# 材料

> Edexcel 国际A-Level 物理 · IAL 物理 第1单元 (WPH11)
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-physics-u1-materials/

本指南涵盖Edexcel IAL物理第1单元(WPH11)材料主题的全部内容，包括密度、浮力、斯托克斯定律、胡克定律、应力/应变、材料形变，以及两个必修核心实验，配套以考试为导向的例题解析。

**先修:** [基础受力、重力和矢量加法](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-physics-u1-forces-motion/)

## 学习目标

- 使用标准公式计算密度、浮力、粘性阻力和弹性应变能
- 解读力-伸长量和应力-应变图像，识别关键的材料形变特征点
- 描述并完成粘度测量和杨氏模量测定的核心实验
- 在考试场景中区分弹性、塑性、延展性和脆性材料的行为特性

## 密度与浮力

**密度** — 单位体积物质的质量，属于与样本大小无关的强度性质。

*记法:* \rho = \frac{m}{V}

*例:* 室温下纯水的密度 = 1000 kg m⁻³ = 1 g cm⁻³

阿基米德原理指出，部分或完全浸没在流体中的物体受到的浮力，大小等于该物体排开流体的重力。如果浮力等于物体的重力，物体将漂浮；如果浮力小于物体重力，物体将下沉。

**例题:** 一块体积为0.02 m³的铝块（密度=2700 kg m⁻³）完全浸没在水中。计算作用在铝块上的浮力，以及铝块浸没时的视重。

1. 步骤1：计算排开水的质量：$m = \rho_{water} \times V = 1000 \times 0.02 = 20$ kg
2. 步骤2：浮力等于排开水的重力：$F_{upthrust} = mg = 20 \times 9.81 = 196.2$ N
3. 步骤3：计算铝块的重力：$W = \rho_{Al} \times V \times g = 2700 \times 0.02 \times 9.81 = 529.74$ N
4. 步骤4：视重 = 实际重力 - 浮力 = $529.74 - 196.2 = 334$ N（保留3位有效数字）

> **考试提示:** 除非题目明确说明，否则所有计算统一使用$g=9.81$ m s⁻²，最终答案保留3位有效数字，匹配考试标准数据精度。

## 粘性阻力与斯托克斯定律

**斯托克斯定律** — 低速运动的小球在层流（平滑、非湍流）流体中受到的粘性阻力，其中$\eta$为流体粘度，$r$为小球半径，$v$为小球运动速度。

*记法:* F = 6\pi\eta r v

*例:* 核心实验2中使用该定律，通过下落玻璃小球测量粘性液体的粘度。

> **warning**
>
> 只有当题目明确说明是层流、小球形物体且低速运动时，才能应用斯托克斯定律。非球形物体或湍流条件下该公式不成立。

**例题:** 半径为1.5 mm的微小玻璃球以终端速度在甘油中下落（粘度=1.4 Pa s）。若其终端速度为0.08 m s⁻¹，计算作用在小球上的阻力。

1. 步骤1：将半径转换为国际单位：$1.5$ mm = $1.5 \times 10^{-3}$ m
2. 步骤2：代入斯托克斯定律：$F = 6 \times \pi \times 1.4 \times 1.5 \times 10^{-3} \times 0.08$
3. 步骤3：计算结果：$F \approx 3.2 \times 10^{-3}$ N = 3.2 mN（保留2位有效数字）

核心实验2（落球粘度法）的操作是测量已知半径的小球在液体中下落经过两个标记点的时间，计算其终端速度，再通过斯托克斯定律求出液体的粘度。液体的粘度随温度升高而降低。

## 胡克定律与弹性应变能

**胡克定律** — 弹性物体的伸长量与所受外力成正比，该关系成立的上限为比例极限，其中$k$为物体的劲度系数（单位：N m⁻¹）。

*记法:* \Delta F = k\Delta x

*例:* 劲度系数$k=100$ N m⁻¹的弹簧在10 N外力作用下伸长0.1 m。

弹性应变能是拉伸或压缩的弹性物体中储存的能量，等于该物体力-伸长量图像下的面积。对于符合胡克定律的线性区域，该面积为三角形，因此$\Delta E_{el} = \frac{1}{2}F\Delta x$。对于非线性图像，可通过数曲线下方的网格方格估算面积。

**例题:** 劲度系数为120 N m⁻¹的弹簧被拉伸4 cm，计算弹簧中储存的弹性应变能。

1. 步骤1：将伸长量转换为国际单位：$4$ cm = $0.04$ m
2. 步骤2：计算所受外力：$F = k\Delta x = 120 \times 0.04 = 4.8$ N
3. 步骤3：计算应变能：$\Delta E_{el} = \frac{1}{2} \times 4.8 \times 0.04 = 0.096$ J
4. 注：也可以使用变形后的公式$\Delta E_{el} = \frac{1}{2}k(\Delta x)^2$直接得到相同结果。

> **考试提示:** 在线性区域计算应变能时绝对不能使用$E = F\Delta x$，因为力随伸长量线性增大而非恒定，该错误会在考试中导致你丢失一半分数。

## 应力、应变与杨氏模量

**杨氏模量** — 由材料本身性质决定的刚度度量，与物体尺寸无关，其中$\sigma$（应力）= $\frac{F}{A}$，$\epsilon$（应变）= $\frac{\Delta x}{x_0}$，$x_0$为样本原长，$A$为样本横截面积。单位：帕斯卡（Pa）。

*记法:* E = \frac{\sigma}{\epsilon} = \frac{kx_0}{A}

*例:* 铜的杨氏模量约为$2.1 \times 10^{11}$ Pa

核心实验3（杨氏模量测定）的操作是测量不同质量的砝码作用下细测试金属丝的伸长量，绘制力-伸长量图像，利用线性区域的斜率求出劲度系数$k$，再代入公式$E = \frac{kx_0}{A}$计算金属丝材料的杨氏模量。

**例题:** 一根长2 m、横截面积为$1.2 \times 10^{-7}$ m²的铜丝在15 N拉力作用下伸长1.2 mm，计算铜的杨氏模量。

1. 步骤1：将伸长量转换为国际单位：$1.2$ mm = $1.2 \times 10^{-3}$ m
2. 步骤2：计算应力：$\sigma = \frac{F}{A} = \frac{15}{1.2 \times 10^{-7}} = 1.25 \times 10^8$ Pa
3. 步骤3：计算应变：$\epsilon = \frac{\Delta x}{x_0} = \frac{1.2 \times 10^{-3}}{2} = 6 \times 10^{-4}$
4. 步骤4：计算杨氏模量：$E = \frac{\sigma}{\epsilon} = \frac{1.25 \times 10^8}{6 \times 10^{-4}} \approx 2.1 \times 10^{11}$ Pa（保留2位有效数字）

## 材料形变与图像解读

力-伸长量图像针对单个特定物体（与物体尺寸相关），而应力-应变图像是材料本身的固有特性。这些图像上的关键点包括：比例极限（胡克定律线性区域的终点）、弹性极限（超过该点后将发生塑性形变）、屈服点（外力小幅增加时伸长量突然大幅增大）以及断裂应力（断裂前的最大应力）。

> **tip**
>
> 比较延展性材料和脆性材料时，一定要结合图像特征作答才能得分：延展性材料（例如铜）在弹性极限后存在很大的塑性区域，而脆性材料（例如玻璃）在弹性极限后会立即断裂，不存在塑性形变。

**例题:** 某金属丝的力-伸长量图像在0 N到12 N范围内为线性区域（伸长量0到3 mm），之后曲线弯曲，最终在15 N时断裂（伸长量8 mm）。估算金属丝断裂前储存的总应变能。

1. 步骤1：计算线性三角形区域的面积：$\frac{1}{2} \times 12 \times 0.003 = 0.018$ J
2. 步骤2：估算非线性区域的面积：近似为梯形，平均力为$\frac{12+15}{2} = 13.5$ N，伸长量变化为$0.008 - 0.003 = 0.005$ m：面积约为$13.5 \times 0.005 = 0.0675$ J
3. 步骤3：总应变能为两部分面积之和，约为$0.018 + 0.0675 = 0.086$ J（保留2位有效数字）

## 常见错误

- **错误做法:** 在材料主题的流体相关问题中使用雷诺数或伯努利原理
  - 原因: 这些概念明确超出了Edexcel IAL第1单元材料主题的考纲范围，作答中包含这些内容会导致失分
  - 正确做法: 所有材料主题的流体相关问题仅使用阿基米德原理和斯托克斯定律
- **错误做法:** 在胡克定律线性区域将弹性应变能计算为$F\Delta x$而非$\frac{1}{2}F\Delta x$
  - 原因: 伸长过程中力不是恒定值，因此不能直接套用恒力做功公式$W = Fd$
  - 正确做法: 线性区域使用$\frac{1}{2}F\Delta x$，非线性区域通过数网格方格估算力-伸长量图像下的面积
- **错误做法:** 将斯托克斯定律应用于非球形物体或湍流条件
  - 原因: 斯托克斯定律仅适用于低速层流中运动的小球，其他条件下该公式完全不成立
  - 正确做法: 只有当题目明确给出所需条件，或者描述粘性流体中的下落小球时，才能使用斯托克斯定律
- **错误做法:** 混淆力-伸长量（针对特定物体）和应力-应变（针对材料本身）图像
  - 原因: 劲度系数$k$从力-伸长量图像的斜率计算，而杨氏模量$E$从应力-应变图像的斜率计算，混淆两者会得到错误结果
  - 正确做法: 首先检查图像坐标轴：x轴为伸长量则是针对特定物体的图像，x轴为应变则是材料固有属性的图像
- **错误做法:** 计算应力或应用斯托克斯定律时忘记将单位转换为国际单位制（mm转m，cm²转m²）
  - 原因: 所有标准公式都要求使用国际单位制基本单位，才能得到力、应力、粘度等物理量的正确数值
  - 正确做法: 代入任何公式前，务必将所有已知物理量转换为国际单位制基本单位

## 速查表

| 公式/概念 | 符号/定义 | 单位/说明 |
| --- | --- | --- |
| 密度 | $\rho = \frac{m}{V}$ | kg m⁻³; 1 g cm⁻³ = 1000 kg m⁻³ |
| 浮力 | 排开流体的重力 | $= \rho_{fluid} \times V_{displaced} \times g$ |
| 斯托克斯定律 | $F = 6\pi\eta r v$ | 仅对小球、层流、低速条件成立 |
| 胡克定律 | $\Delta F = k\Delta x$ | $k$为劲度系数，单位N m⁻¹ |
| 应力 | $\sigma = \frac{F}{A}$ | 单位Pa = N m⁻² |
| 应变 | $\epsilon = \frac{\Delta x}{x_0}$ | 无量纲，无单位 |
| 杨氏模量 | $E = \frac{\sigma}{\epsilon} = \frac{kx_0}{A}$ | 单位Pa；特定材料的杨氏模量为常数 |
| 弹性应变能 | $\Delta E_{el} = \frac{1}{2}F\Delta x$ = F-x图像下的面积 | 非线性区域通过数方格估算面积 |
| 核心实验2 | 落球粘度法 | 测量终端速度计算流体粘度 |
| 核心实验3 | 杨氏模量测定 | 绘制F-x图像，利用斜率求$E$ |

## 下一步

现在你已经掌握了Edexcel IAL物理第1单元材料主题的全部核心内容，可以开始练习该子主题对应的历年真题，同时复习第1单元力学与材料的剩余内容，全面备考。确保你可以熟练作答计算题和描述类问题，包括两个核心实验相关的高频考点。定期练习图像解读类题目也能帮助你避免考试中常见的失分错误。

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