# 核衰变

> Edexcel 国际A-Level 物理 · IAL 物理U5（WPH15）2018考纲
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-physics-u5-nuclear-decay/

本指南覆盖Edexcel IAL物理U5核衰变的全部内容，包括结合能计算、辐射性质、指数衰变、半衰期图像，以及铅吸收γ辐射的核心实验15。

**先修:** [原子结构（Edexcel IAL 物理U1）](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-physics-u1-atomic-structure/); [指数与对数（IAL 数学P1）](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-maths-p1-exponentials-logarithms/)

## 学习目标

- 使用$ΔE=c^2Δm$计算质量亏损和原子核结合能
- 在原子质量单位（u）和国际单位制之间转换核质量/能量单位
- 解读比结合能曲线，区分裂变和聚变反应
- 对比$α$、$β^-$、$β^+$和$γ$辐射的性质，写出配平的核反应方程
- 使用指数衰变公式和对数线性图像计算活度、衰变常数和半衰期
- 在实际测量和衰变计算中扣除本底辐射的影响
- 描述核衰变的随机性和自发性特征
- 完成核心实验15（铅对γ辐射的吸收）的相关计算和数据分析

## 质量亏损与原子核结合能

**质量亏损** — 原子核内所有独立核子（质子和中子）的总质量与完整原子核实际质量的差值。

原子核结合能是将原子核拆分为所有独立核子所需的能量，或者核子结合形成原子核时释放的能量。它可以通过质能等价关系计算：

$$ΔE = c^2Δm$$

原子核质量通常用原子质量单位（u）度量，其中$1 u = \frac{1}{12}$是中性碳-12原子的质量，等价于$1.66 \times 10^{-27}$ kg。

**例题:** 已知质子质量=1.00728 u，中子质量=1.00867 u，氦-4原子核质量=4.00153 u，$c = 3.00 \times 10^8$ m/s，$1 u = 1.66 \times 10^{-27}$ kg，计算氦-4原子核的比结合能。

1. 计算2个质子和2个中子的总质量：$2(1.00728 + 1.00867) = 4.0319$ u
2. 计算质量亏损：$Δm = 4.0319 - 4.00153 = 0.03037$ u
3. 将质量亏损转换为kg：$0.03037 \times 1.66 \times 10^{-27} = 5.04 \times 10^{-29}$ kg
4. 计算总结合能：$ΔE = (3.00 \times 10^8)^2 \times 5.04 \times 10^{-29} = 4.54 \times 10^{-12}$ J
5. 除以核子数（4）得到比结合能：$\frac{4.54 \times 10^{-12}}{4} = 1.14 \times 10^{-12}$ J 每核子

> **考试提示:** 计算质量亏损时务必使用原子核质量（而非原子质量），避免将电子质量计入$Δm$的数值中。

## 聚变、裂变与结合能曲线

比结合能随核子数变化的曲线在核子数约为56（铁-56）处达到峰值，铁-56是最稳定的原子核。比结合能更低的原子核可以通过反应提升稳定性，同时释放能量：

- **聚变**：两个轻原子核结合形成更重的原子核，比结合能升高，释放能量
- **裂变**：一个重的不稳定原子核分裂为两个更小的原子核，比结合能升高，释放能量

**核聚变** — 两个轻原子核结合形成更重的原子核、同时释放能量的反应。反应需要极高温度（克服正原子核之间的静电斥力）和高密度（提升碰撞频率）。

**例题:** 两个氘核（$^2_1$H）聚变生成氦-3（$^3_2$He）和一个中子，结合比结合能的概念解释该反应为什么会释放能量。

1. 氦-3的比结合能高于氘核的比结合能。
2. 反应产物（氦-3 + 中子）的总质量小于两个氘核反应物的总质量。
3. 缺失的质量通过$ΔE = c^2Δm$转化为能量，数值等于产物总结合能与反应物总结合能的差值。

> **考试提示:** 考试可能要求你绘制比结合能曲线：标注核子数约56处的峰值，标出聚变区域（A < 56）和裂变区域（A > 56）。

## 电离辐射性质与核反应方程

| 辐射类型 | 本质 | 穿透能力 | 电离能力 | 空气中的射程 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $α$ | 氦原子核（$^4_2$He） | 被纸张/皮肤阻挡 | 极高 | 约5 cm |
| $β^-$ | 高速电子（$^0_{-1}$e） | 被3 mm厚铝片阻挡 | 中等 | 约1 m |
| $γ$ | 高能电磁光子（$^0_0γ$） | 被厘米级厚度的铅衰减 | 很低 | 无上限（随物质作用强度降低） |

衰变反应的核反应方程必须满足方程两侧的总核子数（上标数值）和总质子数（下标数值）同时守恒。

**例题:** 写出碳-14（$^{14}_6$C）发生β⁻衰变生成氮的配平核反应方程。

1. β⁻衰变会放出一个$^0_{-1}$e粒子，因此产物的质子数加1，核子数保持不变。
2. 产物质子数 = $6 + 1 = 7$，对应元素为氮（N）。
3. 配平后的方程：$^{14}_6$C → $^{14}_7$N + $^0_{-1}$e + $ar{
u}_e$(电子反中微子)

> **考试提示:** 写核反应方程时务必检查两侧的上标（核子数）和下标（质子数）之和分别相等，避免出错。

## 指数衰变、半衰期与对数线性图像

**半衰期（$t_{1/2}$）** — 样品中半数未衰变原子核发生衰变，或者样品活度衰减到初始值一半所需要的平均时间。

核心衰变公式（考试时会在公式表中给出）如下：

$$A = λ N, λ = \frac{\ln2}{t_{1/2}}, N = N_0e^{-λ t}, A = A_0e^{-λ t}$$

对$N = N_0e^{-λ t}$两边取自然对数可以得到线性形式：$\ln N = \ln N_0 - λ t$。以$\ln N$为纵轴、时间$t$为横轴作图得到一条直线，斜率为$-λ$，因此可以通过斜率的绝对值计算衰变常数，不需要对$\frac{dN}{dt} = -λ N$做积分。

**例题:** 一个放射性样品初始活度为640 Bq，2小时后活度为40 Bq，计算该样品的半衰期，单位为秒。

1. 计算经过的半衰期个数：$640 \to 320 \to 160 \to 80 \to 40$，共4个半衰期=2小时=7200 s
2. 半衰期$t_{1/2} = \frac{7200}{4} = 1800$ s
3. 用衰变公式验证：$40 = 640e^{-λ \times 7200} \implies \ln(\frac{1}{16}) = -7200λ \implies λ = \frac{4\ln2}{7200} \implies t_{1/2} = \frac{\ln2}{λ} = 1800$ s，结果一致。

> **考试提示:** 进行衰变计算之前，务必先从测得的活度数值中扣除本底辐射的影响。

## 核心实验15：铅对γ辐射的吸收

本实验研究γ辐射强度随铅吸收片厚度增加的衰减规律，核心步骤如下：

- 测量5分钟的本底计数率，计算平均每秒本底计数
- 将γ源放在距离盖革-米勒（GM）管固定距离的位置
- 在源和GM管之间插入厚度递增的铅片，记录每个厚度对应的计数率
- 从所有测得值中扣除本底计数率，得到校正后的计数率（与γ强度成正比）

强度随铅厚度指数衰减：$I = I_0e^{-μ x}$，其中$μ$是铅的线性衰减系数，$x$是吸收片厚度。

**例题:** 学生测得本底计数率为20计数每分钟（cpm），插入1 cm厚铅片时γ源的测得计数率为220 cpm，计算校正后的计数率。

1. 校正计数率 = 测得计数率 - 本底计数率
2. 校正计数率 = $220 - 20 = 200$ cpm

> **考试提示:** 本实验的安全注意事项：使用镊子夹取γ源，保持源在手臂长度以外的位置，不用时将源储存在铅容器中。

## 常见错误

- **错误做法:** 计算质量亏损时使用原子质量而非原子核质量
  - 原因: 原子质量包含电子质量，引入了不属于原子核的额外质量，导致$Δm$数值错误
  - 正确做法: 如果题目给出原子核质量就直接使用，否则从原子质量中减去轨道电子的总质量再进行计算
- **错误做法:** 处理测得计数率时忘记扣除本底辐射
  - 原因: 本底辐射会带来额外计数，导致高估样品活度，得到错误的衰变计算结果
  - 正确做法: 先测量本底计数，再从所有样品测量值中扣除本底值再做分析
- **错误做法:** 将$\ln N$对$t$图像的负斜率直接当作$λ$
  - 原因: 线性衰变方程$\ln N = \ln N_0 - λ t$的斜率为负，因此$λ$是斜率的绝对值
  - 正确做法: 计算出斜率后，取其绝对值得到衰变常数$λ$
- **错误做法:** 核反应方程只平衡核子数，忽略质子数平衡
  - 原因: 这会导致衰变产物识别错误，比如β衰变后得到错误的元素
  - 正确做法: 检查方程两侧的上标（核子数）和下标（质子数）之和分别相等
- **错误做法:** 计算单位为s⁻¹的$λ$时，使用以分钟/小时为单位的半衰期
  - 原因: 衰变常数的单位是s⁻¹，时间单位不统一会导致活度计算结果错误
  - 正确做法: 计算$λ$之前务必将$t_{1/2}$转换为秒，或者公式中所有数值使用统一的时间单位

## 速查表

| 概念 | 核心公式/规则 | 单位 |
| --- | --- | --- |
| 结合能 | $ΔE = c^2Δm$ | $ΔE$单位为J，$Δm$单位为kg，$c=3\times10^8$ m/s |
| u单位转换 | $1 u = 1.66\times10^{-27}$ kg ≈ 931.5 MeV |  |
| 半衰期与衰变常数 | $λ = \frac{\ln2}{t_{1/2}}$ | $λ$单位为s⁻¹，$t_{1/2}$单位为s |
| 指数衰变 | $N=N_0e^{-λ t}, A=A_0e^{-λ t}$ | A单位为Bq（每秒1次计数） |
| 核反应方程 | 两侧核子数和质子数分别守恒 |  |
| 核心实验15 | 校正计数率 = 测得计数率 - 本底计数率 | 计数率单位为计数每秒/计数每分钟 |

## 下一步

掌握Edexcel IAL物理U5的核衰变内容后，你可以继续学习U5的其他主题，包括振动、热力学和宇宙学。这部分内容经常和实验技能题一起出现在15号试卷中，建议你多做历年真题熟悉常见的考试表述和计算题型。确保你能解读衰变数据的对数线性图像，能在数值题和论述题中正确应用指数衰变公式。记住所有衰变相关的实验题都要考虑本底辐射的影响，核反应方程写完后务必同时检查核子数和质子数的平衡。

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