天体物理与宇宙学

Q: 我需要背诵哈勃常量的数值吗？

不需要，本专题的考试题目中会直接给出的数值。

Edexcel 国际A-Level 物理· 2018 Spec Issue 3, Statements 154–171, WPH15· 45 分钟阅读

1. 引力场与轨道运动★★★☆☆⏱ 10 min

📘 定义

引力场强度

g = \frac{F}{m}

引力场中单位质量的试探质点所受到的作用力

例:

地球表面的引力场强度约为9.81 N kg⁻¹

牛顿万有引力定律描述两个质点之间的吸引力： $F = \frac{G m _{1} m _{2}}{r ^{2}}$ 。要从该定律推导引力场强度，将 $F = m g$ 与引力公式联立，消去试探质点质量 $m$ ，得到 $g = \frac{GM}{r ^{2}}$ ，其中 $M$ 是产生引力场的天体质量。径向引力势的表达式为 $V_{g r a v} = - \frac{GM}{r}$ ，该值始终为负，因为将质量移出引力场需要做功，且无穷远处引力势定义为零。引力场始终是吸引力，与电场不同，电场既可以是吸引力也可以是排斥力。

📐 例题

已知火星质量 $M_{M a r s} = 6.42 \times 1 0^{23}$ kg，火星半径 $r_{M a r s} = 3.39 \times 1 0^{6}$ m， $G = 6.67 \times 1 0^{- 11}$ N m² kg⁻²，计算火星表面的引力场强度。

1
回忆引力场强度的公式：
$g = \frac{GM}{r^2}$
2
将给定数值代入公式：
$g = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.42 \times 10^{23}}{(3.39 \times 10^6)^2}$
3
计算结果： $g \approx 3.72$ N kg⁻¹

Exam tip:

所有引力和引力场计算都必须使用两物体的质心间距，而非表面间距。

2. 恒星辐射与辐射定律★★★☆☆⏱ 10 min

📘 定义

黑体辐射体

一种理想物体，能够吸收入射的全部辐射，并发射出连续光谱，光谱的形状仅由自身的绝对温度决定。

恒星近似为黑体辐射体。斯特藩-玻尔兹曼定律将光度（总输出功率）与表面积和温度关联： $L = σ A T^{4}$ 。维恩位移定律将峰值发射波长与温度关联： $λ_{ma x} T = 2.898 \times 1 0^{- 3}$ m K，因此温度更高的恒星发射波长更短（更蓝）的光。在距离恒星 $d$ 处接收到的辐射强度遵循平方反比定律： $I = \frac{L}{4 π d ^{2}}$ 。

📐 例题

太阳表面温度为5778 K，峰值发射波长为500 nm。一颗红巨星的峰值发射波长为700 nm，计算该红巨星的表面温度。

1
应用维恩定律，该定律指出 $λ_{ma x} T$ 为常量：
$\lambda_1 T_1 = \lambda_2 T_2$
2
整理公式求解 $T_{2}$ ：
$T_2 = \frac{\lambda_1 T_1}{\lambda_2}$
3
代入数值（单位可抵消，无需将nm转换为m）：
$T_2 = \frac{500 \times 5778}{700} \approx 4127 \text{ K}$

Exam tip:

使用斯特藩-玻尔兹曼定律或维恩定律公式前，务必先将温度转换为开尔文。

3. 天文距离测量★★☆☆☆⏱ 8 min

测量天文距离主要有两种方法：针对近距恒星的三角视差法，以及针对遥远天体的标准烛光法。视差法利用地球绕太阳公转时，恒星相对于遥远背景恒星的视位移现象。以秒差距为单位的距离 $d$ 满足 $d = \frac{1}{p}$ ，其中 $p$ 是以角秒为单位的视差角。标准烛光是已知光度的天体（例如Ia型超新星、造父变星）：测量接收到的辐射强度，再通过平方反比定律即可计算出距离。

📐 例题

测得一颗近距恒星的视差角为0.2角秒，计算它到地球的距离，单位为秒差距。

1
回忆视差距离公式：
$d = \frac{1}{p}$
2
代入 $p = 0.2$ 角秒：
$d = \frac{1}{0.2} = 5 \text{ 秒差距}$

Exam tip:

三角视差法仅适用于距离地球约100秒差距以内的恒星，更远恒星的视差角度过小，无法精确测量。

4. 赫罗图与恒星生命周期★★☆☆☆⏱ 8 min

📘 定义

赫罗（HR）图

恒星的散点分布图，纵轴为光度（对数坐标），横轴为表面温度（反向坐标，单位为开尔文或标注光谱型）。

绝大多数恒星位于主序带上，在主序阶段恒星的核心将氢聚变为氦。小质量恒星离开主序后会演化为红巨星，最终冷却形成白矮星。大质量恒星会演化为红超巨星，以超新星形式爆发，最终遗留下中子星或黑洞。

📐 例题

一颗恒星位于赫罗图的右上角区域，说明它的类型、近似温度，以及相对于太阳的光度。

1
右上角区域 = 高光度、低温度：红巨星或红超巨星
2
近似温度：3000–4000 K，光度约为太阳的100–10000倍

Exam tip:

赫罗图的x轴是反向的：温度更高的恒星绘制在左侧，温度更低的恒星绘制在右侧。

5. 红移、哈勃定律与宇宙学★★★☆☆⏱ 9 min

📘 定义

红移

z = \frac{\Delta\lambda}{\lambda} \approx \frac{v}{c}

退行天体发出的辐射波长的相对增量，可用于计算非相对论速度下的天体退行速度。

埃德温·哈勃观测到几乎所有星系都存在红移现象，说明它们都在远离地球。哈勃定律的表达式为 $v = H_{0} d$ ，其中 $v$ 是退行速度， $d$ 是距离。该观测结果支持了宇宙膨胀的大爆炸理论。宇宙的近似年龄为 $\frac{1}{H _{0}}$ ，但目前 $H_{0}$ 的测量值仍存在差异，同时用于解释星系旋转曲线的暗物质、用于解释宇宙加速膨胀的暗能量都是当前宇宙学领域仍存在争议的研究方向。

📐 例题

测得某星系的红移 $z = 0.02$ ，如果 $H_{0} = 70$ km s⁻¹ Mpc⁻¹，计算它的退行速度以及到地球的距离。

1
使用 $z \approx \frac{v}{c}$ 计算退行速度：
$v = zc = 0.02 \times 3 \times 10^8 = 6 \times 10^6 \text{ m s}^{-1} = 6000 \text{ km s}^{-1}$
2
整理哈勃定律求解距离：
$d = \frac{v}{H_0} = \frac{6000}{70} \approx 85.7 \text{ Mpc}$

Exam tip:

使用哈勃定律时要保证单位匹配：如果 $H_{0}$ 的单位是km s⁻¹ Mpc⁻¹，将速度单位转换为km s⁻¹就可以直接得到以Mpc为单位的距离。

6. 常见陷阱

错误做法:

引力计算中使用表面间距而非质心间距

原因:

引力公式假设质点位于球形天体的球心

正确做法:

将两个天体的半径相加到表面间距上，得到正确的 $r$ 值

错误做法:

辐射定律计算中使用摄氏温度而非开尔文温度

原因:

斯特藩-玻尔兹曼定律和维恩定律使用绝对温度，使用摄氏温度会得到无效结果

正确做法:

将摄氏温度加273.15转换为开尔文后再代入公式

错误做法:

忘记赫罗图的x轴是反向的

原因:

温度更高的恒星绘制在左侧，温度更低的在右侧，与标准图的惯例相反

正确做法:

首先检查坐标轴标签，记住光谱型OBAFGKM从左到右对应温度从高到低

错误做法:

引力势计算中遗漏负号

原因:

引力势定义为无穷远处为零，所有有限距离处的引力势均为负

正确做法:

在引力势的计算和解读中始终保留负号

错误做法:

哈勃定律计算中单位混用

原因:

$H_{0}$ 的单位通常是km s⁻¹ Mpc⁻¹，如果速度使用m s⁻¹会得到错误的距离值

正确做法:

代入 $v = H_{0} d$ 前将所有单位调整为与 $H_{0}$ 的单位匹配

7. 速查表

公式	关键变量	单位	说明
$F = \frac{G m _{1} m _{2}}{r ^{2}}$	$G = 6.67 e - 11$ , $m$ =质量, $r$ =质心间距	N	仅为吸引力
$g = \frac{GM}{r ^{2}}$	$M$ =产生引力场的天体质量	N kg⁻¹	等于重力加速度
$V_{g r a v} = - \frac{GM}{r}$	$V$ =引力势	J kg⁻¹	始终为负，无穷远处为零
$L = σ A T^{4}$	$σ = 5.67 e - 8$ , $T$ =温度（K）	W	斯特藩-玻尔兹曼定律
$λ_{ma x} T = 2.898 e - 3$	$λ_{ma x}$ =峰值波长	m K	维恩位移定律
$I = \frac{L}{4 π d ^{2}}$	$I$ =强度, $d$ =距离	W m⁻²	平方反比定律
$z = \frac{Δ λ}{λ} \approx \frac{v}{c}$	$z$ =红移, $v$ =退行速度	无量纲	仅适用于非相对论情况
$v = H_{0} d$	$H_{0}$ =哈勃常量	km s⁻¹ / Mpc	$H_{0}$ 数值由题目给出

8. 常见问题

为什么引力势始终为负？

引力势的定义是距离质量无穷远处时取值为零。将质量移出引力场需要外力做功，因此所有有限距离处的引力势值均为负。

我需要背诵哈勃常量的数值吗？

不需要，本专题的考试题目中会直接给出 $H_{0}$ 的数值。

辐射定律计算中可以使用摄氏温度吗？

不可以，斯特藩-玻尔兹曼定律和维恩定律使用的是绝对温度，你需要先将摄氏温度值加273.15转换为开尔文，再代入公式计算。

深入阅读

official_documentEdexcel IAL 物理数据手册包含本专题的所有公式

下一步

现在你已经掌握了Edexcel IAL物理第5单元天体物理与宇宙学的全部内容，你可以开始练习将引力轨道运动与圆周力学结合的综合类问题，同时完成历年真题来优化你的考试技巧。请务必牢记引力势的符号约定和赫罗图的反向坐标轴，这两个点是考试中常见的失分点。接下来请复习第5单元的剩余专题，在完成整套WPH15历年真题前构建对本单元内容的完整理解。

→热力学（Edexcel IAL 物理 U5）