正态分布

Q: 我需要背诵正态分布的概率密度函数吗？

不需要，Edexcel IAL S1不考察正态分布的概率密度函数，你只需要使用提供的累积分布函数表格进行运算即可。

Q: 我需要从Φ(z)表格中做插值计算吗？

不需要，Edexcel明确规定S1阶段不要求插值。使用最接近的表格值即可，逆运算时使用百分点表。

Edexcel 国际A-Level 数学· S1 §6.1· 60 分钟阅读

1. 正态分布的核心性质★★☆☆☆⏱ 10 min

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📘 定义

正态分布

X \sim N(\mu, \sigma^2)

一种连续概率分布，具有对称的钟形曲线，以均值 $μ$ 为中心，离散程度由方差 $σ^{2}$ 决定。

例:

成年女性的身高通常被建模为 $N (165, 7^{2})$ 厘米。

正态曲线关于 $μ$ 完全对称，因此 $P (X < μ) = P (X > μ) = 0.5$ ，对于任意正数 $a$ ，都有 $P (X < μ - a) = P (X > μ + a)$ 。S1阶段你不需要掌握概率密度函数的公式。

📐 例题

写出正态分布曲线的两个核心性质。

1
曲线关于均值 $μ$ 对称，均值两侧的概率各占一半。
2
曲线下的总面积等于1，代表所有可能结果的总概率。

2. 标准化与概率计算★★★☆☆⏱ 15 min

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📘 定义

标准正态分布

Z \sim N(0, 1)

均值为0、方差为1的正态分布，可通过公式 $Z = (X - μ) / σ$ 将任意正态变量 $X \sim N (μ, σ^{2})$ 标准化。

$Z$ 的累积分布函数记为 $Φ (z) = P (Z \leq z)$ ，其数值可在你的公式手册中查到。对于任意给定的正态变量，先将其转换为 $Z$ 再查表得到概率。

📐 例题

已知 $X \sim N (50, 4^{2})$ ，计算 $P (X \leq 54.2)$ ，结果保留4位小数。

1
首先使用标准化公式将X=54.2标准化：
2
$Z = \frac{54.2 - 50}{4} = 1.05$
3
在标准正态表中查找 $Φ (1.05)$ ，得到数值0.8531。
4
因此 $P (X \leq 54.2) = 0.8531$ ，按要求保留4位小数。

📐 例题

已知 $X \sim N (80, 3^{2})$ ，求满足 $P (X > k) = 0.05$ 的 $k$ 值，结果保留3位有效数字。

1
将概率转换为 $Z$ 的形式： $P (Z > (k - 80) /3) = 0.05$
2
在百分点表中查找对应5%上尾概率的z值，得到1.6449。
3
$\frac{k - 80}{3} = 1.6449$
4
$k = 80 + 3 \times 1.6449 = 84.9347 \approx 84.9$

3. 求解未知的 $μ$ 和 $σ$★★★★☆⏱ 20 min

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考试题通常会给出关于正态变量的两个概率条件，其中 $μ$ 和/或 $σ$ 未知。你需要将这些条件转换为标准正态形式，然后求解得到的联立方程，得到未知参数。

📐 例题

随机变量 $X$ 服从正态分布，已知 $P (X < 72) = 0.8643$ 且 $P (X < 57) = 0.1151$ ，求 $μ$ 和 $σ$ 的值，结果保留3位有效数字。

1
首先从标准正态表中找到对应的z值： $Φ (1.1) = 0.8643$ ， $Φ (- 1.2) = 0.1151$ 。
2
$\frac{72 - \mu}{\sigma} = 1.1 \quad (1)$
3
$\frac{57 - \mu}{\sigma} = -1.2 \quad (2)$
4
用方程(1)减去方程(2)消去 $μ$ ：
5
$\frac{15}{\sigma} = 2.3 \implies \sigma = \frac{15}{2.3} \approx 6.52$
6
将 $σ \approx 6.52$ 代回方程(1)求解 $μ$ ：
7
$72 - \mu = 1.1 \times 6.52 \approx 7.17 \implies \mu \approx 64.8$
8
将结果代回原始概率条件进行校验，确认数值与给定值匹配。

4. 完整考试题型分步解析★★★★☆⏱ 15 min

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📐 例题

学生完成数学测试的时间服从正态分布，均值为 $μ$ 分钟，标准差为8分钟。已知20%的学生在40分钟内完成测试，求(a) $μ$ 的值，(b) 用时超过60分钟完成测试的学生占比。所有结果保留3位有效数字。

1
令 $T =$ 完成测试的用时，因此 $T \sim N (μ, 8^{2})$ 。
2
第(a)问：已知 $P (T < 40) = 0.2$ ，从百分点表中查得对应下尾概率0.2的z值为-0.8416。
3
$\frac{40 - \mu}{8} = -0.8416 \implies 40 - \mu = -6.7328 \implies \mu \approx 46.7$
4
第(b)问：代入 $μ = 46.7$ 计算 $P (T > 60)$ ：
5
$Z = \frac{60 - 46.7}{8} \approx 1.6625$
6
从标准正态表中查得 $Φ (1.66) = 0.9515$ ，因此 $P (Z > 1.6625) \approx 1 - 0.9515 = 0.0485$ 。
7
转换为百分比： $0.0485 \times 100 = 4.85$ 的学生用时超过60分钟。

5. 常见陷阱

错误做法:

在标准化公式中使用方差 $σ^{2}$ 而不是标准差 $σ$

原因:

正态分布的记法 $X \sim N (μ, σ^{2})$ 将方差作为第二个参数，学生经常混淆方差和标准差。

正确做法:

在代入 $Z = (X - μ) / σ$ 公式之前，务必先对给定的方差开平方。

错误做法:

S1题目中对 $Φ (z)$ 表格的数值做插值计算

原因:

Edexcel明确规定S1阶段不要求插值，使用最接近的表格值即可得满分。

正确做法:

使用最接近的表格 $Φ (z)$ 值，逆正态计算时使用百分点表。

错误做法:

处理小于0.5的下尾概率时忘记使用对称性

原因:

标准正态表只列出正z值，因此负z值需要使用性质 $Φ (- z) = 1 - Φ (z)$ 。

正确做法:

概率小于0.5时使用负z值，应用对称性规则查表。

错误做法:

建立求解未知 $μ$ 和 $σ$ 的方程时z值符号错误

原因:

如果X值小于均值，对应的z值为负，学生经常误写为正值。

正确做法:

检查给定的X值是大于还是小于预期均值，确保z值的符号和该关系匹配。

错误做法:

过早对中间计算结果取整

原因:

过早取整会导致最终答案不准确，在考试中丢失精度分。

正确做法:

所有中间z值和计算过程至少保留4位小数，仅在最终答案处按要求保留3位有效数字或4位小数。

6. 速查表

任务	公式 / 方法	考试注意事项
对 $X \sim N (μ, σ^{2})$ 计算 $P (X \leq a)$	$Z = (a - μ) / σ$ ，查表得到 $Φ (Z)$	最终概率保留4位小数
计算 $P (X > a)$	$1 - Φ ((a - μ) / σ)$	利用对称性处理左右尾概率
已知 $P (X \leq a) = p$ 求 $a$	从百分点表查z值， $a = μ + z σ$	$p < 0.5$ 时使用负z值
求解未知 $μ$ 和 $σ$	建立两个标准正态方程，联立求解	代回结果进行校验
标准记法	$X \sim N (μ, σ^{2})$	第二个参数是方差，不是标准差

7. 常见问题

我需要背诵正态分布的概率密度函数吗？

不需要，Edexcel IAL S1不考察正态分布的概率密度函数，你只需要使用提供的累积分布函数表格进行运算即可。

我需要从Φ(z)表格中做插值计算吗？

不需要，Edexcel明确规定S1阶段不要求插值。使用最接近的表格值即可，逆运算时使用百分点表。

深入阅读

official_documentEdexcel IAL 数学公式与表格手册所有S1考试均允许使用

下一步

在掌握Edexcel IAL S1的正态分布内容后，你可以开始练习完整的真题来巩固技能。注意正态分布对二项/泊松分布的近似、正态变量的线性组合不属于S1大纲内容，将在后续S2和S3单元分别讲解。确保你能熟练使用Edexcel统计表格且不做插值，这是IAS考试的明确要求。标准化和联立方程的所有步骤都要写全，拿到全部步骤分。