做衰变相关题目时需要对积分吗？

不需要，积分得到的指数衰变公式会在公式表中给出。你只需要使用给定公式，在题目明确要求时推导对数线性形式即可，不需要用到微积分知识。

核衰变

Q: 如何将原子质量单位（u）转换为能量？

首先用 kg将u转换为kg，再用计算得到以焦耳为单位的能量。如果题目给出转换系数，也可以直接使用 MeV进行换算。

Edexcel 国际A-Level 物理· Spec 5.4, statements 133–142· 60 分钟阅读

1. 质量亏损与原子核结合能★★☆☆☆⏱ 10 min

📘 定义

质量亏损

原子核内所有独立核子（质子和中子）的总质量与完整原子核实际质量的差值。

原子核结合能是将原子核拆分为所有独立核子所需的能量，或者核子结合形成原子核时释放的能量。它可以通过质能等价关系计算：

ΔE = c^2Δm

原子核质量通常用原子质量单位（u）度量，其中 $1 u = \frac{1}{12}$ 是中性碳-12原子的质量，等价于 $1.66 \times 1 0^{- 27}$ kg。

📐 例题

已知质子质量=1.00728 u，中子质量=1.00867 u，氦-4原子核质量=4.00153 u， $c = 3.00 \times 1 0^{8}$ m/s， $1 u = 1.66 \times 1 0^{- 27}$ kg，计算氦-4原子核的比结合能。

1
计算2个质子和2个中子的总质量： $2 (1.00728 + 1.00867) = 4.0319$ u
2
计算质量亏损： $Δ m = 4.0319 - 4.00153 = 0.03037$ u
3
将质量亏损转换为kg： $0.03037 \times 1.66 \times 1 0^{- 27} = 5.04 \times 1 0^{- 29}$ kg
4
计算总结合能： $Δ E = (3.00 \times 1 0^{8})^{2} \times 5.04 \times 1 0^{- 29} = 4.54 \times 1 0^{- 12}$ J
5
除以核子数（4）得到比结合能： $\frac{4.54 \times 1 0 ^{- 12}}{4} = 1.14 \times 1 0^{- 12}$ J 每核子

Exam tip:

计算质量亏损时务必使用原子核质量（而非原子质量），避免将电子质量计入 $Δ m$ 的数值中。

2. 聚变、裂变与结合能曲线★★★☆☆⏱ 10 min

比结合能随核子数变化的曲线在核子数约为56（铁-56）处达到峰值，铁-56是最稳定的原子核。比结合能更低的原子核可以通过反应提升稳定性，同时释放能量：

聚变：两个轻原子核结合形成更重的原子核，比结合能升高，释放能量
裂变：一个重的不稳定原子核分裂为两个更小的原子核，比结合能升高，释放能量

📘 定义

核聚变

两个轻原子核结合形成更重的原子核、同时释放能量的反应。反应需要极高温度（克服正原子核之间的静电斥力）和高密度（提升碰撞频率）。

📐 例题

两个氘核（ $_{1}^{2}$ H）聚变生成氦-3（ $_{2}^{3}$ He）和一个中子，结合比结合能的概念解释该反应为什么会释放能量。

1
氦-3的比结合能高于氘核的比结合能。
2
反应产物（氦-3 + 中子）的总质量小于两个氘核反应物的总质量。
3
缺失的质量通过 $Δ E = c^{2} Δ m$ 转化为能量，数值等于产物总结合能与反应物总结合能的差值。

Exam tip:

考试可能要求你绘制比结合能曲线：标注核子数约56处的峰值，标出聚变区域（A < 56）和裂变区域（A > 56）。

3. 电离辐射性质与核反应方程★★☆☆☆⏱ 12 min

辐射类型	本质	穿透能力	电离能力	空气中的射程
$α$	氦原子核（ $_{2}^{4}$ He）	被纸张/皮肤阻挡	极高	约5 cm
$β^{-}$	高速电子（ $_{- 1}^{0}$ e）	被3 mm厚铝片阻挡	中等	约1 m
$γ$	高能电磁光子（ $_{0}^{0} γ$ ）	被厘米级厚度的铅衰减	很低	无上限（随物质作用强度降低）

衰变反应的核反应方程必须满足方程两侧的总核子数（上标数值）和总质子数（下标数值）同时守恒。

📐 例题

写出碳-14（ $_{6}^{14}$ C）发生β⁻衰变生成氮的配平核反应方程。

1
β⁻衰变会放出一个 $_{- 1}^{0}$ e粒子，因此产物的质子数加1，核子数保持不变。
2
产物质子数 = $6 + 1 = 7$ ，对应元素为氮（N）。
3
配平后的方程： $_{6}^{14}$ C → $_{7}^{14}$ N + $_{- 1}^{0}$ e + $ar{ u}_e$(电子反中微子)

Exam tip:

写核反应方程时务必检查两侧的上标（核子数）和下标（质子数）之和分别相等，避免出错。

4. 指数衰变、半衰期与对数线性图像★★★★☆⏱ 15 min

📘 定义

半衰期（$t_{1/2}$）

样品中半数未衰变原子核发生衰变，或者样品活度衰减到初始值一半所需要的平均时间。

核心衰变公式（考试时会在公式表中给出）如下：

A = λ N, λ = \frac{\ln2}{t_{1/2}}, N = N_0e^{-λ t}, A = A_0e^{-λ t}

对 $N = N_{0} e^{- λ t}$ 两边取自然对数可以得到线性形式： $ln N = ln N_{0} - λ t$ 。以 $ln N$ 为纵轴、时间 $t$ 为横轴作图得到一条直线，斜率为 $- λ$ ，因此可以通过斜率的绝对值计算衰变常数，不需要对 $\frac{d N}{d t} = - λ N$ 做积分。

📐 例题

一个放射性样品初始活度为640 Bq，2小时后活度为40 Bq，计算该样品的半衰期，单位为秒。

1
计算经过的半衰期个数： $640 \to 320 \to 160 \to 80 \to 40$ ，共4个半衰期=2小时=7200 s
2
半衰期 $t_{1/2} = \frac{7200}{4} = 1800$ s
3
用衰变公式验证： $40 = 640 e^{- λ \times 7200} ⟹ ln (\frac{1}{16}) = - 7200 λ ⟹ λ = \frac{4 l n 2}{7200} ⟹ t_{1/2} = \frac{l n 2}{λ} = 1800$ s，结果一致。

Exam tip:

进行衰变计算之前，务必先从测得的活度数值中扣除本底辐射的影响。

5. 核心实验15：铅对γ辐射的吸收★★★☆☆⏱ 10 min

本实验研究γ辐射强度随铅吸收片厚度增加的衰减规律，核心步骤如下：

测量5分钟的本底计数率，计算平均每秒本底计数
将γ源放在距离盖革-米勒（GM）管固定距离的位置
在源和GM管之间插入厚度递增的铅片，记录每个厚度对应的计数率
从所有测得值中扣除本底计数率，得到校正后的计数率（与γ强度成正比）

强度随铅厚度指数衰减： $I = I_{0} e^{- μx}$ ，其中 $μ$ 是铅的线性衰减系数， $x$ 是吸收片厚度。

📐 例题

学生测得本底计数率为20计数每分钟（cpm），插入1 cm厚铅片时γ源的测得计数率为220 cpm，计算校正后的计数率。

1
校正计数率 = 测得计数率 - 本底计数率
2
校正计数率 = $220 - 20 = 200$ cpm

Exam tip:

本实验的安全注意事项：使用镊子夹取γ源，保持源在手臂长度以外的位置，不用时将源储存在铅容器中。

6. 常见陷阱

错误做法:

计算质量亏损时使用原子质量而非原子核质量

原因:

原子质量包含电子质量，引入了不属于原子核的额外质量，导致 $Δ m$ 数值错误

正确做法:

如果题目给出原子核质量就直接使用，否则从原子质量中减去轨道电子的总质量再进行计算

错误做法:

处理测得计数率时忘记扣除本底辐射

原因:

本底辐射会带来额外计数，导致高估样品活度，得到错误的衰变计算结果

正确做法:

先测量本底计数，再从所有样品测量值中扣除本底值再做分析

错误做法:

将 $ln N$ 对 $t$ 图像的负斜率直接当作 $λ$

原因:

线性衰变方程 $ln N = ln N_{0} - λ t$ 的斜率为负，因此 $λ$ 是斜率的绝对值

正确做法:

计算出斜率后，取其绝对值得到衰变常数 $λ$

错误做法:

核反应方程只平衡核子数，忽略质子数平衡

原因:

这会导致衰变产物识别错误，比如β衰变后得到错误的元素

正确做法:

检查方程两侧的上标（核子数）和下标（质子数）之和分别相等

错误做法:

计算单位为s⁻¹的 $λ$ 时，使用以分钟/小时为单位的半衰期

原因:

衰变常数的单位是s⁻¹，时间单位不统一会导致活度计算结果错误

正确做法:

计算 $λ$ 之前务必将 $t_{1/2}$ 转换为秒，或者公式中所有数值使用统一的时间单位

7. 速查表

概念	核心公式/规则	单位
结合能	$Δ E = c^{2} Δ m$	$Δ E$ 单位为J， $Δ m$ 单位为kg， $c = 3 \times 1 0^{8}$ m/s
u单位转换	$1 u = 1.66 \times 1 0^{- 27}$ kg ≈ 931.5 MeV
半衰期与衰变常数	$λ = \frac{l n 2}{t _{1/2}}$	$λ$ 单位为s⁻¹， $t_{1/2}$ 单位为s
指数衰变	$N = N_{0} e^{- λ t}, A = A_{0} e^{- λ t}$	A单位为Bq（每秒1次计数）
核反应方程	两侧核子数和质子数分别守恒
核心实验15	校正计数率 = 测得计数率 - 本底计数率	计数率单位为计数每秒/计数每分钟

8. 常见问题

做衰变相关题目时需要对 $\frac{d N}{d t} = - λ N$ 积分吗？

不需要，积分得到的指数衰变公式 $N = N_{0} e^{- λ t}$ 会在公式表中给出。你只需要使用给定公式，在题目明确要求时推导对数线性形式即可，不需要用到微积分知识。

如何将原子质量单位（u）转换为能量？

首先用 $1 u = 1.66 \times 1 0^{- 27}$ kg将u转换为kg，再用 $Δ E = c^{2} Δ m$ 计算得到以焦耳为单位的能量。如果题目给出转换系数，也可以直接使用 $1 u \approx 931.5$ MeV进行换算。

为什么测量时必须从读数中扣除本底辐射？

本底辐射会给测得的活度带来额外计数，导致高估样品的活度，得到错误的衰变计算结果。必须先测量本底计数，再从所有样品读数中扣除本底值。

深入阅读

official_specEdexcel IAL 物理2018考纲核衰变相关内容请参考考纲第5.4节
practical_guide核心实验15：铅对γ辐射的吸收

下一步

掌握Edexcel IAL物理U5的核衰变内容后，你可以继续学习U5的其他主题，包括振动、热力学和宇宙学。这部分内容经常和实验技能题一起出现在15号试卷中，建议你多做历年真题熟悉常见的考试表述和计算题型。确保你能解读衰变数据的对数线性图像，能在数值题和论述题中正确应用指数衰变公式。记住所有衰变相关的实验题都要考虑本底辐射的影响，核反应方程写完后务必同时检查核子数和质子数的平衡。