材料

Edexcel 国际A-Level 物理· 2018 版大纲第3版，第23-32条· 25 分钟阅读

1. 密度与浮力★★☆☆☆⏱ 5 min

📘 定义

密度

\rho = \frac{m}{V}

单位体积物质的质量，属于与样本大小无关的强度性质。

例:

室温下纯水的密度 = 1000 kg m⁻³ = 1 g cm⁻³

阿基米德原理指出，部分或完全浸没在流体中的物体受到的浮力，大小等于该物体排开流体的重力。如果浮力等于物体的重力，物体将漂浮；如果浮力小于物体重力，物体将下沉。

📐 例题

一块体积为0.02 m³的铝块（密度=2700 kg m⁻³）完全浸没在水中。计算作用在铝块上的浮力，以及铝块浸没时的视重。

1
步骤1：计算排开水的质量： $m = ρ_{w a t er} \times V = 1000 \times 0.02 = 20$ kg
2
步骤2：浮力等于排开水的重力： $F_{u pt h r u s t} = m g = 20 \times 9.81 = 196.2$ N
3
步骤3：计算铝块的重力： $W = ρ_{A l} \times V \times g = 2700 \times 0.02 \times 9.81 = 529.74$ N
4
步骤4：视重 = 实际重力 - 浮力 = $529.74 - 196.2 = 334$ N（保留3位有效数字）

Exam tip:

除非题目明确说明，否则所有计算统一使用 $g = 9.81$ m s⁻²，最终答案保留3位有效数字，匹配考试标准数据精度。

2. 粘性阻力与斯托克斯定律★★★☆☆⏱ 6 min

📘 定义

斯托克斯定律

F = 6\pi\eta r v

低速运动的小球在层流（平滑、非湍流）流体中受到的粘性阻力，其中 $η$ 为流体粘度， $r$ 为小球半径， $v$ 为小球运动速度。

例:

核心实验2中使用该定律，通过下落玻璃小球测量粘性液体的粘度。

📐 例题

半径为1.5 mm的微小玻璃球以终端速度在甘油中下落（粘度=1.4 Pa s）。若其终端速度为0.08 m s⁻¹，计算作用在小球上的阻力。

1
步骤1：将半径转换为国际单位： $1.5$ mm = $1.5 \times 1 0^{- 3}$ m
2
步骤2：代入斯托克斯定律： $F = 6 \times π \times 1.4 \times 1.5 \times 1 0^{- 3} \times 0.08$
3
步骤3：计算结果： $F \approx 3.2 \times 1 0^{- 3}$ N = 3.2 mN（保留2位有效数字）

核心实验2（落球粘度法）的操作是测量已知半径的小球在液体中下落经过两个标记点的时间，计算其终端速度，再通过斯托克斯定律求出液体的粘度。液体的粘度随温度升高而降低。

3. 胡克定律与弹性应变能★★☆☆☆⏱ 5 min

📘 定义

胡克定律

\Delta F = k\Delta x

弹性物体的伸长量与所受外力成正比，该关系成立的上限为比例极限，其中 $k$ 为物体的劲度系数（单位：N m⁻¹）。

例:

劲度系数 $k = 100$ N m⁻¹的弹簧在10 N外力作用下伸长0.1 m。

弹性应变能是拉伸或压缩的弹性物体中储存的能量，等于该物体力-伸长量图像下的面积。对于符合胡克定律的线性区域，该面积为三角形，因此 $Δ E_{e l} = \frac{1}{2} F Δ x$ 。对于非线性图像，可通过数曲线下方的网格方格估算面积。

📐 例题

劲度系数为120 N m⁻¹的弹簧被拉伸4 cm，计算弹簧中储存的弹性应变能。

1
步骤1：将伸长量转换为国际单位： $4$ cm = $0.04$ m
2
步骤2：计算所受外力： $F = k Δ x = 120 \times 0.04 = 4.8$ N
3
步骤3：计算应变能： $Δ E_{e l} = \frac{1}{2} \times 4.8 \times 0.04 = 0.096$ J
4
注：也可以使用变形后的公式 $Δ E_{e l} = \frac{1}{2} k (Δ x)^{2}$ 直接得到相同结果。

Exam tip:

在线性区域计算应变能时绝对不能使用 $E = F Δ x$ ，因为力随伸长量线性增大而非恒定，该错误会在考试中导致你丢失一半分数。

4. 应力、应变与杨氏模量★★★★☆⏱ 7 min

📘 定义

杨氏模量

E = \frac{\sigma}{\epsilon} = \frac{kx_0}{A}

由材料本身性质决定的刚度度量，与物体尺寸无关，其中 $σ$ （应力）= $\frac{F}{A}$ ， $ϵ$ （应变）= $\frac{Δ x}{x _{0}}$ ， $x_{0}$ 为样本原长， $A$ 为样本横截面积。单位：帕斯卡（Pa）。

例:

铜的杨氏模量约为 $2.1 \times 1 0^{11}$ Pa

核心实验3（杨氏模量测定）的操作是测量不同质量的砝码作用下细测试金属丝的伸长量，绘制力-伸长量图像，利用线性区域的斜率求出劲度系数 $k$ ，再代入公式 $E = \frac{k x _{0}}{A}$ 计算金属丝材料的杨氏模量。

📐 例题

一根长2 m、横截面积为 $1.2 \times 1 0^{- 7}$ m²的铜丝在15 N拉力作用下伸长1.2 mm，计算铜的杨氏模量。

1
步骤1：将伸长量转换为国际单位： $1.2$ mm = $1.2 \times 1 0^{- 3}$ m
2
步骤2：计算应力： $σ = \frac{F}{A} = \frac{15}{1.2 \times 1 0 ^{- 7}} = 1.25 \times 1 0^{8}$ Pa
3
步骤3：计算应变： $ϵ = \frac{Δ x}{x _{0}} = \frac{1.2 \times 1 0 ^{- 3}}{2} = 6 \times 1 0^{- 4}$
4
步骤4：计算杨氏模量： $E = \frac{σ}{ϵ} = \frac{1.25 \times 1 0 ^{8}}{6 \times 1 0 ^{- 4}} \approx 2.1 \times 1 0^{11}$ Pa（保留2位有效数字）

5. 材料形变与图像解读★★★☆☆⏱ 5 min

力-伸长量图像针对单个特定物体（与物体尺寸相关），而应力-应变图像是材料本身的固有特性。这些图像上的关键点包括：比例极限（胡克定律线性区域的终点）、弹性极限（超过该点后将发生塑性形变）、屈服点（外力小幅增加时伸长量突然大幅增大）以及断裂应力（断裂前的最大应力）。

📐 例题

某金属丝的力-伸长量图像在0 N到12 N范围内为线性区域（伸长量0到3 mm），之后曲线弯曲，最终在15 N时断裂（伸长量8 mm）。估算金属丝断裂前储存的总应变能。

1
步骤1：计算线性三角形区域的面积： $\frac{1}{2} \times 12 \times 0.003 = 0.018$ J
2
步骤2：估算非线性区域的面积：近似为梯形，平均力为 $\frac{12 + 15}{2} = 13.5$ N，伸长量变化为 $0.008 - 0.003 = 0.005$ m：面积约为 $13.5 \times 0.005 = 0.0675$ J
3
步骤3：总应变能为两部分面积之和，约为 $0.018 + 0.0675 = 0.086$ J（保留2位有效数字）

6. 常见陷阱

错误做法:

在材料主题的流体相关问题中使用雷诺数或伯努利原理

原因:

这些概念明确超出了Edexcel IAL第1单元材料主题的考纲范围，作答中包含这些内容会导致失分

正确做法:

所有材料主题的流体相关问题仅使用阿基米德原理和斯托克斯定律

错误做法:

在胡克定律线性区域将弹性应变能计算为 $F Δ x$ 而非 $\frac{1}{2} F Δ x$

原因:

伸长过程中力不是恒定值，因此不能直接套用恒力做功公式 $W = F d$

正确做法:

线性区域使用 $\frac{1}{2} F Δ x$ ，非线性区域通过数网格方格估算力-伸长量图像下的面积

错误做法:

将斯托克斯定律应用于非球形物体或湍流条件

原因:

斯托克斯定律仅适用于低速层流中运动的小球，其他条件下该公式完全不成立

正确做法:

只有当题目明确给出所需条件，或者描述粘性流体中的下落小球时，才能使用斯托克斯定律

错误做法:

混淆力-伸长量（针对特定物体）和应力-应变（针对材料本身）图像

原因:

劲度系数 $k$ 从力-伸长量图像的斜率计算，而杨氏模量 $E$ 从应力-应变图像的斜率计算，混淆两者会得到错误结果

正确做法:

首先检查图像坐标轴：x轴为伸长量则是针对特定物体的图像，x轴为应变则是材料固有属性的图像

错误做法:

计算应力或应用斯托克斯定律时忘记将单位转换为国际单位制（mm转m，cm²转m²）

原因:

所有标准公式都要求使用国际单位制基本单位，才能得到力、应力、粘度等物理量的正确数值

正确做法:

代入任何公式前，务必将所有已知物理量转换为国际单位制基本单位

7. 速查表

公式/概念	符号/定义	单位/说明
密度	$ρ = \frac{m}{V}$	kg m⁻³; 1 g cm⁻³ = 1000 kg m⁻³
浮力	排开流体的重力	$= ρ_{f l u i d} \times V_{d i s pl a ce d} \times g$
斯托克斯定律	$F = 6 π η r v$	仅对小球、层流、低速条件成立
胡克定律	$Δ F = k Δ x$	$k$ 为劲度系数，单位N m⁻¹
应力	$σ = \frac{F}{A}$	单位Pa = N m⁻²
应变	$ϵ = \frac{Δ x}{x _{0}}$	无量纲，无单位
杨氏模量	$E = \frac{σ}{ϵ} = \frac{k x _{0}}{A}$	单位Pa；特定材料的杨氏模量为常数
弹性应变能	$Δ E_{e l} = \frac{1}{2} F Δ x$ = F-x图像下的面积	非线性区域通过数方格估算面积
核心实验2	落球粘度法	测量终端速度计算流体粘度
核心实验3	杨氏模量测定	绘制F-x图像，利用斜率求 $E$

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