0)$ ，因为 $lo g_{b} 1 = 0$ （对应 $b^{0} = 1$ ）。当 $x$ 从正方向趋近于0时，图像存在竖直渐近线 $x = 0$ （即y轴），且随 $x$ 增大缓慢递增。

📐 例题

绘制 $y = lo g_{3} x$ 的图像，标注关键点和渐近线，并说明它与 $y = 3^{x}$ 的关系。

1
标注x轴截距点 $(1, 0)$ ，因为 $lo g_{3} 1 = 0$ 。
2
用虚线画出竖直渐近线 $x = 0$ （即y轴），因为对数函数仅对正的 $x$ 值有定义。
3
绘制一条平滑递增曲线，当 $x \to 0^{+}$ 时曲线逐渐靠近 $x = 0$ ，当 $x$ 增大时曲线缓慢上升。
4
说明 $y = lo g_{3} x$ 是 $y = 3^{x}$ 关于直线 $y = x$ 的对称图像。

Exam tip:

永远不要将对数图像画入 $x < 0$ 的区域，在IGCSE阶段非正数的对数是无定义的。

4. 常见陷阱

错误做法:

将 $lo g_{b} 0$ 或 $lo g_{b} (- x)$ 写作有效值

原因:

对数仅对正输入有定义，不存在任何正底数的实数次幂等于0或负数

正确做法:

始终将对数函数的输入限制为 $x > 0$ ，如果题目要求定义域请明确写出该条件

错误做法:

将 $y = lo g_{b} x$ 的渐近线画为 $y = 0$ 而非 $x = 0$

原因:

混淆了指数函数的水平渐近线和其反函数对数函数的竖直渐近线

正确做法:

记住：指数函数图像的水平渐近线是 $y = 0$ ，对数函数图像的竖直渐近线是 $x = 0$

错误做法:

声称 $y = lo g_{b} x$ 的截距是 $(0, 1)$ 而非 $(1, 0)$

原因:

混淆了反函数的截距，反函数的x和y坐标是互换的

正确做法:

$y = a^{x}$ 的截距是 $(0, 1)$ ，因此其反函数对数的截距是 $(1, 0)$

错误做法:

将 $b^{y} = x$ 转换为 $lo g_{y} b = x$

原因:

在对数定义中错放了底数、输入值和输出值的位置

正确做法:

遵循规则：指数的底数就是对数的底数，因此正确形式是 $lo g_{b} x = y$

错误做法:

将底数 $b > 1$ 的对数图像画为递减曲线

原因:

混淆了考纲不要求的底数小于1的对数函数和4PM1要求的底数大于1的函数

正确做法:

4PM1考试中所有考察的对数函数底数都满足 $b > 1$ ，因此它们都是严格递增的

5. 速查表

函数	关键点	渐近线	形状（底数>1）
$y = a^{x}$	$(0, 1)$	$y = 0$ （水平）	递增，x取正值时快速上升
$y = lo g_{b} x$	$(1, 0)$	$x = 0$ （竖直）	递增，x取大值时缓慢上升
反函数关系	互换x/y坐标		关于直线 $y = x$ 对称

6. 常见问题

备考4PM1需要掌握对数函数的求导吗？

不需要，对数函数或非 $e^{k x}$ 形式的指数函数的求导不属于4PM1考纲内容。你只需要掌握它们的图像形状和反函数关系即可。

换底公式会在4PM1考试中给出吗？

是的，对数换底公式会印在4PM1的公式表上，不过本小节内容不要求使用该公式（换底公式在S1_T02部分讲解）。

深入阅读

official_resourceEdexcel 4PM1 2016 考纲4PM1 资质的官方考试局考纲文件

下一步

在掌握对数函数的基础定义和图像性质后，你就可以继续学习运用对数定律化简表达式和求解方程，这是S1单元的下一个子主题。这些知识对于4PM1考试中所有后续的代数和函数主题都至关重要，因为对数经常和指数、多项式一同出现在多步解答题中。你还会在后续的等比数列等主题中遇到对数关系，对数可用于求解数列中的未知项或项数。在继续学习之前，请确保你能熟练完成指数形式与对数形式的互化，并快速绘制两种函数的图像，这些技能经常在试卷开头的低分值基础题中考察。