# 概率

> Edexcel 国际 A-Level 数学 · IAL S1
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-s1-probability/

本指南覆盖Edexcel IAL S1（WST01）IAS考试要求的全部概率内容，包括核心概率规则、条件概率、独立性、维恩图/树状图，以及有放回和无放回抽样。

**先修:** 分数、小数和百分比的基础算术运算; 对集合符号（并集、交集、补集）的理解

## 学习目标

- 使用样本空间和对立事件规则计算基础概率
- 对互斥事件、非互斥事件和独立事件应用加法与乘法法则
- 使用给定公式和可视化表示求解条件概率问题
- 构建并解释有放回/无放回抽样的维恩图和树状图

## 核心概率规则与事件分类

**样本空间** — 概率实验所有等可能结果构成的完整集合

*例:* 抛掷一枚公平的6面骰子，样本空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}

事件$A$的对立事件写作$A'$，代表所有$A$不发生的结果构成的集合。规则$P(A') = 1 - P(A)$需要你熟记，它不会印在公式手册中。互斥事件无法同时发生，因此这类事件满足$P(A \cap B) = 0$。

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

上述加法法则会印在你的公式手册中。对于互斥事件，由于交事件项为零，公式可简化为$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$。

**例题:** 抛掷一枚公平的6面骰子。事件$A$=掷出偶数，事件$B$=掷出大于4的数。计算(a) $P(A')$，(b) $P(A \cup B)$。

1. 确定样本空间={1,2,3,4,5,6}，所有结果等可能，因此概率=符合条件的结果数/总结果数
2. $$P(A) = \frac{3}{6} = 0.5, \text{ 因此 } P(A') = 1 - 0.5 = 0.5$$
3. 事件$B$={5,6}，因此$P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$。交事件$A \cap B$={6}，因此$P(A \cap B) = \frac{1}{6}$
4. $$P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

> **考试提示**
>
> 即使题目已经隐含了相关假设，你也要明确写出你做出的所有假设（例如“骰子是公平的，所有结果等可能”），才能拿到全部步骤分。

*计算器:* allowed

## 条件概率与独立事件

**条件概率** — 已知事件$A$已经发生的前提下，事件$B$发生的概率

*记法:* $P(B|A)$

*例:* 已知今天下雨，明天也下雨的概率就是条件概率的一个实例

$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)$$

上述公式会印在你的公式手册中。如果一个事件的发生不会改变另一事件的发生概率，则称两个事件相互独立。对于独立事件，以下规则成立（你必须熟记这些规则）：

- $P(B|A) = P(B)$
- $P(A|B) = P(A)$
- $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

**例题:** 周一下雨的概率是0.3。如果周一下雨，周二下雨的概率是0.7。如果周一没下雨，周二下雨的概率是0.2。计算$P(M \cap T)$（两天都下雨）和$P(T)$（周二下雨）。

1. 令$M$=周一下雨，$T$=周二下雨。$P(M) = 0.3$，因此$P(M') = 1 - 0.3 = 0.7$
2. $$P(M \cap T) = P(M) \times P(T|M) = 0.3 \times 0.7 = 0.21$$
3. $$P(M' \cap T) = P(M') \times P(T|M') = 0.7 \times 0.2 = 0.14$$
4. $$P(T) = P(M \cap T) + P(M' \cap T) = 0.21 + 0.14 = 0.35$$

> **考试提示**
>
> 如果题目要求你证明两个事件相互独立，你需要分别计算$P(A \cap B) = P(A)P(B)$的两边并证明二者相等，不能直接断言事件独立。

*计算器:* allowed

## 概率问题中的维恩图

维恩图使用矩形（代表完整样本空间）内的圆形来可视化表示最多3个事件的概率。你需要先填写交区域的数值，再填写每个圆的剩余部分，最后填写所有圆之外的区域，代表所有事件并集的对立事件。

**例题:** 50名学生中，22人学习物理，25人学习化学，8人两门科目都不学习。计算随机抽取一名学生同时学习物理和化学的概率。

1. 令$P$=学习物理，$C$=学习化学。总学生数=50，两门都不学的人数=8，因此$n(P \cup C) = 50 - 8 = 42$
2. $$n(P \cup C) = n(P) + n(C) - n(P \cap C)$$
3. $$42 = 22 + 25 - n(P \cap C) \implies n(P \cap C) = 47 - 42 = 5$$
4. $$\text{概率} = \frac{5}{50} = 0.1$$

> **考试提示**
>
> 清晰标注维恩图的所有区域，包括所有圆之外的区域数值，方便考官轻松追溯你的解题过程。

*计算器:* allowed

## 树状图、有放回与无放回抽样

树状图展示事件序列，每个分支标注对应的结果和概率。将连通分支上的概率相乘，即可得到完整结果序列的概率。

- **有放回抽样**：每次抽取后将样本放回总体，因此所有抽取相互独立，概率保持不变
- **无放回抽样**：每次抽取后不将样本放回总体，总样本数减少，不同抽取的概率发生变化，事件之间不独立

**例题:** 袋子里有4个红球和6个蓝球。随机抽取两个球。分别计算(a)有放回抽样、(b)无放回抽样时两个球都是红球的概率。

1. (a) 有放回：第一次抽取$P(红) = \frac{4}{10} = 0.4$，第二次抽取$P(红) = 0.4$（相互独立）
2. $$P(都为红) = 0.4 \times 0.4 = 0.16$$
3. (b) 无放回：抽出1个红球后，剩余3个红球和6个蓝球，总共有9个球，因此第二次抽取$P(红) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
4. $$P(都为红) = \frac{4}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15} \approx 0.133$$

> **考试提示**
>
> 对于无放回抽样题目，除非题目另有说明，每次后续抽取都要将总样本数和符合条件的样本数同时减1。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 对非互斥事件应用加法法则时忘记减去交事件，例如对重叠事件直接使用$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
  - 原因: 这会将同时属于两个事件的结果重复计数，经常得到大于1的不可能概率值
  - 正确做法: 除非你已经确认事件是互斥的，否则始终使用完整加法法则$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
- **错误做法:** 未经验证就假设事件独立，例如对无放回抽样使用$P(A \cap B) = P(A)P(B)$
  - 原因: 无放回抽样会让事件不独立，因此独立事件法则不适用，会得到错误的概率结果
  - 正确做法: 只有当题目明确说明事件独立，或者你已经通过计算证明事件独立时，才能使用独立事件乘法法则
- **错误做法:** 混淆条件概率的顺序，例如计算$P(A|B)$而不是题目要求的$P(B|A)$
  - 原因: 条件概率不满足交换律：除非$P(A) = P(B)$，否则$P(B|A) \neq P(A|B)$
  - 正确做法: 使用公式$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$，确保作为前提条件的事件出现在分母位置
- **错误做法:** 用事件的总计数标注维恩图，而不是标注仅属于该事件（排除交区域）的结果数
  - 原因: 这会导致跨圆求和时重复计数，最终得到的总计数超过样本空间大小
  - 正确做法: 先填写交区域的数值，再用事件总计数减去交区域数值，得到仅属于该事件的结果数
- **错误做法:** 计算总概率时忘记包含对立事件，例如计算$P(T)$时遗漏$P(M' \cap T)$
  - 原因: 大多数事件可以在多种场景下发生（例如周二下雨可以发生在周一下雨或者周一不下雨的场景下），遗漏任何场景都会得到不完整的总概率
  - 正确做法: 对对立事件$A$和$A'$使用全概率公式：$P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|A')P(A')$

## 速查表

| 规则/概念 | 公式/要点 | 是否提供在公式手册中 |
| --- | --- | --- |
| 对立概率 | $P(A') = 1 - P(A)$ | 否（需熟记） |
| 加法法则 | $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ | 是 |
| 条件概率 | $P(A \cap B) = P(A)P(B\|A)$ | 是 |
| 互斥事件 | $P(A \cap B) = 0$, $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ | 否 |
| 独立事件 | $P(A \cap B) = P(A)P(B)$, $P(B\|A) = P(B)$ | 否（需熟记） |
| 有放回抽样 | 所有抽取独立，概率恒定 | 否 |
| 无放回抽样 | 抽取不独立，每次抽取概率变化 | 否 |

## 下一步

掌握S1概率之后，你就可以继续学习后续直接基于这些基础技能的S1核心主题了。概率是S1后续所有统计分布（包括离散随机变量和二项分布）的基础。你还会在解释相关和回归结果时用到这些规则，计算观测模式偶然发生的概率。请务必练习融合多个概率概念的完整考试风格题目（例如结合条件概率的维恩图题），为你的IAS考试建立充足信心。

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