概率

Q: S1考试中我能拿到哪些概率公式？

加法法则 和条件概率法则 会印在公式手册中。你必须熟记对立概率法则 和独立事件乘法法则 。

Edexcel 国际 A-Level 数学· 2018 Specification (Issue 3) S1 §3.1-3.4· 75 分钟阅读

1. 核心概率规则与事件分类★★☆☆☆⏱ 15 min

✓ 计算器

📘 定义

样本空间

概率实验所有等可能结果构成的完整集合

例:

抛掷一枚公平的6面骰子，样本空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}

事件 $A$ 的对立事件写作 $A^{'}$ ，代表所有 $A$ 不发生的结果构成的集合。规则 $P (A^{'}) = 1 - P (A)$ 需要你熟记，它不会印在公式手册中。互斥事件无法同时发生，因此这类事件满足 $P (A \cap B) = 0$ 。

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

上述加法法则会印在你的公式手册中。对于互斥事件，由于交事件项为零，公式可简化为 $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ 。

📐 例题

抛掷一枚公平的6面骰子。事件 $A$ =掷出偶数，事件 $B$ =掷出大于4的数。计算(a) $P (A^{'})$ ，(b) $P (A \cup B)$ 。

1
确定样本空间={1,2,3,4,5,6}，所有结果等可能，因此概率=符合条件的结果数/总结果数
2
$P(A) = \frac{3}{6} = 0.5, \text{ 因此 } P(A') = 1 - 0.5 = 0.5$
3
事件 $B$ ={5,6}，因此 $P (B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ 。交事件 $A \cap B$ ={6}，因此 $P (A \cap B) = \frac{1}{6}$
4
$P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

2. 条件概率与独立事件★★★☆☆⏱ 20 min

✓ 计算器

📘 定义

条件概率

$P (B ∣ A)$

已知事件 $A$ 已经发生的前提下，事件 $B$ 发生的概率

例:

已知今天下雨，明天也下雨的概率就是条件概率的一个实例

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

上述公式会印在你的公式手册中。如果一个事件的发生不会改变另一事件的发生概率，则称两个事件相互独立。对于独立事件，以下规则成立（你必须熟记这些规则）：

$P (B ∣ A) = P (B)$
$P (A ∣ B) = P (A)$
$P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$

📐 例题

周一下雨的概率是0.3。如果周一下雨，周二下雨的概率是0.7。如果周一没下雨，周二下雨的概率是0.2。计算 $P (M \cap T)$ （两天都下雨）和 $P (T)$ （周二下雨）。

1
令 $M$ =周一下雨， $T$ =周二下雨。 $P (M) = 0.3$ ，因此 $P (M^{'}) = 1 - 0.3 = 0.7$
2
$P(M \cap T) = P(M) \times P(T|M) = 0.3 \times 0.7 = 0.21$
3
$P(M' \cap T) = P(M') \times P(T|M') = 0.7 \times 0.2 = 0.14$
4
$P(T) = P(M \cap T) + P(M' \cap T) = 0.21 + 0.14 = 0.35$

3. 概率问题中的维恩图★★★☆☆⏱ 15 min

✓ 计算器

维恩图使用矩形（代表完整样本空间）内的圆形来可视化表示最多3个事件的概率。你需要先填写交区域的数值，再填写每个圆的剩余部分，最后填写所有圆之外的区域，代表所有事件并集的对立事件。

📐 例题

50名学生中，22人学习物理，25人学习化学，8人两门科目都不学习。计算随机抽取一名学生同时学习物理和化学的概率。

1
令 $P$ =学习物理， $C$ =学习化学。总学生数=50，两门都不学的人数=8，因此 $n (P \cup C) = 50 - 8 = 42$
2
$n(P \cup C) = n(P) + n(C) - n(P \cap C)$
3
$42 = 22 + 25 - n(P \cap C) \implies n(P \cap C) = 47 - 42 = 5$
4
$\text{概率} = \frac{5}{50} = 0.1$

4. 树状图、有放回与无放回抽样★★★★☆⏱ 20 min

✓ 计算器

树状图展示事件序列，每个分支标注对应的结果和概率。将连通分支上的概率相乘，即可得到完整结果序列的概率。

有放回抽样：每次抽取后将样本放回总体，因此所有抽取相互独立，概率保持不变
无放回抽样：每次抽取后不将样本放回总体，总样本数减少，不同抽取的概率发生变化，事件之间不独立

📐 例题

袋子里有4个红球和6个蓝球。随机抽取两个球。分别计算(a)有放回抽样、(b)无放回抽样时两个球都是红球的概率。

1
(a) 有放回：第一次抽取 $P (红) = \frac{4}{10} = 0.4$ ，第二次抽取 $P (红) = 0.4$ （相互独立）
2
$P(都为红) = 0.4 \times 0.4 = 0.16$
3
(b) 无放回：抽出1个红球后，剩余3个红球和6个蓝球，总共有9个球，因此第二次抽取 $P (红) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
4
$P(都为红) = \frac{4}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15} \approx 0.133$

5. 常见陷阱

错误做法:

对非互斥事件应用加法法则时忘记减去交事件，例如对重叠事件直接使用 $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$

原因:

这会将同时属于两个事件的结果重复计数，经常得到大于1的不可能概率值

正确做法:

除非你已经确认事件是互斥的，否则始终使用完整加法法则 $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

错误做法:

未经验证就假设事件独立，例如对无放回抽样使用 $P (A \cap B) = P (A) P (B)$

原因:

无放回抽样会让事件不独立，因此独立事件法则不适用，会得到错误的概率结果

正确做法:

只有当题目明确说明事件独立，或者你已经通过计算证明事件独立时，才能使用独立事件乘法法则

错误做法:

混淆条件概率的顺序，例如计算 $P (A ∣ B)$ 而不是题目要求的 $P (B ∣ A)$

原因:

条件概率不满足交换律：除非 $P (A) = P (B)$ ，否则 $P (B ∣ A) \neq = P (A ∣ B)$

正确做法:

使用公式 $P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ ，确保作为前提条件的事件出现在分母位置

错误做法:

用事件的总计数标注维恩图，而不是标注仅属于该事件（排除交区域）的结果数

原因:

这会导致跨圆求和时重复计数，最终得到的总计数超过样本空间大小

正确做法:

先填写交区域的数值，再用事件总计数减去交区域数值，得到仅属于该事件的结果数

错误做法:

计算总概率时忘记包含对立事件，例如计算 $P (T)$ 时遗漏 $P (M^{'} \cap T)$

原因:

大多数事件可以在多种场景下发生（例如周二下雨可以发生在周一下雨或者周一不下雨的场景下），遗漏任何场景都会得到不完整的总概率

正确做法:

对对立事件 $A$ 和 $A^{'}$ 使用全概率公式： $P (B) = P (B ∣ A) P (A) + P (B ∣ A^{'}) P (A^{'})$

6. 速查表

规则/概念	公式/要点	是否提供在公式手册中
对立概率	$P (A^{'}) = 1 - P (A)$	否（需熟记）
加法法则	$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$	是
条件概率	$P (A \cap B) = P (A) P (B ∣ A)$	是
互斥事件	$P (A \cap B) = 0$ , $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$	否
独立事件	$P (A \cap B) = P (A) P (B)$ , $P (B ∣ A) = P (B)$	否（需熟记）
有放回抽样	所有抽取独立，概率恒定	否
无放回抽样	抽取不独立，每次抽取概率变化	否

7. 常见问题

S1考试中我能拿到哪些概率公式？

加法法则 $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ 和条件概率法则 $P (A \cap B) = P (A) P (B ∣ A)$ 会印在公式手册中。你必须熟记对立概率法则 $P (A^{'}) = 1 - P (A)$ 和独立事件乘法法则 $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ 。

概率题我可以用树状图或维恩图代替公式解题吗？

可以，只要你的图示标注完整清晰，解题步骤完整可追溯，考官会接受所有S1概率题的图示解法。

有放回抽样和无放回抽样的区别是什么？

有放回抽样时，每次选择都是独立的，所有抽取的概率保持不变。无放回抽样时，每次抽取后总样本数减少，不同抽取的概率会发生变化，事件之间不独立。

深入阅读

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下一步

掌握S1概率之后，你就可以继续学习后续直接基于这些基础技能的S1核心主题了。概率是S1后续所有统计分布（包括离散随机变量和二项分布）的基础。你还会在解释相关和回归结果时用到这些规则，计算观测模式偶然发生的概率。请务必练习融合多个概率概念的完整考试风格题目（例如结合条件概率的维恩图题），为你的IAS考试建立充足信心。