进阶力学（Edexcel IAL 物理第4单元）

物理· 2018版大纲第3次修订，第4单元(WPH14) 知识点81-91· 45 分钟阅读

1. 冲量与动量的关系★★☆☆☆⏱ 10 min

📘 定义

冲量

$J = F Δ t = Δ p = m (v - u)$

冲量是物体动量的变化量，等于作用在物体上的平均力与力的作用时间的乘积。力-时间图像下的面积等于总冲量。

冲量直接由牛顿第二定律推导而来，推导过程无需使用微积分。考试中你还需要能够通过代数方法推导动能公式 $E_{k} = \frac{p ^{2}}{2 m}$ 。

🔬 推导

目标:

推导 $E_{k} = \frac{p ^{2}}{2 m}$

1
从标准非相对论动能公式出发：
2
$E_k = \frac{1}{2}mv^2$
3
回忆线动量定义 $p = m v$ ，变形得到 $v = \frac{p}{m}$
4
将 $v = \frac{p}{m}$ 代入动能方程：
5
$E_k = \frac{1}{2}m\left(\frac{p}{m}\right)^2 = \frac{p^2}{2m}$

结果:

该公式可以直接将动能与动量关联，无需提前计算速度。

📐 例题

一个质量为0.15kg的小球以12 m s⁻¹的速度水平运动，被球棒击打后以18 m s⁻¹的速度水平反弹。球棒与小球的接触时间为0.002s，计算球棒对小球施加的平均作用力。

1
步骤1：定义小球初始运动方向为正方向，因此反弹后的速度为负值
2
步骤2：计算动量变化量：
3
$\Delta p = m(v - u) = 0.15(-18 - 12) = -4.5 \text{ kg m s}^{-1}$
4
步骤3：变形冲量公式求解作用力：
5
$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{-4.5}{0.002} = -2250 \text{ N}$
6
负号表示作用力方向与初始运动方向相反，因此力的大小为2250N。

Exam tip:

计算动量变化时必须明确定义正方向，避免在反弹类场景中出现符号错误。考试评分既看数值结果，也会为正确的符号约定分配分数。

2. 二维动量守恒与碰撞★★★☆☆⏱ 15 min

对于不受合外力的碰撞过程，总动量在所有方向上均守恒。处理二维碰撞时，将速度矢量分解为水平(x)和竖直(y)分量，分别对两个坐标轴应用动量守恒定律，再合并分量得到最终速度的大小和方向。

📘 定义

弹性碰撞与非弹性碰撞

弹性碰撞的总动量和总动能均守恒。非弹性碰撞总动量守恒但总动能不守恒（能量以热量、声音或形变能的形式损失）。

例:

台球之间的碰撞近似为弹性碰撞，汽车碰撞则属于高度非弹性碰撞。

📐 例题

一个质量为2kg的斯诺克球沿x轴以3 m s⁻¹的速度运动，与另一个静止的质量为2kg的斯诺克球发生碰撞。碰撞后第一个小球以1.5 m s⁻¹的速度沿x轴上方60°方向运动，计算第二个小球的速度（大小和方向），并判断该碰撞是否为弹性碰撞。

1
步骤1：在x方向应用动量守恒定律：
2
$(2 \times 3) + 0 = (2 \times 1.5\cos60°) + (2 \times v_{2x}) \implies v_{2x} = 2.25 \text{ m s}^{-1}$
3
步骤2：在y方向应用动量守恒定律（初始总y方向动量为0）：
4
$0 = (2 \times 1.5\sin60°) + (2 \times v_{2y}) \implies v_{2y} = -1.30 \text{ m s}^{-1}（沿x轴下方）$
5
步骤3：计算第二个小球的速度大小：
6
$v_2 = \sqrt{2.25^2 + 1.30^2} = 2.60 \text{ m s}^{-1}$
7
步骤4：计算速度方向： $θ = arctan (∣1.30/2.25∣) = 30°$ ，位于x轴下方
8
步骤5：验证动能守恒：初始动能 $E_{k} = 9$ J，最终动能 $E_{k} = 2.25 + 6.76 = 9.01$ J（四舍五入误差），因此该碰撞为弹性碰撞。

Exam tip:

绝对不要不对速度矢量做分量分解，直接对合速度应用动量守恒定律。描述最终速度方向时必须参考给定坐标轴（例如水平方向下方30°）。

3. 圆周运动运动学★★☆☆☆⏱ 8 min

圆周运动描述物体沿固定圆形路径以恒定速率运动的过程。角位移是物体绕圆心转过的角度，单位可以是度或弧度。使用公式 $1 rad = \frac{180°}{π}$ 完成单位换算。

📘 定义

角速度

$ω = \frac{Δ θ}{Δ t} = \frac{2 π}{T} = 2 π f$ , $v = ω r$

角速度是角位移的变化率，单位为弧度每秒（rad s⁻¹）。 $T$ 是完成一次完整旋转的周期， $f$ 是旋转频率， $r$ 是轨道半径， $v$ 是线速率。

📐 例题

一辆汽车沿半径为25m的环形环岛以12 m s⁻¹的恒定线速率行驶，计算它的角速度以及完成一整圈所需的时间。

1
步骤1：使用 $v = ω r$ 计算角速度：
2
$\omega = \frac{v}{r} = \frac{12}{25} = 0.48 \text{ rad s}^{-1}$
3
步骤2：使用 $T = \frac{2 π}{ω}$ 计算运动周期：
4
$T = \frac{2\pi}{0.48} = 13.1 \text{ s（三位有效数字）}$

Exam tip:

计算角速度或使用其他圆周运动公式前，必须先将角位移转换为弧度。除非题目明确要求，否则以度每秒为单位的答案不会获得分数。

4. 向心加速度与向心力★★★★☆⏱ 12 min

即使物体沿圆周路径以恒定速率运动，它仍然存在加速度，因为它的运动方向（也就是速度矢量）在不断变化。这个指向圆心的加速度被称为向心加速度。你必须使用矢量图完成该推导，不能使用微积分。

🔬 推导

目标:

使用速度矢量变化推导向心加速度 $a = \frac{v ^{2}}{r}$

1
考虑一个物体以恒定速率 $v$ 沿半径为 $r$ 的圆周运动，在时间 $Δ t$ 内转过很小的角位移 $Δ θ$ 。
2
初始速度 $v_{1}$ 和末速度 $v_{2}$ 的大小均为 $v$ ，两个矢量的夹角为 $Δ θ$ 。
3
绘制 $Δ v = v_{2} - v_{1}$ 的矢量三角形。当 $Δ θ$ 很小时， $Δ v$ 的大小近似等于 $v Δ θ$ 。
4
加速度 $a = \frac{Δ v}{Δ t} = \frac{v Δ θ}{Δ t}$ 。
5
代入 $ω = \frac{Δ θ}{Δ t}$ 和 $ω = \frac{v}{r}$ ：
6
$a = v\omega = \frac{v^2}{r} = r\omega^2$

结果:

向心加速度始终指向圆周路径的圆心，与瞬时速度方向垂直。

产生向心加速度需要一个合力，这个合力被称为向心力。该力同样指向圆心，根据场景不同可以由摩擦力、拉力、法向接触力或其他力提供。向心力公式为： $F = \frac{m v ^{2}}{r} = m r ω^{2}$ 。

📐 例题

一辆质量为1200kg的汽车沿半径为50m的水平圆形弯道以15 m s⁻¹的速度行驶，计算防止打滑所需的轮胎与路面之间的最小摩擦系数。

1
步骤1：向心力由轮胎与路面之间的摩擦力提供：
2
$F_f = F_c = \frac{mv^2}{r}$
3
步骤2：最大摩擦力 $F_{f} = μ R$ ，水平路面上法向支持力 $R = m g$
4
步骤3：将两式联立，两侧消去质量 $m$ ：
5
$\mu = \frac{v^2}{rg} = \frac{15^2}{50 \times 9.81} = 0.459（三位有效数字）$

Exam tip:

向心力不是一种新的独立力：它是使物体做圆周运动的合力的名称。答题时必须说明指定场景下是什么力提供了向心力（例如摩擦力、拉力），才能拿到全部分数。

5. 常见陷阱

错误做法:

在反弹冲量计算中，给初速度和末速度使用相同的符号

原因:

速度是矢量，如果你已经定义了正方向，运动方向发生改变时速度的符号也必须随之改变

正确做法:

任何动量计算开始前都明确定义正方向，对所有速度值统一应用符号规则

错误做法:

对二维碰撞的合速度直接应用动量守恒定律，而不做分量分解

原因:

动量在每个垂直方向上分别守恒，不能直接对合速度方向应用守恒定律

正确做法:

将所有速度矢量分解为x和y分量，分别对两个坐标轴应用动量守恒定律，需要时再合并分量

错误做法:

在包含 $ω$ 的圆周运动公式中使用角度作为单位，而非弧度

原因:

所有标准圆周运动公式都要求 $ω$ 的单位为弧度每秒，不能是度每秒

正确做法:

计算角速度或使用圆周运动公式前，将所有角位移值转换为弧度

错误做法:

在受力分析图中将向心力作为额外的独立力单独列出

原因:

向心力是作用在物体上的真实力（摩擦力、拉力、支持力）的合力，本身不是一种新的独立力

正确做法:

先画出所有作用在物体上的真实力，再说明这些力的合力提供了所需的向心力

错误做法:

除非题目明确说明，否则默认所有碰撞都是弹性碰撞

原因:

绝大多数实际碰撞都是非弹性碰撞，部分动能会以热量、声音或形变能的形式损失

正确做法:

始终计算总初始动能和总末动能，确认碰撞是否为弹性碰撞，不要直接假设

6. 速查表

概念	公式	关键考试提示
冲量	$F Δ t = Δ p = m (v - u)$	明确定义正方向，避免符号错误
动能-动量关系	$E_{k} = \frac{p ^{2}}{2 m}$	无需计算速度即可直接关联动能和动量
二维动量	在x和y轴上分别守恒	先将矢量分解为分量再计算
角运动学	$ω = \frac{2 π}{T}$ , $v = ω r$	计算 $ω$ 时只能使用弧度单位
向心加速度	$a = \frac{v ^{2}}{r} = r ω^{2}$	使用矢量三角形推导，不能用微积分
向心力	$F = \frac{m v ^{2}}{r} = m r ω^{2}$	必须说明是什么力提供了向心力

7. 常见问题

备考Edexcel IAL物理第4单元的向心加速度推导，我需要用到微积分吗？

不需要。你只需要使用速度矢量变化三角形来推导向心加速度即可。基于微积分的推导不做要求，考试中使用这类推导不会获得分数。

二维场景下弹性碰撞和非弹性碰撞的区别是什么？

两类碰撞的总线动量在x和y方向上均守恒。只有弹性碰撞的总动能同时守恒。绝大多数实际碰撞都是非弹性碰撞，部分动能会以热量、声音或形变能的形式损失。

深入阅读

下一步

掌握Edexcel IAL物理第4单元的进阶力学知识点后，你就可以开始学习电场和磁场部分，届时你会将已学的力与运动知识应用到带电粒子在场中的运动场景中。多练习本主题的历年真题巩固知识点，详细复习核心实验9和10，这两个实验经常出现在分值3-6分的扩展问答题中。你学到的圆周运动知识也会在第5单元的引力场轨道运动部分进一步延伸应用。