振动

Edexcel 国际A-Level 物理· 2018 Spec Issue 3, statements 143–153, WPH15· 25 分钟阅读

1. 简谐运动（SHM）基础★★☆☆☆⏱ 10 min

📘 定义

简谐运动（SHM）

F = -kx, a = -ω²x

振动运动中，回复力和加速度与偏离平衡位置的位移成正比，且方向与位移相反。

例:

在无摩擦弹簧上振动的质量块符合简谐运动规律，因为弹簧力始终将质量块拉回平衡位置。

要确认一个系统做简谐运动，必须验证加速度始终与负位移成正比。比例系数等于 $ω^{2}$ ，其中ω是振动的角频率。

📐 例题

弹簧上的质量块被拉到偏离平衡位置0.02 m处，受到指向平衡位置的0.8 m s⁻²的加速度。证明该运动是简谐运动，并计算角频率ω。

1
确认加速度与-x成正比： $a = - (\frac{a}{x}) x$ 。代入数值： $a = - (\frac{0.8}{0.02}) x = - 40 x$ ，符合简谐运动判据 $a = - ω^{2} x$ ，因此该运动是简谐运动。
2
等式两边系数相等： $ω^{2} = 40$
3
$ω = \sqrt{40} \approx 6.3 \text{ rad s}^{-1}$

Exam tip:

考试中如果要求证明某系统做简谐运动，一定要明确关联 $a = - ω^{2} x$ 这一判据。

2. 简谐运动方程与周期计算★★★☆☆⏱ 12 min

所有简谐运动方程都会在考试公式表中给出。注意 $x = A cos ω t$ 的前提是 $t = 0$ 时 $x = A$ （位移最大）；如果 $t = 0$ 时 $x = 0$ ，则应使用 $x = A sin ω t$ 。

📘 定义

振动周期

T = \frac{1}{f} = \frac{2π}{ω}

完成一次全振动所需的时间，单位为秒。对于弹簧振子系统 $T = 2 π \frac{m}{k}$ ，对于单摆 $T = 2 π \frac{l}{g}$ 。

📐 例题

单摆的摆长为0.75 m，计算其周期和频率，取 $g = 9.81$ m s⁻²。

1
使用单摆周期公式： $T = 2 π \frac{l}{g}$
2
$T = 2π \times \sqrt{\frac{0.75}{9.81}} \approx 2π \times 0.276 \approx 1.74 \text{ s}$
3
计算频率 $f = \frac{1}{T}$
4
$f = \frac{1}{1.74} \approx 0.57 \text{ Hz}$

3. 振动图像解读★★☆☆☆⏱ 8 min

简谐运动的位移-时间（x-t）图像是余弦或正弦曲线。x-t图像的斜率对应速度，速度-时间（v-t）图像的斜率对应加速度。最大速度出现在 $x = 0$ （平衡位置）处，最大加速度出现在 $x = \pm A$ （最大位移）处。

📐 例题

某简谐运动的x-t图像最大位移为0.1 m，周期为2 s， $t = 0$ 时 $x = 0.1$ m。求 $t = 0.5$ s时速度的大小，以及 $t = 1$ s时加速度的大小。

1
在 $t = 0.5$ s（1/4周期）时，质量块处于平衡位置，速度达到最大值。 $ω = \frac{2 π}{T} = π$ rad s⁻¹，因此 $∣ v_{ma x} ∣ = A ω$
2
$|v| = 0.1 \times π \approx 0.31 \text{ m s}^{-1}$
3
在 $t = 1$ s（1/2周期）时，位移 $x = - A = - 0.1$ m，加速度达到最大值： $∣ a_{ma x} ∣ = A ω^{2}$
4
$|a| = 0.1 \times π² \approx 0.99 \text{ m s}^{-2}$

4. 自由振动、受迫振动、共振与阻尼★★★☆☆⏱ 10 min

📘 定义

共振

当外部驱动力的频率等于振动系统的固有频率时，振动振幅达到最大值的现象。

例:

歌手以玻璃杯的固有频率发声震碎玻璃杯，就是共振的典型实例。

无阻尼的自由振动振幅恒定，没有能量损耗。受迫振动由外部周期性驱动力驱动。弱阻尼会小幅降低共振峰值振幅，同时使共振峰位置略微向低频偏移；强阻尼会大幅降低峰值振幅，同时让共振曲线变得更宽。塑性变形也会通过将能量耗散为热量来产生阻尼效果。

📐 例题

某弹簧振子系统的固有频率为2 Hz，在频率为2 Hz的周期性驱动力作用下做受迫振动，系统同时受到弱阻尼。描述以下两种情况的振幅变化：(a) 驱动力频率升高到3 Hz，(b) 阻尼增强为强阻尼。

1
(a) 驱动力频率为2 Hz时系统处于共振状态，振幅达到最大值。将驱动力频率升高到3 Hz后，系统偏离固有频率，振幅会显著下降。
2
(b) 即使驱动力频率等于固有频率，将阻尼增强为强阻尼也会进一步降低共振的最大振幅，同时当驱动力频率偏离固有频率时，振幅的下降会更加平缓。

Exam tip:

关于阻尼和共振的定性问题在第5单元试卷中非常常见：作答时一定要将振幅变化与阻尼导致的能量损耗关联起来，才能拿到满分。

5. 核心实验16：通过共振频率求解未知质量★★★★☆⏱ 12 min

本实验中，你将不同的已知质量悬挂在弹簧下方，施加驱动力（例如通过连接信号发生器的振动台），测量每个质量对应的共振频率。绘制 $T^{2}$ 随 $m$ 变化的图像：图像的斜率等于 $\frac{4 π ^{2}}{k}$ ，由此可以求出弹簧的劲度系数 $k$ ，之后就可以通过未知质量的共振频率计算出它的质量。

📐 例题

某学生绘制弹簧的 $T^{2} - m$ 图像，得到斜率为0.4 s² kg⁻¹。某未知质量的共振周期为0.6 s，计算该未知质量的数值。

1
对弹簧振子的周期公式两边平方： $T^{2} = (\frac{4 π ^{2}}{k}) m$ ，因此 $T^{2} - m$ 图像的斜率等于 $\frac{4 π ^{2}}{k} = 0.4$ s² kg⁻¹
2
变形公式求解 $m$ ： $m = \frac{T ^{2}}{0.4}$
3
$m = \frac{0.6²}{0.4} = \frac{0.36}{0.4} = 0.9 \text{ kg}$

6. 常见陷阱

错误做法:

要求从图像求速度或加速度时，使用微积分对 $x$ 求导

原因:

Edexcel IAL第5单元大纲明确要求本主题不使用微积分；如果你用求导代替计算图像斜率，会被扣分。

正确做法:

通过位移-时间图像的切线斜率计算速度，通过速度-时间图像的切线斜率计算加速度。

错误做法:

认为当驱动力频率高于固有频率时，受迫振动的振幅达到最大值

原因:

无阻尼系统的共振严格发生在驱动力频率等于固有频率时，只有极强阻尼的系统共振频率才会略微向低频偏移。

正确做法:

除非题目明确说明系统受到极强阻尼，否则都要说明最大振幅出现在驱动力频率等于系统固有频率的位置。

错误做法:

单摆周期计算时使用 $g = 10$ m s⁻²

原因:

Edexcel规定所有计算都使用 $g = 9.81$ m s⁻²，使用10会导致舍入误差并丢失分数。

正确做法:

除非题目明确给出其他数值，否则所有计算都使用 $g = 9.81$ m s⁻²。

错误做法:

混淆弹簧振子和单摆的周期公式

原因:

弹簧振子的周期取决于质量和劲度系数，单摆的周期取决于摆长和 $g$ ，将二者混淆会得到完全错误的结果。

正确做法:

先判断系统类型：如果是弹簧上的质量块使用 $T = 2 π \frac{m}{k}$ ，如果是单摆使用 $T = 2 π \frac{l}{g}$ ，两个公式都会在考试公式表中给出。

错误做法:

声称阻尼会提高共振频率

原因:

阻尼从系统中消耗能量，降低最大振幅，只有强阻尼才会让共振频率略微向低频偏移，绝对不会提高频率。

正确做法:

将阻尼与共振振幅降低关联起来，只有题目明确提到强阻尼时，才可以说明共振峰有小幅的低频偏移。

7. 速查表

概念	公式/核心规则
简谐运动判据	$F = - k x$ ; $a = - ω^{2} x$
角频率	$ω = 2 π f = \frac{2 π}{T}$
简谐运动位移（ $t = 0$ 时 $x = A$ ）	$x = A cos ω t$
简谐运动速度	$v = - A ω sin ω t$ ; $∣ v_{ma x} ∣ = A ω$
简谐运动加速度	$a = - A ω^{2} cos ω t$ ; $∣ a_{ma x} ∣ = A ω^{2}$
弹簧振子周期	$T = 2 π \frac{m}{k}$
单摆周期	$T = 2 π \frac{l}{g}$
共振条件	驱动力频率 = 系统固有频率
阻尼效应	降低振动振幅；压低共振峰，拓宽共振曲线

8. 常见问题

我需要对简谐运动的位移方程求导来得到速度或加速度吗？

不需要。Edexcel IAL大纲本单元不要求使用微积分。你可以通过位移-时间图像的斜率计算速度，通过速度-时间图像的斜率计算加速度，也可以直接使用给出的公式。

什么力可以算作阻尼力？

任何从振动系统中消耗能量的阻力，包括空气阻力、摩擦力以及振动材料的塑性变形。阻尼总会使振动的振幅随时间逐渐减小。

深入阅读

syllabusEdexcel IAL 物理 2018 年教学大纲
formula_sheetEdexcel IAL 物理第5单元公式表所有简谐运动和周期公式都会在考试中提供

下一步

掌握Edexcel IAL物理第5单元的振动内容后，你就可以学习本单元的剩余主题：核辐射、热力学和宇宙学。振动相关概念尤其是共振，有时会和天体物理内容结合出现在综合题中，因此备考WPH15考试前要定期复习核心公式和定性规则。尽可能多练习简谐运动图像解读和共振相关的历年真题，这类高频题型单题分值通常为4-6分。确保你能快速准确地完成核心实验16的相关计算，实验类题目约占第5单元试卷总分的15%。

→热力学（第5单元）