# 振动

> Edexcel 国际A-Level 物理 · IAL 物理 第5单元
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-physics-u5-oscillations/

本指南涵盖Edexcel IAL物理第5单元所有振动相关内容，包括简谐运动判据、公式、图像解读、共振、阻尼，以及WPH15考试要求的核心实验16。

**先修:** 基础三角函数（余弦、正弦函数，弧度制）; 图像斜率计算技能

## 学习目标

- 利用F=-kx判据识别做简谐运动的系统
- 应用简谐运动方程计算位移、速度、加速度、周期和频率
- 使用弹簧振子和单摆的周期公式求解未知变量
- 解读振动系统的位移、速度-时间图像
- 定性解释自由振动、受迫振动、阻尼振动以及共振效应
- 完成核心实验16的相关计算，通过共振频率求解未知质量

## 简谐运动（SHM）基础

**简谐运动（SHM）** — 振动运动中，回复力和加速度与偏离平衡位置的位移成正比，且方向与位移相反。

*记法:* F = -kx, a = -ω²x

*例:* 在无摩擦弹簧上振动的质量块符合简谐运动规律，因为弹簧力始终将质量块拉回平衡位置。

要确认一个系统做简谐运动，必须验证加速度始终与负位移成正比。比例系数等于$ω²$，其中ω是振动的角频率。

**例题:** 弹簧上的质量块被拉到偏离平衡位置0.02 m处，受到指向平衡位置的0.8 m s⁻²的加速度。证明该运动是简谐运动，并计算角频率ω。

1. 确认加速度与-x成正比：$a = -(\frac{a}{x})x$。代入数值：$a = -(\frac{0.8}{0.02})x = -40x$，符合简谐运动判据$a = -ω²x$，因此该运动是简谐运动。
2. 等式两边系数相等：$ω² = 40$
3. $$ω = \sqrt{40} \approx 6.3 \text{ rad s}^{-1}$$

> **考试提示:** 考试中如果要求证明某系统做简谐运动，一定要明确关联$a = -ω²x$这一判据。

## 简谐运动方程与周期计算

所有简谐运动方程都会在考试公式表中给出。注意$x = A\cos{ωt}$的前提是$t=0$时$x = A$（位移最大）；如果$t=0$时$x=0$，则应使用$x = A\sin{ωt}$。

**振动周期** — 完成一次全振动所需的时间，单位为秒。对于弹簧振子系统$T = 2π\sqrt{\frac{m}{k}}$，对于单摆$T = 2π\sqrt{\frac{l}{g}}$。

*记法:* T = \frac{1}{f} = \frac{2π}{ω}

> **tip**
>
> 你不需要背诵周期公式，但必须能够对公式做变形，求解质量、劲度系数或摆长等未知量。

**例题:** 单摆的摆长为0.75 m，计算其周期和频率，取$g = 9.81$ m s⁻²。

1. 使用单摆周期公式：$T = 2π\sqrt{\frac{l}{g}}$
2. $$T = 2π \times \sqrt{\frac{0.75}{9.81}} \approx 2π \times 0.276 \approx 1.74 \text{ s}$$
3. 计算频率$f = \frac{1}{T}$
4. $$f = \frac{1}{1.74} \approx 0.57 \text{ Hz}$$

## 振动图像解读

简谐运动的位移-时间（x-t）图像是余弦或正弦曲线。x-t图像的斜率对应速度，速度-时间（v-t）图像的斜率对应加速度。最大速度出现在$x=0$（平衡位置）处，最大加速度出现在$x=±A$（最大位移）处。

**例题:** 某简谐运动的x-t图像最大位移为0.1 m，周期为2 s，$t=0$时$x=0.1$ m。求$t=0.5$ s时速度的大小，以及$t=1$ s时加速度的大小。

1. 在$t=0.5$ s（1/4周期）时，质量块处于平衡位置，速度达到最大值。$ω = \frac{2π}{T} = π$ rad s⁻¹，因此$|v_{max}| = Aω$
2. $$|v| = 0.1 \times π \approx 0.31 \text{ m s}^{-1}$$
3. 在$t=1$ s（1/2周期）时，位移$x = -A = -0.1$ m，加速度达到最大值：$|a_{max}| = Aω²$
4. $$|a| = 0.1 \times π² \approx 0.99 \text{ m s}^{-2}$$

## 自由振动、受迫振动、共振与阻尼

**共振** — 当外部驱动力的频率等于振动系统的固有频率时，振动振幅达到最大值的现象。

*例:* 歌手以玻璃杯的固有频率发声震碎玻璃杯，就是共振的典型实例。

无阻尼的自由振动振幅恒定，没有能量损耗。受迫振动由外部周期性驱动力驱动。弱阻尼会小幅降低共振峰值振幅，同时使共振峰位置略微向低频偏移；强阻尼会大幅降低峰值振幅，同时让共振曲线变得更宽。塑性变形也会通过将能量耗散为热量来产生阻尼效果。

**例题:** 某弹簧振子系统的固有频率为2 Hz，在频率为2 Hz的周期性驱动力作用下做受迫振动，系统同时受到弱阻尼。描述以下两种情况的振幅变化：(a) 驱动力频率升高到3 Hz，(b) 阻尼增强为强阻尼。

1. (a) 驱动力频率为2 Hz时系统处于共振状态，振幅达到最大值。将驱动力频率升高到3 Hz后，系统偏离固有频率，振幅会显著下降。
2. (b) 即使驱动力频率等于固有频率，将阻尼增强为强阻尼也会进一步降低共振的最大振幅，同时当驱动力频率偏离固有频率时，振幅的下降会更加平缓。

> **考试提示:** 关于阻尼和共振的定性问题在第5单元试卷中非常常见：作答时一定要将振幅变化与阻尼导致的能量损耗关联起来，才能拿到满分。

## 核心实验16：通过共振频率求解未知质量

本实验中，你将不同的已知质量悬挂在弹簧下方，施加驱动力（例如通过连接信号发生器的振动台），测量每个质量对应的共振频率。绘制$T²$随$m$变化的图像：图像的斜率等于$\frac{4π²}{k}$，由此可以求出弹簧的劲度系数$k$，之后就可以通过未知质量的共振频率计算出它的质量。

> **warning**
>
> 本实验的常见错误包括：测量共振频率时没有等待振幅稳定，以及误将$T$而非$T²$作为纵坐标对$m$作图，得到的图像是非线性的。

**例题:** 某学生绘制弹簧的$T²-m$图像，得到斜率为0.4 s² kg⁻¹。某未知质量的共振周期为0.6 s，计算该未知质量的数值。

1. 对弹簧振子的周期公式两边平方：$T² = (\frac{4π²}{k})m$，因此$T²-m$图像的斜率等于$\frac{4π²}{k} = 0.4$ s² kg⁻¹
2. 变形公式求解$m$：$m = \frac{T²}{0.4}$
3. $$m = \frac{0.6²}{0.4} = \frac{0.36}{0.4} = 0.9 \text{ kg}$$

## 常见错误

- **错误做法:** 要求从图像求速度或加速度时，使用微积分对$x$求导
  - 原因: Edexcel IAL第5单元大纲明确要求本主题不使用微积分；如果你用求导代替计算图像斜率，会被扣分。
  - 正确做法: 通过位移-时间图像的切线斜率计算速度，通过速度-时间图像的切线斜率计算加速度。
- **错误做法:** 认为当驱动力频率高于固有频率时，受迫振动的振幅达到最大值
  - 原因: 无阻尼系统的共振严格发生在驱动力频率等于固有频率时，只有极强阻尼的系统共振频率才会略微向低频偏移。
  - 正确做法: 除非题目明确说明系统受到极强阻尼，否则都要说明最大振幅出现在驱动力频率等于系统固有频率的位置。
- **错误做法:** 单摆周期计算时使用$g = 10$ m s⁻²
  - 原因: Edexcel规定所有计算都使用$g = 9.81$ m s⁻²，使用10会导致舍入误差并丢失分数。
  - 正确做法: 除非题目明确给出其他数值，否则所有计算都使用$g = 9.81$ m s⁻²。
- **错误做法:** 混淆弹簧振子和单摆的周期公式
  - 原因: 弹簧振子的周期取决于质量和劲度系数，单摆的周期取决于摆长和$g$，将二者混淆会得到完全错误的结果。
  - 正确做法: 先判断系统类型：如果是弹簧上的质量块使用$T = 2π\sqrt{\frac{m}{k}}$，如果是单摆使用$T = 2π\sqrt{\frac{l}{g}}$，两个公式都会在考试公式表中给出。
- **错误做法:** 声称阻尼会提高共振频率
  - 原因: 阻尼从系统中消耗能量，降低最大振幅，只有强阻尼才会让共振频率略微向低频偏移，绝对不会提高频率。
  - 正确做法: 将阻尼与共振振幅降低关联起来，只有题目明确提到强阻尼时，才可以说明共振峰有小幅的低频偏移。

## 速查表

| 概念 | 公式/核心规则 |
| --- | --- |
| 简谐运动判据 | $F = -kx$; $a = -ω²x$ |
| 角频率 | $ω = 2πf = \frac{2π}{T}$ |
| 简谐运动位移（$t=0$时$x=A$） | $x = A\cos{ωt}$ |
| 简谐运动速度 | $v = -Aω\sin{ωt}$; $\|v_{max}\| = Aω$ |
| 简谐运动加速度 | $a = -Aω²\cos{ωt}$; $\|a_{max}\| = Aω²$ |
| 弹簧振子周期 | $T = 2π\sqrt{\frac{m}{k}}$ |
| 单摆周期 | $T = 2π\sqrt{\frac{l}{g}}$ |
| 共振条件 | 驱动力频率 = 系统固有频率 |
| 阻尼效应 | 降低振动振幅；压低共振峰，拓宽共振曲线 |

## 下一步

掌握Edexcel IAL物理第5单元的振动内容后，你就可以学习本单元的剩余主题：核辐射、热力学和宇宙学。振动相关概念尤其是共振，有时会和天体物理内容结合出现在综合题中，因此备考WPH15考试前要定期复习核心公式和定性规则。尽可能多练习简谐运动图像解读和共振相关的历年真题，这类高频题型单题分值通常为4-6分。确保你能快速准确地完成核心实验16的相关计算，实验类题目约占第5单元试卷总分的15%。

- [热力学（第5单元）](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-physics-u5-thermodynamics/)

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