# 离散型随机变量

> Edexcel 国际 A-Level 数学 · IAL S1
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-s1-discrete-random-variables/

本指南覆盖Edexcel IAL S1考纲中离散型随机变量的全部内容，包括概率函数、CDF计算、带线性变换的均值/方差，以及离散均匀分布，完全符合2018年第3版考纲要求。

**先修:** [离散事件的基本概率规则](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-s1-basic-probability/); [离散值的求和记号](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-s1-summation-basics/)

## 学习目标

- 定义离散型随机变量及其概率函数
- 从概率分布计算累积分布函数（CDF）
- 计算期望值E(X)、方差Var(X)并应用线性变换规则
- 利用离散均匀分布性质求解S1考试题目

## 什么是离散型随机变量？

**离散型随机变量（DRV）** — 从随机试验的结果中取值，取值为可数的一组不同数值，每个数值都对应一个发生概率的变量。

*例:* 掷6面骰子得到的点数、两次抛硬币得到的正面数

离散变量的所有可能取值之间存在明确间隔（例如标准骰子不可能掷出2.5点）。连续随机变量不属于S1的考核范围，将在S2中讲解。非数值型的离散结果（例如花色、颜色）必须先赋值为数值，才能建模为离散型随机变量。

**例题:** 判断以下哪些是离散型随机变量：(a) 随机选取一名学生的身高，(b) 10分钟内经过检查站的汽车数量，(c) 随机抽取一张扑克牌的花色。

1. 检查变量是否为数值且可数。(a) 身高是连续测量值，不存在可计数的离散取值 → 不是离散型随机变量。
2. (b) 汽车数量取0、1、2……等不同整数值 → 可数且为数值，因此是离散型随机变量。
3. (c) 花色是非数值型的（红桃、方块等） → 不是数值变量，未赋值的情况下不属于离散型随机变量。

> **note**
>
> 在进行均值、方差等离散型随机变量计算前，务必先给非数值型结果赋予数值。

*计算器:* allowed

## 概率函数与累积分布函数

**概率函数(p(x))** — 给出离散型随机变量X取特定值x的概率。所有p(x)满足0 ≤ p(x) ≤ 1，且所有可能x对应的p(x)之和等于1。

*记法:* p(x) = P(X = x)

累积分布函数（CDF）计算所有不超过给定值的结果的总概率。它是一个非递减函数，取值范围从0（小于X的最小可能值时）到1（大于X的最大可能值时）。

**累积分布函数(F(x))** — 所有小于等于x₀的X取值对应的概率之和。

*记法:* F(x₀) = P(X ≤ x₀) = \sum_{x ≤ x₀} p(x)

**例题:** 离散型随机变量X的概率函数为p(x) = kx，其中x = 1, 2, 3。(a) 求k的值。(b) 求x=2处的CDF即F(2)。

1. 利用所有p(x)之和等于1的规则：
2. $$\sum_{x=1}^3 p(x) = k + 2k + 3k = 6k = 1$$
3. 解得k = 1/6
4. 将p(1)和p(2)相加计算F(2)：
5. $$F(2) = p(1) + p(2) = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2$$

> **考试提示**
>
> 计算概率函数相关题目时，务必验证所有p(x)之和等于1，避免算术错误。

*计算器:* allowed

## 离散型随机变量的期望值与方差

**期望值(E(X))与方差(Var(X))** — E(X)是离散型随机变量的长期均值。Var(X)衡量分布围绕均值的离散程度，取值恒为非负。

*记法:* E(X) = \sum x p(x), \quad Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \sum x^2 p(x) - \mu^2

对于形式为Y = aX + b（a、b为常数）的线性变换，有两条核心规则：均值按a缩放并平移b，而方差仅按a的平方缩放（常数b不影响离散程度）。

- E(aX + b) = aE(X) + b
- Var(aX + b) = a² Var(X)

**例题:** 离散型随机变量X满足E(X) = 4，Var(X) = 3。定义新变量Y为Y = 2X - 5，计算(a) E(Y)，(b) Var(Y)。

1. 应用线性期望规则：
2. $$E(Y) = E(2X - 5) = 2E(X) - 5 = 2(4) - 5 = 3$$
3. 应用线性方差规则，忽略常数-5：
4. $$Var(Y) = Var(2X - 5) = 2^2 Var(X) = 4(3) = 12$$

> **warning**
>
> 计算线性变换的方差时，千万不要忘记对X的系数取平方。这是本主题考试中最常见的失分点之一。

*计算器:* allowed

## 离散均匀分布

**离散均匀分布** — 如果离散型随机变量X取n个不同的整数值，每个值的概率都等于1/n，则X服从离散均匀分布。最常见的例子就是掷一枚公平的n面骰子得到的点数。

对于取值为1, 2, ..., n的离散均匀分布，均值和方差可以从基本原理推导得出，S1考试要求你背诵这两个公式（公式手册中不会提供）：

- E(X) = \(\frac{n+1}{2}\)
- Var(X) = \(\frac{n^2 - 1}{12}\)

**例题:** 掷一枚公平的8面骰子，点数X服从取值1到8的离散均匀分布。计算(a) E(X)，(b) Var(X)，(c) P(X ≤ 5)。

1. n=8，代入离散均匀分布的均值公式：
2. $$E(X) = \frac{8 + 1}{2} = 4.5$$
3. 代入离散均匀分布的方差公式：
4. $$Var(X) = \frac{8^2 - 1}{12} = \frac{63}{12} = 5.25$$
5. 每个取值的概率都是1/8，将x=1到5的概率相加：
6. $$P(X \leq 5) = 5 \times \frac{1}{8} = \frac{5}{8}$$

> **tip**
>
> 如果离散均匀分布的取值不从1开始（例如取值3,4,5,6），你可以直接用通用定义计算E(X)和Var(X)，或者通过编码将取值范围平移到从1开始，加快计算速度。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 将非数值型离散结果直接视为离散型随机变量
  - 原因: 离散型随机变量要求取值为数值才能计算均值和方差，非数值数据无法完成这类计算。
  - 正确做法: 先给非数值型结果赋予数值（例如令X=1代表正面，X=0代表反面），再建模为离散型随机变量。
- **错误做法:** 计算Var(aX + b)时忘记对系数a取平方
  - 原因: 方差衡量的是与均值偏差的平方，因此X缩放a倍时偏差缩放a倍，方差就会缩放a²倍。
  - 正确做法: 始终应用Var(aX + b) = a² Var(X)，完全忽略常数b。
- **错误做法:** 将CDF计算为P(X < x)而非P(X ≤ x)
  - 原因: Edexcel S1考纲中F(x)的标准定义是包含给定x值在内的累积概率。
  - 正确做法: 计算F(x)时，对所有满足x ≤ 给定值的p(x)求和。
- **错误做法:** 在S1离散分布题目中使用二项分布或泊松分布公式
  - 原因: 二项分布和泊松分布不属于S1的考核范围，本单元中唯一允许使用的命名分布是离散均匀分布。
  - 正确做法: 除非题目明确说明分布是离散均匀分布，否则所有概率都要从基本原理推导。
- **错误做法:** 计算Var(X)时写成E(X) - [E(X)]²而非E(X²) - [E(X)]²
  - 原因: 漏掉X上的平方是非常常见的计算失误，会得到错误的负方差值。
  - 正确做法: 计算方差时先求E(X²)（x²乘以p(x)的和），再减去均值的平方。

## 速查表

| 概念 | 公式 / 规则 | 考试注意事项 |
| --- | --- | --- |
| 离散型随机变量 | 0 ≤ p(x) ≤ 1, Σp(x) = 1 | 仅数值型取值符合要求 |
| 累积分布函数 F(x₀) | P(X ≤ x₀) = Σ_{x ≤ x₀} p(x) | 非递减，取值范围0到1 |
| 期望值 | E(X) = Σ x p(x) | E(aX + b) = aE(X) + b |
| 方差 | Var(X) = E(X²) - [E(X)]² | Var(aX + b) = a² Var(X) |
| 取值1到n的离散均匀分布 | E(X)=(n+1)/2, Var(X)=(n²-1)/12 | 取值不从1开始时需自行推导 |

## 下一步

你现在已经掌握了Edexcel IAL S1要求的全部离散型随机变量内容。本主题是S2中所有后续离散分布内容（包括二项分布和泊松分布）的基础，这两个分布在AS和A2考试中占比都很高。本主题通常占S1考试总分的8-12%，请多练习历年真题提升解题速度和准确率。在学习更进阶的统计学内容前，请确保你能熟练快速地应用所有线性变换规则和CDF计算方法。

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