# 电路

> 物理 · Edexcel IAL 物理（2018考纲）
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-physics-u2-electric-circuits/

本指南覆盖Edexcel IAL 物理第2单元（WPH12）全部电路相关内容，包括电路定律、电阻串并联组合、I-V特性曲线、分压器、电动势与内阻，以及要求掌握的核心实验。

**先修:** 基础代数与图像解读技能; [Edexcel IAL 物理第1单元的物理量与单位](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-physics-u1-physical-quantities/)

## 学习目标

- 使用标准电路公式计算电流、电势差、电阻和功率
- 从电荷守恒和能量守恒定律推导并应用串并联电阻规则
- 解读欧姆导体、灯丝灯泡、NTC热敏电阻和二极管的I-V特性曲线
- 求解电阻率和电流公式（I = nqvA）相关问题，包括核心实验7的操作步骤
- 完成分压器相关计算，包含带热敏电阻和光敏电阻（LDR）的电路
- 区分电动势和端电压，求解内阻相关问题，包括核心实验8的实验方法

## 基础电路物理量与欧姆定律

三个核心电路物理量由简单的代数关系定义：电流是电荷的流动速率，电势差是单位电荷转移的能量，电阻是电势差与电流的比值。欧姆定律是特殊情况：当温度（及其他物理条件）保持恒定时，电流与电势差成正比。

**欧姆定律** — 对于恒温下的欧姆导体，通过元件的电流与元件两端的电势差成正比，因此$R = V/I$为常数。

功率是能量的转移速率，表达式为$P=VI$。将$V=IR$或$I=V/R$代入基础公式，可以推导出另外两个功率表达式，分别为$P=I^2R$和$P=V^2/R$。总转移能量为$W=VIt$。

**例题:** 一个12V电池连接到4Ω的定值电阻，通电时长为5分钟。计算：(a) 电路中的电流，(b) 流过电阻的总电荷量，(c) 电阻获得的总能量。

1. 步骤1：使用欧姆定律计算电流：

   $$I = \frac{V}{R} = \frac{12}{4} = 3A$$
2. 步骤2：将时间转换为秒（5分钟=300秒），再计算电荷量：

   $$\Delta Q = I\Delta t = 3 \times 300 = 900C$$
3. 步骤3：计算转移的总能量：

   $$W = VIt = 12 \times 3 \times 300 = 10800J$$

## 串并联电路与守恒定律

电路规则由两个基础守恒定律推导得出：电荷守恒（流入节点的电流等于流出节点的电流）和能量守恒（闭合回路的总电动势之和等于回路的总电势降之和）。

对于串联电路：所有元件的电流相同，总电势差等于各元件电势差之和。对于并联电路：所有支路的电势差相同，总电流等于各支路电流之和。

**推导:** 推导串联电阻公式

*起点:* 两个电阻$R_1$和$R_2$串联，电流$I$同时流过两个电阻

1. 组合的总电势差等于各元件电势差之和：

   $$V_{total} = V_1 + V_2$$
2. 将每一项代入$V=IR$：

   $$IR_{total} = IR_1 + IR_2$$
3. 消去$I$（所有元件的电流相同）：

   $$R_{total} = R_1 + R_2$$

*结论:* 串联总电阻等于各分电阻之和。

**推导:** 推导并联电阻公式

*起点:* 两个电阻$R_1$和$R_2$并联，两端电势差均为$V$

1. 组合的总电流等于各支路电流之和：

   $$I_{total} = I_1 + I_2$$
2. 将每一项代入$I=V/R$：

   $$\frac{V}{R_{total}} = \frac{V}{R_1} + \frac{V}{R_2}$$
3. 消去$V$（所有支路的电势差相同）：

   $$\frac{1}{R_{total}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$$

*结论:* 并联总电阻的倒数等于各分电阻的倒数之和。

**例题:** 将2Ω和3Ω的电阻串联，再将该串联组合与5Ω的电阻并联。计算电路的总电阻。

1. 步骤1：计算2Ω和3Ω电阻的串联总电阻：

   $$R_{series} = 2 + 3 = 5\Omega$$
2. 步骤2：计算5Ω和5Ω的并联总电阻：

   $$\frac{1}{R_{total}} = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$$
3. 步骤3：取倒数得到总电阻：

   $$R_{total} = 2.5\Omega$$

## I-V特性曲线与电阻率

I-V特性曲线展示了通过元件的电流随外加电势差的变化规律。欧姆导体的曲线是过原点的直线（电阻恒定）。灯丝灯泡的曲线斜率逐渐减小（电阻随温度升高而增大，因为晶格振动阻碍电子流动）。NTC热敏电阻的曲线斜率逐渐增大（电阻随温度升高而减小，因为更多的传导电子被释放）。二极管仅在约0.6V的阈值电势差以上导通，低于该值时电阻极高。

**电阻率** — 材料的固有属性，决定了特定尺寸下材料的电阻：$R = \rho l / A$，其中$l$是材料长度，$A$是横截面积。

*例:* 铜的电阻率很低（$1.7 \times 10^{-8}\Omega m$），因此被用于制作电线。

电流公式$I = nqvA$解释了不同材料的电阻率差异：金属的自由电子数密度$n$非常高（电阻率低），半导体的$n$更低，绝缘体的$n$接近零（电阻率极高）。

> **tip**
>
> 核心实验7（电阻率测量）：使用刻度尺测量导线长度，使用千分尺测量直径（用于计算横截面积），使用电流表和电压表通过$R=V/I$测量电阻，再通过$\rho = RA/l$计算电阻率。

**例题:** 一根2m长的铜导线横截面积为$1 \times 10^{-7} m^2$，铜的电阻率为$1.7 \times 10^{-8} \Omega m$，计算该导线的电阻。

1. 将数值代入电阻率公式：

   $$R = \frac{\rho l}{A} = \frac{1.7 \times 10^{-8} \times 2}{1 \times 10^{-7}}$$
2. 化简得到电阻值：

   $$R = 0.34\Omega$$

## 分压器

分压器使用两个或多个串联电阻将输入电势差拆分为更小的输出电势差。对于均匀的载流导线，电势与长度成正比，因此你可以通过调整输出端对应的导线长度来改变输出电势差。

标准分压器公式为$V_{out} = V_{in} \times (R_{out}/R_{total})$，其中$R_{out}$是输出端两端的电阻。你可以使用热敏电阻（电阻随温度升高而减小）或光敏电阻（电阻随光照强度升高而减小）等可变元件，让输出电势差随环境变化自动调整。

**例题:** 一个分压器电路由10kΩ定值电阻和光敏电阻串联后接在9V电源上。黑暗环境下光敏电阻的阻值为100kΩ，计算光敏电阻两端的输出电势差。

1. 步骤1：计算串联总电阻：

   $$R_{total} = 10k\Omega + 100k\Omega = 110k\Omega$$
2. 步骤2：代入分压器公式：

   $$V_{out} = 9 \times \frac{100k\Omega}{110k\Omega}$$
3. 步骤3：计算输出电势差：

   $$V_{out} \approx 8.2V$$

## 电动势与内阻

**电动势（emf）** — 电源转移单位电荷所消耗的总能量，等于无电流流动时的端电压。电动势、端电压和内阻的关系为$\varepsilon = V + Ir = I(R + r)$，其中$Ir$称为'损失电压'，即电源内阻上单位电荷耗散的能量。

通过实验测量电动势和内阻（核心实验8）：改变外电阻，测量端电压$V$和电流$I$，绘制$V-I$图像。图像的纵轴截距等于电动势$\varepsilon$，斜率的负值等于内阻$r$。

**例题:** 一个电池的电动势为1.5V，内阻为0.2Ω，连接到2.8Ω的外电阻。计算电流流动时电池的端电压。

1. 步骤1：计算电路总电阻：

   $$R_{total} = R + r = 2.8 + 0.2 = 3\Omega$$
2. 步骤2：计算电路中的电流：

   $$I = \frac{\varepsilon}{R_{total}} = \frac{1.5}{3} = 0.5A$$
3. 步骤3：计算端电压，可以使用$V=IR$或$V=\varepsilon - Ir$：

   $$V = 0.5 \times 2.8 = 1.4V$$

## 常见错误

- **错误做法:** 对非线性元件使用固定电阻值套用欧姆定律
  - 原因: 欧姆定律仅在恒温下成立；灯丝灯泡、二极管和热敏电阻的电阻会随电流/温度变化而改变。
  - 正确做法: 根据题目给出的特定电流或电势差数值，使用$R = V/I$计算对应电阻，不要使用固定电阻值。
- **错误做法:** 直接将并联电阻相加，而不是对倒数求和
  - 原因: 并联电路所有支路的电势差相同，电流会分流，总电阻始终小于最小的分电阻。
  - 正确做法: 并联组合使用$1/R_{total} = 1/R_1 + 1/R_2 + ...$计算，再取倒数得到总电阻。
- **错误做法:** 假设电动势和端电压始终相等
  - 原因: 端电压是外电路可获得的电势差，当电流流动时，电源内阻上的能量损耗会导致端电压低于电动势。
  - 正确做法: 使用$\varepsilon = V + Ir$，其中$V$是端电压，$Ir$是电流$I$流动时的损失电压。
- **错误做法:** 分压器计算中颠倒电阻比值
  - 原因: 输出电势差与输出端对应的电阻成正比，使用错误的电阻会得到错误的结果。
  - 正确做法: 始终使用$V_{out} = V_{in} \times (R_{out}/R_{total})$，其中$R_{out}$是输出端两端的电阻。
- **错误做法:** 计算电阻率的横截面积时直接使用直径而不是半径
  - 原因: 横截面积$A = \pi r^2$，直接使用直径会得到4倍于真实值的面积。
  - 正确做法: 使用千分尺测量直径，除以2得到半径，计算面积后再代入$R = \rho l / A$。

## 速查表

| 物理量 | 公式 | 单位 | 关键说明 |
| --- | --- | --- | --- |
| 电流 | $I = \Delta Q/\Delta t$ | A | 1A = 1C/s |
| 电阻 | $R = V/I$ | Ω | 欧姆定律仅适用于恒温条件 |
| 串联电阻 | $R_{total} = R_1 + R_2 + ...$ | Ω | 所有元件的电流相同 |
| 并联电阻 | $1/R_{total} = 1/R_1 + 1/R_2 + ...$ | Ω | 所有支路的电势差相同 |
| 功率 | $P=VI = I^2R = V^2/R$ | W | 1W = 1J/s |
| 电阻率 | $R = \rho l/A$ | Ω·m | 材料的固有属性 |
| 分压器 | $V_{out} = V_{in} \times R_{out}/R_{total}$ | V | 与电阻比值成正比 |
| 电动势与内阻 | $\varepsilon = V + Ir = I(R + r)$ | V | V-I图像的纵轴截距为$\varepsilon$，斜率为$-r$ |

## 下一步

在掌握Edexcel IAL 物理第2单元的电路内容后，你可以继续复习WPH12考试剩余的知识点：波动与量子现象，这部分占单元总分值的50%。你还应当练习历年真题中的电路相关题目，重点关注核心实验评估类和要求解释热敏电阻、光敏电阻、灯丝灯泡电阻变化的拓展问答题。完成全部第2单元内容后，你就可以开始备考第4单元，学习电容器、电磁学等更进阶的电路相关概念。

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