连续分布（S2）

Edexcel 国际 A-Level 数学· 2018 Issue 3 S2 §3.1, §3.2· 25 分钟阅读

1. 1. 连续均匀（矩形）分布★★☆☆☆⏱ 8 min

✓ 计算器

📘 定义

连续均匀分布

$X \sim U (a, b)$

一种连续分布，区间 $[a, b]$ 内的所有取值发生的概率均等，其概率密度函数为常数：当 $a \leq x \leq b$ 时 $f (x) = \frac{1}{b - a}$ ，其余情况为0。

🔬 推导

目标:

推导 $X \sim U (a, b)$ 的累积分布函数、均值与方差

起点:

概率密度函数 $f (x) = \frac{1}{b - a}$ ，其中 $a \leq x \leq b$

1
1. 累积分布函数计算：将概率密度函数从 $a$ 积分到 $x$ ，其中 $a \leq x \leq b$ ：
$F(x) = \int_a^x \frac{1}{b-a} dt = \frac{x - a}{b - a}$
2
1. 均值计算：使用公式 $E [X] = \int_{a}^{b} x f (x) d x$
$E[X] = \int_a^b \frac{x}{b-a} dx = \frac{1}{b-a} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_a^b = \frac{b^2 - a^2}{2(b-a)} = \frac{a + b}{2}$
3
1. 方差计算：使用公式 $V a r (X) = E [X^{2}] - (E [X])^{2}$ ，首先计算 $E [X^{2}]$
$E[X^2] = \int_a^b \frac{x^2}{b-a} dx = \frac{1}{b-a} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_a^b = \frac{b^3 - a^3}{3(b-a)} = \frac{a^2 + ab + b^2}{3}$
4
减去 $(E [X])^{2} = (\frac{a + b}{2})^{2}$ ：
$Var(X) = \frac{a^2 + ab + b^2}{3} - \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} = \frac{(b - a)^2}{12}$

结果:

$U (a, b)$ 的累积分布函数在 $a \leq x \leq b$ 区间内为 $F (x) = \frac{x - a}{b - a}$ ，均值为 $\frac{a + b}{2}$ ，方差为 $\frac{( b - a ) ^{2}}{12}$ 。

📐 例题

公交车在10:00到10:15之间均匀到达站点，求公交车在10:05到10:12之间到达的概率，以及期望到达时间。

1
步骤1：定义随机变量：令 $X$ 为10:00之后公交车到达的分钟数，则 $X \sim U (0, 15)$
2
步骤2：使用区间长度比计算 $P (5 < X < 12)$ ：
$P(5 < X < 12) = \frac{12 - 5}{15 - 0} = \frac{7}{15} \approx 0.467$
3
步骤3：计算期望到达时间
$E[X] = \frac{0 + 15}{2} = 7.5 \text{ 分钟}$

Exam tip:

考试中可能会明确要求你推导均匀分布的均值/方差，因此即使最终公式在公式手册中给出，你也要牢记积分推导步骤。

2. 2. 二项分布的正态近似★★★☆☆⏱ 8 min

✓ 计算器

📘 定义

二项分布的正态近似

$B (n, p) \approx N (n p, n p (1 - p))$

当二项分布 $X \sim B (n, p)$ 的n足够大，且 $n p$ 和 $n (1 - p)$ 均大于5时，可以用均值和方差与之匹配的正态分布对其进行近似。

📐 例题

将一枚公平的六面骰子投掷120次，使用正态近似求出掷出少于15次六点的概率。

1
步骤1：定义二项随机变量：令 $X$ 为掷出六点的次数，则 $X \sim B (120, 1/6)$
2
步骤2：验证近似条件： $n p = 120 \times 1/6 = 20 > 5$ ， $n (1 - p) = 100 > 5$ ，因此近似有效
3
步骤3：给出正态近似参数：均值 $μ = 20$ ，方差 $σ^{2} = 120 \times 1/6 \times 5/6 = 100/6 \approx 16.6667$ ，因此 $X \approx N (20, 16.6667)$
4
步骤4：对 $P (X < 15)$ 应用连续性校正：离散的 $X < 15$ 对应连续尺度下的 $X < 14.5$
5
步骤5：计算z值：
$z = \frac{14.5 - 20}{\sqrt{16.6667}} = \frac{-5.5}{4.0825} \approx -1.347$
6
步骤6：使用正态分布表求概率： $P (Z < - 1.347) \approx 0.0889$ ，按要求保留三位有效数字。

Exam tip:

Edexcel阅卷官会对遗漏连续性校正的情况大幅扣分，因此在计算z值之前务必再次确认你已经将离散边界调整了±0.5。

3. 3. 泊松分布的正态近似★★★☆☆⏱ 7 min

✓ 计算器

📘 定义

泊松分布的正态近似

$P o (λ) \approx N (λ, λ)$

当泊松分布 $X \sim P o (λ)$ 的均值足够大，满足 $λ > 10$ 时，可以用均值和方差与之匹配的正态分布对其进行近似。

📐 例题

每小时进入咖啡馆的顾客人数服从均值为25的泊松分布，使用正态近似求出一小时内进入的顾客人数超过30的概率。

1
步骤1：定义泊松随机变量：令 $X$ 为每小时的顾客人数，则 $X \sim P o (25)$
2
步骤2：验证近似条件： $λ = 25 > 10$ ，因此近似有效
3
步骤3：给出正态近似参数： $μ = 25$ ， $σ^{2} = 25$ ，因此 $X \approx N (25, 25)$
4
步骤4：对 $P (X > 30)$ 应用连续性校正：离散的 $X > 30$ 对应连续尺度下的 $X > 30.5$
5
步骤5：计算z值：
$z = \frac{30.5 -25}{\sqrt{25}} = \frac{5.5}{5} = 1.1$
6
步骤6：使用正态分布表： $P (Z > 1.1) = 1 - Φ (1.1) = 1 - 0.8643 = 0.1357$ ，四舍五入为0.136（三位有效数字）

Exam tip:

如果题目要求你使用正态近似，除非明确说明，否则你不需要计算精确的泊松/二项分布概率来进行对比。

4. 常见陷阱

错误做法:

题目要求推导连续均匀分布的均值/方差时，直接引用公式而不进行推导。

原因:

考纲明确要求你展示从基本原理出发的推导过程，仅直接给出公式无法获得满分。

正确做法:

当题目要求推导时，完整写出计算E[X]和Var(X)的全部积分步骤。

错误做法:

当np或n(1-p)小于5时，仍然对二项分布应用正态近似。

原因:

对于小样本量，该近似不成立，会导致概率计算结果出现很大误差。

正确做法:

使用正态近似处理二项分布之前，务必确认np和n(1-p)都大于5。

错误做法:

近似离散分布时遗漏连续性校正。

原因:

正态分布是连续分布，离散边界值需要调整才能与连续尺度对齐，遗漏这一步会得到错误的概率结果并丢失分数。

正确做法:

对所有离散边界进行±0.5的调整：例如 $P (X \leq 10)$ 变为 $P (X \leq 10.5)$ ， $P (X > 7)$ 变为 $P (X > 7.5)$ 。

错误做法:

在正态分布记号中使用标准差而非方差作为第二个参数。

原因:

Edexcel IAL使用 $N (μ, σ^{2})$ 的记号，写成 $N (μ, σ)$ 会被判定为错误。

正确做法:

给出近似结果时，始终将正态分布的参数写为（均值，方差）的形式。

错误做法:

在连续均匀分布问题中使用连续性校正。

原因:

连续均匀分布本身就是连续分布，不需要对边界值进行调整。

正确做法:

只有当你从离散分布（二项/泊松）转换到连续分布（正态）时，才需要应用连续性校正。

5. 速查表

分布类型	记号	均值	方差	核心规则
连续均匀分布	$U (a, b)$	$\frac{a + b}{2}$	$\frac{( b - a ) ^{2}}{12}$	通过积分推导累积分布函数/均值/方差，不需要连续性校正
二项分布的正态近似	$B (n, p) \approx N (n p, n p (1 - p))$	$n p$	$n p (1 - p)$	当 $n p > 5$ 且 $n (1 - p) > 5$ 时有效，应用连续性校正
泊松分布的正态近似	$P o (λ) \approx N (λ, λ)$	$λ$	$λ$	当 $λ > 10$ 时有效，应用连续性校正

6. 常见问题

进行正态近似时，什么时候需要使用连续性校正？

每次使用连续的正态分布近似离散分布（二项分布或泊松分布）时都必须使用连续性校正，将离散边界调整±0.5以匹配连续尺度。

我需要背诵连续均匀分布的均值和方差公式吗？

这些公式在官方公式手册中会给出，但根据S2考纲要求，你必须能够从基本原理出发推导它们。

深入阅读

formula_bookEdexcel IAL 数学公式与统计表所有S2考试中均会提供

下一步

在掌握S2的连续分布知识点后，你可以继续学习离散与连续分布的假设检验，这是Edexcel IAL S2考纲中的下一个核心主题。后续的假设检验题目中也会用到这些正态近似技巧，因此在继续学习之前请确保你已经熟练掌握连续性校正和参数匹配方法。如果你需要复习前置知识点，可以先回顾S1正态分布或S2离散概率分布的内容。