离散型随机变量

Q: 我需要背诵离散均匀分布的均值和方差公式吗？

是的，Edexcel S1的公式手册中没有提供这些公式。如果需要，你也可以通过E(X)和Var(X)的通用定义从基本原理推导得出。

Q: Y=aX+b中的常数b会影响方差吗？

不会。常数b只会平移分布的均值，不会改变离散程度，因此计算Var(aX+b) = a²Var(X)时可以忽略它。

Edexcel 国际 A-Level 数学· 2018 Issue 3 S1 §5· 25 分钟阅读

1. 什么是离散型随机变量？★☆☆☆☆⏱ 5 min

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📘 定义

离散型随机变量（DRV）

从随机试验的结果中取值，取值为可数的一组不同数值，每个数值都对应一个发生概率的变量。

例:

掷6面骰子得到的点数、两次抛硬币得到的正面数

离散变量的所有可能取值之间存在明确间隔（例如标准骰子不可能掷出2.5点）。连续随机变量不属于S1的考核范围，将在S2中讲解。非数值型的离散结果（例如花色、颜色）必须先赋值为数值，才能建模为离散型随机变量。

📐 例题

判断以下哪些是离散型随机变量：(a) 随机选取一名学生的身高，(b) 10分钟内经过检查站的汽车数量，(c) 随机抽取一张扑克牌的花色。

1
检查变量是否为数值且可数。(a) 身高是连续测量值，不存在可计数的离散取值 → 不是离散型随机变量。
2
(b) 汽车数量取0、1、2……等不同整数值 → 可数且为数值，因此是离散型随机变量。
3
(c) 花色是非数值型的（红桃、方块等） → 不是数值变量，未赋值的情况下不属于离散型随机变量。

2. 概率函数与累积分布函数★★☆☆☆⏱ 7 min

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📘 定义

概率函数(p(x))

p(x) = P(X = x)

给出离散型随机变量X取特定值x的概率。所有p(x)满足0 ≤ p(x) ≤ 1，且所有可能x对应的p(x)之和等于1。

累积分布函数（CDF）计算所有不超过给定值的结果的总概率。它是一个非递减函数，取值范围从0（小于X的最小可能值时）到1（大于X的最大可能值时）。

📘 定义

累积分布函数(F(x))

F(x₀) = P(X ≤ x₀) = \sum_{x ≤ x₀} p(x)

所有小于等于x₀的X取值对应的概率之和。

📐 例题

离散型随机变量X的概率函数为p(x) = kx，其中x = 1, 2, 3。(a) 求k的值。(b) 求x=2处的CDF即F(2)。

1
利用所有p(x)之和等于1的规则：
2
$\sum_{x=1}^3 p(x) = k + 2k + 3k = 6k = 1$
3
解得k = 1/6
4
将p(1)和p(2)相加计算F(2)：
5
$F(2) = p(1) + p(2) = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2$

3. 离散型随机变量的期望值与方差★★★☆☆⏱ 7 min

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📘 定义

期望值(E(X))与方差(Var(X))

E(X) = \sum x p(x), \quad Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \sum x^2 p(x) - \mu^2

E(X)是离散型随机变量的长期均值。Var(X)衡量分布围绕均值的离散程度，取值恒为非负。

对于形式为Y = aX + b（a、b为常数）的线性变换，有两条核心规则：均值按a缩放并平移b，而方差仅按a的平方缩放（常数b不影响离散程度）。

E(aX + b) = aE(X) + b
Var(aX + b) = a² Var(X)

📐 例题

离散型随机变量X满足E(X) = 4，Var(X) = 3。定义新变量Y为Y = 2X - 5，计算(a) E(Y)，(b) Var(Y)。

1
应用线性期望规则：
2
$E(Y) = E(2X - 5) = 2E(X) - 5 = 2(4) - 5 = 3$
3
应用线性方差规则，忽略常数-5：
4
$Var(Y) = Var(2X - 5) = 2^2 Var(X) = 4(3) = 12$

4. 离散均匀分布★★★☆☆⏱ 6 min

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📘 定义

离散均匀分布

如果离散型随机变量X取n个不同的整数值，每个值的概率都等于1/n，则X服从离散均匀分布。最常见的例子就是掷一枚公平的n面骰子得到的点数。

对于取值为1, 2, ..., n的离散均匀分布，均值和方差可以从基本原理推导得出，S1考试要求你背诵这两个公式（公式手册中不会提供）：

E(X) = (\frac{n+1}{2})
Var(X) = (\frac{n^2 - 1}{12})

📐 例题

掷一枚公平的8面骰子，点数X服从取值1到8的离散均匀分布。计算(a) E(X)，(b) Var(X)，(c) P(X ≤ 5)。

1
n=8，代入离散均匀分布的均值公式：
2
$E(X) = \frac{8 + 1}{2} = 4.5$
3
代入离散均匀分布的方差公式：
4
$Var(X) = \frac{8^2 - 1}{12} = \frac{63}{12} = 5.25$
5
每个取值的概率都是1/8，将x=1到5的概率相加：
6
$P(X \leq 5) = 5 \times \frac{1}{8} = \frac{5}{8}$

5. 常见陷阱

错误做法:

将非数值型离散结果直接视为离散型随机变量

原因:

离散型随机变量要求取值为数值才能计算均值和方差，非数值数据无法完成这类计算。

正确做法:

先给非数值型结果赋予数值（例如令X=1代表正面，X=0代表反面），再建模为离散型随机变量。

错误做法:

计算Var(aX + b)时忘记对系数a取平方

原因:

方差衡量的是与均值偏差的平方，因此X缩放a倍时偏差缩放a倍，方差就会缩放a²倍。

正确做法:

始终应用Var(aX + b) = a² Var(X)，完全忽略常数b。

错误做法:

将CDF计算为P(X < x)而非P(X ≤ x)

原因:

Edexcel S1考纲中F(x)的标准定义是包含给定x值在内的累积概率。

正确做法:

计算F(x)时，对所有满足x ≤ 给定值的p(x)求和。

错误做法:

在S1离散分布题目中使用二项分布或泊松分布公式

原因:

二项分布和泊松分布不属于S1的考核范围，本单元中唯一允许使用的命名分布是离散均匀分布。

正确做法:

除非题目明确说明分布是离散均匀分布，否则所有概率都要从基本原理推导。

错误做法:

计算Var(X)时写成E(X) - [E(X)]²而非E(X²) - [E(X)]²

原因:

漏掉X上的平方是非常常见的计算失误，会得到错误的负方差值。

正确做法:

计算方差时先求E(X²)（x²乘以p(x)的和），再减去均值的平方。

6. 速查表

概念	公式 / 规则	考试注意事项
离散型随机变量	0 ≤ p(x) ≤ 1, Σp(x) = 1	仅数值型取值符合要求
累积分布函数 F(x₀)	P(X ≤ x₀) = Σ_{x ≤ x₀} p(x)	非递减，取值范围0到1
期望值	E(X) = Σ x p(x)	E(aX + b) = aE(X) + b
方差	Var(X) = E(X²) - [E(X)]²	Var(aX + b) = a² Var(X)
取值1到n的离散均匀分布	E(X)=(n+1)/2, Var(X)=(n²-1)/12	取值不从1开始时需自行推导

7. 常见问题

我需要背诵离散均匀分布的均值和方差公式吗？

是的，Edexcel S1的公式手册中没有提供这些公式。如果需要，你也可以通过E(X)和Var(X)的通用定义从基本原理推导得出。

Y=aX+b中的常数b会影响方差吗？

不会。常数b只会平移分布的均值，不会改变离散程度，因此计算Var(aX+b) = a²Var(X)时可以忽略它。

深入阅读

official_syllabusEdexcel IAL 数学S1 2018年考纲第5节包含离散型随机变量的全部考核要求

下一步

你现在已经掌握了Edexcel IAL S1要求的全部离散型随机变量内容。本主题是S2中所有后续离散分布内容（包括二项分布和泊松分布）的基础，这两个分布在AS和A2考试中占比都很高。本主题通常占S1考试总分的8-12%，请多练习历年真题提升解题速度和准确率。在学习更进阶的统计学内容前，请确保你能熟练快速地应用所有线性变换规则和CDF计算方法。