# 二项分布与泊松分布（Edexcel IAL S2）

> Edexcel 国际A-Level 数学 · IAL S2 2018
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-s2-the-binomial-and-poisson-distributions/

本指南涵盖Edexcel IAL S2中二项分布和泊松分布的全部内容，包括模型适用性检验、累积概率计算、泊松可加性以及二项分布的泊松近似，完全符合2018版考纲要求。

**先修:** [Edexcel IAL S1 离散概率分布](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-s1-discrete-probability-distributions/); [基础累积概率计算](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-s1-cumulative-probability/)

## 学习目标

- 识别现实场景中二项分布或泊松分布的适用情况
- 通过直接计算或统计表格计算两种分布的累积概率
- 应用泊松分布的可加性对时间/空间区间进行缩放
- 使用给定的二项分布和泊松分布的均值与方差公式
- 当条件满足时，将泊松分布作为二项分布的近似使用

## 二项分布与泊松分布模型适用性

**二项分布** — 离散分布，用于模拟n次独立、相同的伯努利试验中成功的次数，每次试验的成功概率p恒定。适用条件：固定n次试验、试验独立、两种结果（成功/失败）、p恒定。

*记法:* $X \sim B(n,p)$

*例:* 一批共20件产品中的次品数量，已知产品次品率为5%。

**泊松分布** — 离散分布，用于模拟固定时间/空间区间内发生的事件数量，事件以恒定平均速率独立发生。适用条件：事件独立发生、平均速率恒定、无同时发生的事件。

*记法:* $X \sim Po(\lambda)$

*例:* 咖啡馆每小时到店的顾客数量，已知平均每小时到店8位顾客。

> **info**
>
> 在考试中评价模型适用性时，你必须明确指出给定场景中哪些条件满足、哪些条件不满足，才能获得全部分数。

**例题:** 一名教师将30人班级在随机上学日的缺勤人数建模为二项分布，假设每名学生的缺勤概率为0.03。评价该模型的适用性。

1. 1. 对照场景检验二项分布条件：固定n=30次试验（学生）、两种结果（缺勤/出勤）：两个条件均满足。
2. 2. 检验恒定成功概率：如果缺勤原因相互独立（例如个人生病），则p=0.03是恒定的：该条件部分满足。
3. 3. 检验独立试验：如果缺勤是由传染性疾病导致的，则试验不独立：这是该模型的一个关键潜在局限性。
4. 4. 最终结论：如果缺勤相互独立，该模型适用；如果存在大范围疾病导致多人同时缺勤，则该模型不适用。

*计算器:* allowed

## 累积概率计算

你可以使用公式手册中的概率质量函数（pmf）直接计算$B(n,p)$和$Po(\lambda)$的累积概率，也可以在提供的累积统计表格中直接查表，以在考试中节省时间。表格会给出指定参数下的$P(X \leq x)$值。

> **tip**
>
> 如果你需要计算$P(X > x)$，使用补集规则：$P(X > x) = 1 - P(X \leq x)$。对于$P(X \geq x)$，使用$1 - P(X \leq x-1)$。

**例题:** 已知$X \sim B(10, 0.2)$，先通过直接计算求$P(2 \leq X \leq 4)$，再使用累积表格验证结果。

1. 1. 直接计算需要对x=2、3、4的概率质量函数求和：$P(X=k) = \binom{10}{k} 0.2^k 0.8^{10-k}$
2. $$P(X=2) = \binom{10}{2} 0.2^2 0.8^8 = 45 \times 0.04 \times 0.16777216 = 0.3020$$
3. $$P(X=3) = \binom{10}{3} 0.2^3 0.8^7 = 120 \times 0.008 \times 0.2097152 = 0.2013$$
4. $$P(X=4) = \binom{10}{4} 0.2^4 0.8^6 = 210 \times 0.0016 \times 0.262144 = 0.0881$$
5. 2. 将各项相加：$0.3020 + 0.2013 + 0.0881 = 0.5914$
6. 3. 查表验证：$P(X \leq 4) = 0.9672$，$P(X \leq 1) = 0.3758$，因此$0.9672 - 0.3758 = 0.5914$，与直接计算结果一致。

*计算器:* allowed

## 分布性质与泊松可加性

两种分布的均值和方差均已在公式手册中给出（无需推导）：
- 对于$X \sim B(n,p)$：$E(X) = np$，$Var(X) = np(1-p)$
- 对于$Y \sim Po(\lambda)$：$E(Y) = Var(Y) = \lambda$

**泊松可加性** — 如果事件在单位区间内的平均速率为λ，则k个独立相同区间内的事件数量服从$Po(k\lambda)$分布。该性质仅在区间相互独立且速率恒定时适用。

**例题:** 一家面包店平均每周收到3起顾客投诉。假设投诉服从泊松分布，求该面包店在两周内收到投诉少于2起的概率。

1. 1. 应用可加性：两周的投诉速率 = $2 \times 3 = 6$，令$X$为两周内的投诉数量，则$X \sim Po(6)$
2. 2. 我们需要求$P(X < 2) = P(X \leq 1)$
3. 3. 使用λ=6的泊松累积表格：$P(X \leq 1) = 0.0174$

*计算器:* allowed

## 二项分布的泊松近似

对于n很大（$n \geq 50$）且p很小（$p \leq 0.1$）的二项分布，泊松分布可以提供更简便的近似计算方法。泊松参数λ设置为二项分布的均值，即$\lambda = np$。

> **warning**
>
> Edexcel 判卷官要求你在使用泊松近似之前，必须明确说明二项分布泊松近似的适用条件，才能获得全部方法分。

**例题:** 某工厂生产的元件有2%为次品。现随机抽取100个元件样本，使用泊松近似求样本中次品少于3件的概率。

1. 1. 定义原始二项变量：令$X$为次品元件数量，$X \sim B(100, 0.02)$
2. 2. 检验泊松近似条件：$n=100 \geq 50$，$p=0.02 \leq 0.1$：条件满足
3. 3. 计算$\lambda = np = 100 \times 0.02 = 2$，因此近似分布为$X \approx Po(2)$
4. 4. 我们需要求$P(X < 3) = P(X \leq 2)$
5. 5. 使用λ=2的泊松累积表格：$P(X \leq 2) = 0.6767$

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 忘记说明模型适用性或泊松近似的条件
  - 原因: 判卷官会为条件说明分配明确的分数，即使你的计算结果正确，也会丢失方法分
  - 正确做法: 评价模型适用性时始终引用二项分布的4个条件或泊松分布的3个条件，使用二项分布的泊松近似时明确说明$n \geq 50$和$p \leq 0.1$
- **错误做法:** 使用错误的累积概率补集，例如将$P(X \geq 3)$计算为$1 - P(X \leq 3)$
  - 原因: 你错误地排除了X=3的情况，导致最终答案错误
  - 正确做法: 对于所有离散分布，使用$P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$，$P(X > k) = 1 - P(X \leq k)$
- **错误做法:** 将泊松可加性应用于非独立区间，或进行错误的缩放
  - 原因: 可加性仅在区间独立且事件速率在所有区间中恒定时成立
  - 正确做法: 仅当区间完全相同、相互独立且平均速率在区间之间没有变化时，才对λ进行缩放
- **错误做法:** 混淆二项分布和泊松分布的方差公式
  - 原因: 方差计算错误会导致近似或后续问题的参数值错误
  - 正确做法: 记住：二项分布方差 = $np(1-p)$，泊松分布方差 = $\lambda =$ 均值；如果不确定可以查阅公式手册核对
- **错误做法:** 当p很大（例如p=0.8）时，使用泊松近似二项分布
  - 原因: 泊松近似仅对小p有效；大p的情况需要使用正态近似（S2的另一个独立主题）
  - 正确做法: 根据Edexcel考试指南，仅当$p \leq 0.1$且$n \geq 50$时使用泊松近似

## 速查表

| 概念 | 记号 / 公式 | 关键条件 / 说明 |
| --- | --- | --- |
| 二项分布 | $X \sim B(n,p)$; $E(X)=np$, $Var(X)=np(1-p)$ | 固定n次试验、试验独立、两种结果、p恒定；使用表格查询累积概率 |
| 泊松分布 | $X \sim Po(\lambda)$; $E(X)=Var(X)=\lambda$ | 事件独立、速率恒定、无同时发生的事件；使用表格查询累积概率 |
| 泊松可加性 | k个区间的速率 = $k\lambda$，$X \sim Po(k\lambda)$ | 仅适用于独立、相同且速率恒定的区间 |
| 二项分布的泊松近似 | $\lambda = np$，$X \approx Po(np)$ | 当$n \geq 50$、$p \leq 0.1$时有效；简化大n小p二项分布的计算 |

## 下一步

现在你已经掌握了Edexcel IAL S2中的二项分布和泊松分布，你可以继续学习基于这些核心概率模型的更高级统计学主题。S2中的下一个关键主题是连续概率分布，包括正态分布，你将在后续单元中使用它进行近似和假设检验。你还将在S2第4节中将这些离散分布模型应用于二项分布和泊松分布参数的假设检验，学习如何检验关于总体比例和事件速率的假设。请务必练习本主题相关的历年真题，熟悉Edexcel的考试措辞和评分标准要求，尤其是要求你评价模型适用性的题目，这类题目通常分值较高。练习时不要忘记使用提供的公式手册和统计表格，模拟真实考试环境。

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