# 电场与磁场

> 物理 · Edexcel IAL 2018
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-physics-u4-electric-and-magnetic-fields/

本指南覆盖Edexcel IAL物理第4单元电场、电容、RC电路、磁力与电磁感应的全部内容，完全匹配2018版WPH14考纲要求。

**先修:** 熟练掌握代数运算、图像解读与自然对数运算; [熟悉电磁学相关的国际单位制单位](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-physics-u2-electricity/)

## 学习目标

- 计算径向电场与匀强电场的电场强度、作用力与电势
- 利用V-Q图像面积和推导得到的能量公式求解电容与储能相关问题
- 解读RC充放电曲线，应用指数/对数形式的RC方程求解时间常数
- 使用弗莱明左手定则计算运动电荷与载流导体受到的磁力
- 应用法拉第定律与楞次定律计算感应电动势的大小与方向
- 完成核心实验11：电容充放电实验，通过实验方法测定时间常数

## 电场（径向电场与匀强电场）

**电场强度** — 电场中每单位正试探电荷受到的作用力，定义式为$E = F/Q$

*记法:* E

*例:* 一个2 nC的电荷在电场中受到5×10⁻⁴ N的作用力，因此电场强度E = 2.5×10⁵ N C⁻¹

对于**点电荷径向电场**，使用库仑定律求解两个电荷之间的作用力，以及推导得到的径向电场强度公式。对于**平行板匀强电场**，电场强度为定值，由公式$E = V/d$给出，其中V为极板间电势差，d为极板间距。

$$F = \frac{Q_1 Q_2}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \quad \text{(库仑定律)}$$

$$E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \quad \text{(径向电场强度)}$$

$$V = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r} \quad \text{(径向电势)}$$

**例题:** 计算距离3 μC点电荷0.2 m处的电场强度。已知$1/4\pi\varepsilon_0 = 8.99 \times 10^9$ N m² C⁻²。

1. 将数值代入径向电场公式：
2. $$E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \frac{8.99 \times 10^9 \times 3 \times 10^{-6}}{(0.2)^2}$$
3. 计算得到结果：$E = 6.74 \times 10^5$ N C⁻¹，方向背离该正点电荷。

> **电场线与等势面规则**
>
> 电场线始终与等势面垂直。匀强电场的电场线平行且等间距，等势面为平行平面。径向电场的电场线指向/背离点电荷，等势面为球面。

## 电容与储能

**电容** — 电容器两端每单位电势差存储的电荷量，定义式为$C = Q/V$，单位为法拉(F)

*记法:* C

*例:* 一个电容器在12 V电压下存储4 mC电荷，其电容为333 μF

电容器存储的能量等于V-Q图像下的面积，由此得到基础公式$W = \frac{1}{2}QV$。另外两个推导得到的公式会印在公式表中，可在Q或V未知时使用。

$$W = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{Q^2}{2C}$$

**例题:** 一个220 μF的电容器充电至15 V电势差，计算该电容器存储的能量。

1. 已知C和V，使用公式$W = \frac{1}{2}CV^2$：
2. $$W = 0.5 \times 220 \times 10^{-6} \times (15)^2$$
3. 计算得到结果：$W = 0.0248$ J，即24.8 mJ。

## RC电路的充放电

**时间常数** — 放电RC电路中的电荷/电压/电流衰减到初始值的1/e（约37%）所需的时间，数值满足$\tau = RC$

*记法:* \tau

放电电路的电荷、电流、电压遵循指数衰减曲线。充电电路的对应物理量遵循指数上升曲线。放电方程的对数线性形式可以绘制成斜率为$-1/RC$的直线，用于通过实验测定时间常数（核心实验11）。

$$Q = Q_0 e^{-t/RC} \quad \text{(放电电荷方程)}$$

$$\ln Q = \ln Q_0 - \frac{t}{RC} \quad \text{(对数线性放电形式)}$$

**例题:** 一个470 μF的电容器通过10 kΩ的电阻放电，计算电荷衰减到初始值20%所需的时间。

1. 首先计算时间常数：$\tau = RC = 10 \times 10^3 \times 470 \times 10^{-6} = 4.7$ s
2. 当$Q/Q_0 = 0.2$时，对对数方程变形求解t：
3. $$t = RC \ln \left(\frac{Q_0}{Q}\right) = 4.7 \times \ln(5)$$
4. 计算得到结果：$t = 7.56$ s

> **exam_tip**
>
> 在核心实验11中，你需要在放电过程中定时测量电容器两端的电压，绘制ln(V)-t图像，通过斜率计算RC值。最常见的错误是绘图时使用以10为底的对数而非自然对数。

## 磁场与作用力

**磁感应强度** — 垂直于磁场方向的载流导体上每单位电流、每单位长度受到的作用力，单位为特斯拉(T)

*记法:* B

*例:* 一根长度0.5 m、通有2 A电流的导线垂直置于0.4 T的磁场中，受到的作用力为0.4 N

载流导体受到的作用力公式为$F = BIl \sin\theta$，其中θ为电流与磁场的夹角。运动带电粒子受到的作用力公式为$F = Bqv \sin\theta$，其中θ为速度与B场的夹角。使用弗莱明左手定则判断力的方向：食指指向磁场方向，中指指向常规电流/正电荷运动方向，拇指指向力的方向。

**例题:** 一个电子以$2 \times 10^6$ m s⁻¹的速度垂直射入0.3 T的磁场中，计算电子受到的磁力。已知电子电荷为$1.6 \times 10^{-19}$ C。

1. 由于θ = 90°，$\sin\theta = 1$。将数值代入力的公式：
2. $$F = Bqv = 0.3 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 2 \times 10^6$$
3. 计算得到结果：$F = 9.6 \times 10^{-14}$ N。使用弗莱明左手定则时，需要为负电子反向电流方向，得到力的方向。

> **弗莱明左手定则记忆口诀**
>
> **食**指对应**场**（磁场），**中**指对应**流**（电流），**拇**指对应**力**（推力）。三根手指始终保持两两垂直。

## 电磁感应

当穿过线圈的磁链发生变化时，无论是磁铁与线圈的相对运动，还是耦合线圈的电流变化，都会产生感应电动势。法拉第定律给出感应电动势的大小，公式中的负号对应楞次定律，即感应电动势会阻碍引起它的磁链变化。

> **warning**
>
> 你不需要对磁链方程求导。计算平均感应电动势使用$|E| = N\Delta\phi/\Delta t$，读取磁链-时间图像的斜率即可得到瞬时感应电动势。

**例题:** 一个50匝、面积0.02 m²的线圈垂直置于0.8 T的磁场中，磁场在0.1 s内均匀减小到0 T，计算平均感应电动势。

1. 计算磁链变化量：$\Delta(N\phi) = N \times \Delta B \times A = 50 \times 0.8 \times 0.02 = 0.8$ Wb·匝
2. 应用法拉第定律计算平均电动势：
3. $$|E| = \frac{\Delta(N\phi)}{\Delta t} = \frac{0.8}{0.1} = 8 \text{ V}$$

## 常见错误

- **错误做法:** 将$E = V/d$用于径向电场
  - 原因: $E = V/d$仅适用于平行板匀强电场，径向电场遵循平方反比定律。
  - 正确做法: 点电荷径向电场使用$E = Q/(4\pi\varepsilon_0 r^2)$，$E = V/d$仅保留给匀强电场使用。
- **错误做法:** 磁力计算中遗漏$\sin\theta$项
  - 原因: 当电流/速度与B场平行时作用力为零，仅当二者垂直时作用力达到最大值。
  - 正确做法: 始终明确θ是电流/速度方向与磁场线的夹角，即使θ=90°（sinθ=1）也要明确写出，避免出错。
- **错误做法:** 将衰减指数公式$Q = Q_0 e^{-t/RC}$用于充电RC电路
  - 原因: 衰减形式仅适用于放电过程，充电过程遵循上升指数$Q = Q_0(1 - e^{-t/RC})$。
  - 正确做法: 将指数形式与过程匹配：下降曲线对应放电，上升曲线对应充电。
- **错误做法:** 使用$W = QV$而非$W = \frac{1}{2}QV$计算电容储能
  - 原因: 存储的能量是V-Q图像下的面积，不是最终电荷与电压的直接乘积。
  - 正确做法: 仅使用给定的三个能量公式：$\frac{1}{2}QV$、$\frac{1}{2}CV^2$或$\frac{Q^2}{2C}$。
- **错误做法:** 认为法拉第定律中的负号没有实际意义
  - 原因: 负号对应楞次定律，要求你说明感应电动势会阻碍磁链的变化。
  - 正确做法: 计算大小时取绝对值，但当题目要求解释电动势方向时，必须明确引用楞次定律。

## 速查表

| 公式 | 适用场景 | 单位 | 关键说明 |
| --- | --- | --- | --- |
| $E = F/Q$ | 所有电场 | N C⁻¹ / V m⁻¹ | 电场强度的定义式 |
| $F = Q_1Q_2/4\pi\varepsilon_0r^2$ | 两个点电荷之间的作用力 | N | 同种电荷相斥，异种电荷相吸 |
| $E = V/d$ | 平行板匀强电场 | N C⁻¹ | 仅适用于极板间的恒定电场 |
| $C = Q/V$ | 电容定义 | F | 1 F = 1 C V⁻¹ |
| $W = \frac{1}{2}QV$ | 电容储能 | J | 等于V-Q图像下的面积 |
| $\tau = RC$ | RC电路时间常数 | s | 放电到初始值37%所需的时间 |
| $\ln Q = \ln Q_0 - t/RC$ | 对数线性RC放电 | 无量纲 | 图像斜率等于$-1/RC$ |
| $F = BIl\sin\theta$ | 载流导体受到的作用力 | N | θ为电流I与磁场B的夹角 |
| $F = Bqv\sin\theta$ | 运动带电粒子受到的作用力 | N | 负电荷的受力方向需要反向 |
| $\|E\| = N\Delta\phi/\Delta t$ | 感应电动势（法拉第定律） | V | 时间间隔Δt内的平均电动势 |

## 下一步

掌握电场与磁场内容后，你就可以学习第4单元的最后一个主题：核物理与粒子物理，你会将场的相关概念应用到粒子加速、偏转与探测场景中。本部分内容也是第5单元引力场、天体物理与核衰变内容的重要基础，现在扎实掌握电场线、电势与能量的相关规则可以减轻后续的复习负担。请优先练习RC对数线性图与电磁感应方向判断相关的历年真题，这两类高频考题是很多学生的易错点。你也需要复习核心实验11的实验流程，为电容时间常数测量相关的实验考题做好准备。

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