# 正态分布

> Edexcel 国际A-Level 数学 · Edexcel IAL 数学 S1 2018
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-s1-the-normal-distribution/

本指南涵盖Edexcel IAL S1中所有正态分布相关内容，包括使用标准化方法计算概率、使用提供的统计表格、以及通过联立方程求解未知均值和标准差。

**先修:** [能够整理代数方程并求解二元一次联立方程](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-gcse-maths-algebra-simultaneous-equations/); [理解基础概率和累积分布函数的概念](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-maths-s1-probability-distributions/)

## 学习目标

- 回忆正态分布的对称性、均值和方差性质
- 使用 $Z=(X-μ)/σ$ 对正态变量进行标准化，利用提供的统计表格计算概率
- 建立并求解联立方程，从两个概率条件中求出未知的 $μ$ 和/或 $σ$

## 正态分布的核心性质

**正态分布** — 一种连续概率分布，具有对称的钟形曲线，以均值 $μ$ 为中心，离散程度由方差 $σ^2$ 决定。

*记法:* X \sim N(\mu, \sigma^2)

*例:* 成年女性的身高通常被建模为 $N(165, 7^2)$ 厘米。

正态曲线关于 $μ$ 完全对称，因此 $P(X < μ) = P(X > μ) = 0.5$，对于任意正数 $a$，都有 $P(X < μ - a) = P(X > μ + a)$。S1阶段你不需要掌握概率密度函数的公式。

> **考试说明**
>
> S1中所有正态分布题目都允许使用计算器（不允许CAS计算器），默认你可以使用提供的Edexcel数学公式与统计表格手册。

**例题:** 写出正态分布曲线的两个核心性质。

1. 曲线关于均值 $μ$ 对称，均值两侧的概率各占一半。
2. 曲线下的总面积等于1，代表所有可能结果的总概率。

*计算器:* allowed

## 标准化与概率计算

**标准正态分布** — 均值为0、方差为1的正态分布，可通过公式 $Z = (X - μ)/σ$ 将任意正态变量 $X \sim N(μ, σ^2)$ 标准化。

*记法:* Z \sim N(0, 1)

$Z$ 的累积分布函数记为 $Φ(z) = P(Z \leq z)$，其数值可在你的公式手册中查到。对于任意给定的正态变量，先将其转换为 $Z$ 再查表得到概率。

**例题:** 已知 $X \sim N(50, 4^2)$，计算 $P(X \leq 54.2)$，结果保留4位小数。

1. 首先使用标准化公式将X=54.2标准化：
2. $$Z = \frac{54.2 - 50}{4} = 1.05$$
3. 在标准正态表中查找 $Φ(1.05)$，得到数值0.8531。
4. 因此 $P(X \leq 54.2) = 0.8531$，按要求保留4位小数。

> **tip**
>
> 计算 $P(X > a)$ 时使用 $1 - Φ((a - μ)/σ)$。计算 $P(a < X < b)$ 时，计算 $Φ((b - μ)/σ) - Φ((a - μ)/σ)$。

**例题:** 已知 $X \sim N(80, 3^2)$，求满足 $P(X > k) = 0.05$ 的 $k$ 值，结果保留3位有效数字。

1. 将概率转换为 $Z$ 的形式：$P(Z > (k - 80)/3) = 0.05$
2. 在百分点表中查找对应5%上尾概率的z值，得到1.6449。
3. $$\frac{k - 80}{3} = 1.6449$$
4. $$k = 80 + 3 \times 1.6449 = 84.9347 \approx 84.9$$

*计算器:* allowed

## 求解未知的 $μ$ 和 $σ$

考试题通常会给出关于正态变量的两个概率条件，其中 $μ$ 和/或 $σ$ 未知。你需要将这些条件转换为标准正态形式，然后求解得到的联立方程，得到未知参数。

**例题:** 随机变量 $X$ 服从正态分布，已知 $P(X < 72) = 0.8643$ 且 $P(X < 57) = 0.1151$，求 $μ$ 和 $σ$ 的值，结果保留3位有效数字。

1. 首先从标准正态表中找到对应的z值：$Φ(1.1) = 0.8643$，$Φ(-1.2) = 0.1151$。
2. $$\frac{72 - \mu}{\sigma} = 1.1 \quad (1)$$
3. $$\frac{57 - \mu}{\sigma} = -1.2 \quad (2)$$
4. 用方程(1)减去方程(2)消去 $μ$：
5. $$\frac{15}{\sigma} = 2.3 \implies \sigma = \frac{15}{2.3} \approx 6.52$$
6. 将 $σ \approx 6.52$ 代回方程(1)求解 $μ$：
7. $$72 - \mu = 1.1 \times 6.52 \approx 7.17 \implies \mu \approx 64.8$$
8. 将结果代回原始概率条件进行校验，确认数值与给定值匹配。

> **考试提示**
>
> 联立方程的每一步运算都要写出来，即使最终答案错误，步骤分也会正常给分。

*计算器:* allowed

## 完整考试题型分步解析

**例题:** 学生完成数学测试的时间服从正态分布，均值为 $μ$ 分钟，标准差为8分钟。已知20%的学生在40分钟内完成测试，求(a) $μ$ 的值，(b) 用时超过60分钟完成测试的学生占比。所有结果保留3位有效数字。

1. 令 $T = $ 完成测试的用时，因此 $T \sim N(μ, 8^2)$。
2. 第(a)问：已知 $P(T < 40) = 0.2$，从百分点表中查得对应下尾概率0.2的z值为-0.8416。
3. $$\frac{40 - \mu}{8} = -0.8416 \implies 40 - \mu = -6.7328 \implies \mu \approx 46.7$$
4. 第(b)问：代入 $μ = 46.7$ 计算 $P(T > 60)$：
5. $$Z = \frac{60 - 46.7}{8} \approx 1.6625$$
6. 从标准正态表中查得 $Φ(1.66) = 0.9515$，因此 $P(Z > 1.6625) \approx 1 - 0.9515 = 0.0485$。
7. 转换为百分比：$0.0485 \times 100 = 4.85% \approx 4.9%$ 的学生用时超过60分钟。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 在标准化公式中使用方差 $σ^2$ 而不是标准差 $σ$
  - 原因: 正态分布的记法 $X \sim N(μ, σ^2)$ 将方差作为第二个参数，学生经常混淆方差和标准差。
  - 正确做法: 在代入 $Z=(X-μ)/σ$ 公式之前，务必先对给定的方差开平方。
- **错误做法:** S1题目中对 $Φ(z)$ 表格的数值做插值计算
  - 原因: Edexcel明确规定S1阶段不要求插值，使用最接近的表格值即可得满分。
  - 正确做法: 使用最接近的表格 $Φ(z)$ 值，逆正态计算时使用百分点表。
- **错误做法:** 处理小于0.5的下尾概率时忘记使用对称性
  - 原因: 标准正态表只列出正z值，因此负z值需要使用性质 $Φ(-z) = 1 - Φ(z)$。
  - 正确做法: 概率小于0.5时使用负z值，应用对称性规则查表。
- **错误做法:** 建立求解未知 $μ$ 和 $σ$ 的方程时z值符号错误
  - 原因: 如果X值小于均值，对应的z值为负，学生经常误写为正值。
  - 正确做法: 检查给定的X值是大于还是小于预期均值，确保z值的符号和该关系匹配。
- **错误做法:** 过早对中间计算结果取整
  - 原因: 过早取整会导致最终答案不准确，在考试中丢失精度分。
  - 正确做法: 所有中间z值和计算过程至少保留4位小数，仅在最终答案处按要求保留3位有效数字或4位小数。

## 速查表

| 任务 | 公式 / 方法 | 考试注意事项 |
| --- | --- | --- |
| 对 $X \sim N(μ, σ^2)$ 计算 $P(X \leq a)$ | $Z = (a - μ)/σ$，查表得到 $Φ(Z)$ | 最终概率保留4位小数 |
| 计算 $P(X > a)$ | $1 - Φ((a - μ)/σ)$ | 利用对称性处理左右尾概率 |
| 已知 $P(X \leq a) = p$ 求 $a$ | 从百分点表查z值，$a = μ + zσ$ | $p < 0.5$ 时使用负z值 |
| 求解未知 $μ$ 和 $σ$ | 建立两个标准正态方程，联立求解 | 代回结果进行校验 |
| 标准记法 | $X \sim N(μ, σ^2)$ | 第二个参数是方差，不是标准差 |

## 下一步

在掌握Edexcel IAL S1的正态分布内容后，你可以开始练习完整的真题来巩固技能。注意正态分布对二项/泊松分布的近似、正态变量的线性组合不属于S1大纲内容，将在后续S2和S3单元分别讲解。确保你能熟练使用Edexcel统计表格且不做插值，这是IAS考试的明确要求。标准化和联立方程的所有步骤都要写全，拿到全部步骤分。

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