# 连续随机变量（Edexcel IAL 数学 S2）

> 数学 · Edexcel IAL S2
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-s2-continuous-random-variables/

本指南涵盖Edexcel IAL 数学S2中连续随机变量的所有核心内容，包括pdf/CDF运算、均值、方差、中位数、众数和四分位数的多项式与分段函数计算。

**先修:** [多项式函数的积分](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-p1-integration-polynomials/); [基础求导法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-p1-differentiation/); [S1中的基础概率概念](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-s1-probability-basics/)

## 学习目标

- 定义连续随机变量，区分其与离散随机变量的差异
- 理解并运用概率密度函数（pdf）和累积分布函数（CDF）
- 通过积分和求导掌握pdf与CDF之间的转换关系
- 计算连续随机变量的均值、方差以及其线性函数的期望
- 针对多项式或分段pdf的连续分布，求解众数、中位数、四分位数和百分位数

## 连续随机变量的定义与核心性质

**连续随机变量（CRV）** — 可以在连续的可能结果范围内取任意值，而非离散独立值的随机变量。概率通过其概率密度函数下的面积计算。

和S1中介绍的离散随机变量不同，连续随机变量$X$取单个精确值的概率$P(X=a)$恒为0，因此对所有$a < b$都有$P(a < X < b) = P(a \leq X \leq b) = P(a < X \leq b) = P(a \leq X < b)$。

> **note**
>
> 本单元中你只会遇到简单多项式或分段多项式组合形式的pdf，指数分布这类非多项式函数不在Edexcel IAL S2的考察范围内。

**例题:** 判断以下每个变量是否为合法的连续随机变量：(a) 随机选取的一名17岁学生的身高，(b) 抛掷一枚公平硬币10次得到的正面朝上次数，(c) 一名跑步者完成5公里赛跑的耗时。

1. (a) 身高可以在连续范围内取任意值（例如165.3cm、165.34cm），因此这是一个连续随机变量。
2. (b) 正面朝上的次数只能取0到10之间的整数值，因此这是离散随机变量，不是连续的。
3. (c) 赛跑耗时可以取任意正实数值，因此这是一个连续随机变量。

> **考试提示:** 如果考题要求你计算连续随机变量的$P(X=k)$，你可以直接写出答案0，无需任何计算。

## 概率密度函数（pdf）与累积分布函数（CDF）

**概率密度函数（pdf, $f(x)$）** — 用于计算连续随机变量概率的函数，满足两个核心条件：1. 对所有实数$x$都有$f(x) \geq 0$，2. 全实数域上曲线下的总面积等于1：$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = 1$。

区间概率通过对pdf在该区间上积分计算：$P(a < X \leq b) = \int_a^b f(x) dx$。

**累积分布函数（CDF, $F(x)$）** — 给出$X$取值小于等于$x_0$的概率的函数：$F(x_0) = P(X \leq x_0) = \int_{-\infty}^{x_0} f(t) dt$。它是一个非递减函数，满足$F(-\infty)=0$和$F(+\infty)=1$。

pdf和CDF通过求导直接关联：$f(x) = \frac{dF(x)}{dx}$。这一关系让你可以根据需要在两种表示形式之间转换。

**例题:** 连续随机变量$X$的pdf为$f(x) = \begin{cases} kx(2-x) & 0 \leq x \leq 2 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$。(a) 求常数$k$的值。(b) 计算$P(0.5 < X < 1.5)$。(c) 求CDF $F(x)$。

1. (a) 使用pdf的总面积条件：
2. $$\int_0^2 kx(2-x) dx = k \int_0^2 (2x - x^2) dx = k \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = k \left(4 - \frac{8}{3}\right) = k \cdot \frac{4}{3} = 1$$
3. 求解$k$：$k = \frac{3}{4}$。
4. (b) 在区间[0.5, 1.5]上对pdf积分：
5. $$P(0.5 < X < 1.5) = \frac{3}{4} \int_{0.5}^{1.5} (2x - x^2) dx = \frac{3}{4} \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0.5}^{1.5}$$
6. $$= \frac{3}{4} \left( \left(2.25 - 1.125\right) - \left(0.25 - 0.0417\right) \right) = \frac{3}{4} \times 0.9167 = 0.6875 = \frac{11}{16}$$
7. (c) 将CDF拆分为三个区间：<0、0≤x≤2、>2。当$x < 0$时，$F(x)=0$。当$x>2$时，$F(x)=1$。当$0 \leq x \leq 2$时：
8. $$F(x) = \frac{3}{4} \int_0^x (2t - t^2) dt = \frac{3}{4} \left[ t^2 - \frac{t^3}{3} \right]_0^x = \frac{3x^2 - x^3}{4}$$
9. 最终CDF：$F(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ \frac{3x^2 - x^3}{4} & 0 \leq x \leq 2 \\ 1 & x > 2 \end{cases}$

> **考试提示:** 一定要检查分段区间边界处的CDF是否连续。CDF出现不连续说明积分存在错误，考试中你会因此失分。

*计算器:* allowed

## 连续随机变量的均值与方差

连续随机变量的期望（均值）和方差使用公式手册中给出的公式，通过对pdf积分计算。方差的计算公式使用$Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$，和离散随机变量的公式一致。

**连续随机变量的期望与方差** — 均值：$\mu = E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx$。$X$的函数的期望：$E(g(X)) = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x) f(x) dx$。方差：$\sigma^2 = Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f(x) dx - \mu^2$。

**例题:** 使用上一个例题中的pdf（$f(x) = \frac{3}{4}x(2-x)$，$0 \leq x \leq 2$），计算(a) $E(X)$，(b) $E(3X + 2)$，(c) $Var(X)$。

1. (a) 计算E(X)：
2. $$E(X) = \int_0^2 x \cdot \frac{3}{4}(2x - x^2) dx = \frac{3}{4} \int_0^2 (2x^2 - x^3) dx = \frac{3}{4} \left[ \frac{2x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]_0^2$$
3. $$= \frac{3}{4} \left( \frac{16}{3} - 4 \right) = \frac{3}{4} \times \frac{4}{3} = 1$$
4. (b) 使用期望的线性性质：$E(aX + b) = aE(X) + b$。因此$E(3X + 2) = 3E(X) + 2 = 3(1) + 2 = 5$。
5. (c) 首先计算E(X²)：
6. $$E(X^2) = \int_0^2 x^2 \cdot \frac{3}{4}(2x - x^2) dx = \frac{3}{4} \int_0^2 (2x^3 - x^4) dx = \frac{3}{4} \left[ \frac{x^4}{2} - \frac{x^5}{5} \right]_0^2$$
7. $$= \frac{3}{4} \left( 8 - 6.4 \right) = \frac{3}{4} \times 1.6 = 1.2 = \frac{6}{5}$$
8. 然后Var(X) = E(X²) - [E(X)]² = $\frac{6}{5} - 1^2 = \frac{1}{5} = 0.2$

> **考试提示:** 期望的线性性质对随机变量的所有线性组合都成立，因此你不需要为$E(2X + 5)$这类函数重新积分：使用该性质可以在考试中节省时间。

*计算器:* allowed

## 众数、中位数与四分位数

连续随机变量的位置度量包括众数、中位数和四分位数，各自使用不同的规则通过pdf或CDF计算，详情如下。

**连续随机变量的位置度量** — 众数：$x$取使得$f(x)$达到最大值的取值。中位数：满足$F(m) = 0.5$的$m$值。下四分位数$Q_1$：满足$F(Q_1) = 0.25$的值。上四分位数$Q_3$：满足$F(Q_3) = 0.75$的值。任意百分位数$p$是满足$F(x_p) = p/100$的$x_p$值。

> **tip**
>
> 求众数时，首先检查pdf在定义域上是递增还是递减：如果是，众数就位于区间的边界处。对于二次或更高次函数，对$f(x)$求导并令导数为零找到驻点，再确认该点是最大值点。

**例题:** 使用和之前例题相同的pdf和CDF，求(a) $X$的众数，(b) $X$的中位数，(c) 上四分位数$Q_3$。

1. (a) 求$f(x) = \frac{3}{4}(2x - x^2)$在$0 \leq x \leq 2$上的最大值。对$f(x)$关于$x$求导：
2. $$f'(x) = \frac{3}{4}(2 - 2x) = \frac{3}{2}(1 - x)$$
3. 令导数等于零：$1 - x = 0 \implies x = 1$。检查二阶导数为负（确认是最大值）：$f''(x) = -\frac{3}{2} < 0$。因此众数为1。
4. (b) 中位数$m$满足$F(m) = 0.5$。使用之前得到的CDF：
5. $$\frac{3m^2 - m^3}{4} = 0.5 \implies 3m^2 - m^3 = 2 \implies m^3 - 3m^2 + 2 = 0$$
6. 对三次方程因式分解：$m=1$是根，因此分解为$(m - 1)(m^2 - 2m - 2) = 0$。只有$m=1$位于区间[0,2]内，因此中位数为1。
7. (c) 上四分位数$Q_3$满足$F(Q_3) = 0.75$：
8. $$\frac{3Q_3^2 - Q_3^3}{4} = 0.75 \implies 3Q_3^2 - Q_3^3 = 3 \implies Q_3^3 - 3Q_3^2 + 3 = 0$$
9. 数值求解（允许使用计算器）：$Q_3 \approx 1.35$（保留两位小数）。

> **考试提示:** 求解中位数/四分位数对应的三次方程时，首先测试分布定义域内的整数值，它们通常是方程的根。如果不是，使用试位法或计算器的方程求解器达到要求的精度即可。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 误以为pdf的取值不能大于1，将其直接当作概率处理
  - 原因: pdf衡量的是密度而非概率。只有pdf下的总面积等于1，当分布集中在很窄的区间上时，单个点的取值可以大于1。
  - 正确做法: 通过检查曲线下的总面积是否等于1来验证pdf的合法性，而不是检查单个$f(x)$的取值。
- **错误做法:** 计算分段pdf的CDF时忘记累加之前区间的累积概率
  - 原因: CDF累加了所有小于$x$的概率，跳过之前的区间会得到不连续的错误CDF。
  - 正确做法: 对于分段pdf，将$F(x)$计算为所有左侧区间的总面积加上当前区间从起点到$x$的积分之和。
- **错误做法:** 将方差计算为$E(X^2)$而非$E(X^2) - (E(X))^2$
  - 原因: 方差衡量的是围绕均值的离散程度，因此必须减去均值的平方才能得到正确结果。
  - 正确做法: 代入数值之前先写出完整的方差公式，避免漏掉相减的步骤。
- **错误做法:** 求中位数时令$f(m) = 0.5$，错误使用pdf而非CDF
  - 原因: 中位数是下方累积概率为50%的点，由CDF定义，和pdf的高度无关。
  - 正确做法: 求中位数、四分位数和百分位数时始终使用CDF，令$F(x) = p$得到所需的累积概率$p$。
- **错误做法:** 将连续随机变量的$P(X=a)$计算为非零值
  - 原因: 连续随机变量有无穷多个可能的结果，因此取任意单个精确值的概率都是0。
  - 正确做法: 遇到连续随机变量的$P(X=a)$问题直接回答0，计算区间概率时忽略等号的差异。

## 速查表

| 量 | 公式 | 关键说明 |
| --- | --- | --- |
| $P(a < X \leq b)$ | $\int_a^b f(x) dx$ | 等于$F(b) - F(a)$ |
| CDF $F(x)$ | $\int_{-\infty}^x f(t) dt$ | $F(-\infty)=0$，$F(+\infty)=1$，非递减 |
| 由CDF求pdf | $f(x) = \frac{dF(x)}{dx}$ | 对分段CDF的每个区间分别求导 |
| 均值$E(X)$ | $\int x f(x) dx$ | $E(aX + b) = aE(X) + b$ |
| 方差$Var(X)$ | $\int x^2 f(x) dx - (E(X))^2$ | 公式手册中已给出 |
| 众数 | $f(x)$的最大值 | 检查边界点和驻点 |
| 中位数$m$ | $F(m) = 0.5$ | 使用CDF求解 |
| 四分位数 | $F(Q_1)=0.25$, $F(Q_3)=0.75$ | 必要时使用数值方法 |

## 下一步

掌握连续随机变量之后，你就可以继续学习命名连续分布，首先是连续均匀（矩形）分布，这是Edexcel IAL S2的下一个核心主题。你可以将这里学到的所有技能（pdf/CDF运算、均值、方差、中位数和众数计算）应用到这个标准化分布上，之后再学习本单元后续的假设检验和抽样分布内容。确保你练习足够多的过往真题，因为该知识点经常作为独立的8-12分大题考察，也经常和S2其他知识点结合出现在考试后半部分。要特别注意分段函数，Edexcel IAL S2试卷中超过70%的连续随机变量相关题目都涉及分段函数。

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