相关与回归

Q: 我需要背诵PMCC或回归线的公式吗？

不需要，考试中、、、PMCC和回归线系数的所有公式都在Edexcel数学公式与统计数表手册中提供。熟悉这些公式的位置可以在考试中节省时间。

Edexcel 国际A-Level 数学· 2018 Specification Issue 3, S1 §4.1-4.3· 25 分钟阅读

1. 散点图、变量类型与相关性★★☆☆☆⏱ 5 min

✓ 计算器

相关性描述两个变量之间线性关系的强度和方向。绘制数据时，解释（独立）变量绘制在x轴上，受解释变量影响的响应（因变量）变量绘制在y轴上。

📘 定义

解释变量与响应变量

解释变量（x）是独立控制或测量的变量；响应变量（y）是待测量的输出结果，预期会随x的变化而变化。

例:

如果测量学习时长对考试分数的影响，学习时长=x，考试分数=y。

散点图可以可视化相关性：正相关表示y随x增大而增大，负相关表示y随x增大而减小，零相关表示不存在线性关系。相关强度从完全相关（所有点都在一条直线上）到无线性关系不等。

📐 例题

一名研究人员记录了7名学生备考的复习小时数，以及他们满分10分的考试分数。指出哪个变量是解释变量，并描述你预期会观测到的相关性。

1
1. 识别解释变量：复习小时数，它是预期会影响考试分数的独立变量。
2
1. 描述预期相关性：中等至强的正线性相关，因为更长的复习时间通常会带来更高的考试分数。

Exam tip:

在绘图或计算之前务必确认哪个变量是解释变量，这将决定后续回归线的构建方式。

2. 乘积矩相关系数（PMCC）★★★☆☆⏱ 7 min

✓ 计算器

PMCC用 $r$ 表示，是衡量两个变量之间线性相关的强度和方向的数值指标，取值范围从 $r = - 1$ （完全负线性相关）到 $r = + 1$ （完全正线性相关）， $r = 0$ 表示不存在线性相关。

📘 定义

乘积矩相关系数

r

计算公式为 $r = \frac{S _{x y}}{S _{xx} S _{y y}}$ ，其中 $S_{xx} = \sum x^{2} - \frac{( \sum x ) ^{2}}{n}$ ， $S_{y y} = \sum y^{2} - \frac{( \sum y ) ^{2}}{n}$ ， $S_{x y} = \sum x y - \frac{( \sum x ) ( \sum y )}{n}$ ， $n$ 为数据对的数量。所有公式都在考试手册中提供。

📐 例题

对于8组数据对，已知： $\sum x = 24$ ， $\sum y = 40$ ， $\sum x^{2} = 100$ ， $\sum y^{2} = 250$ ， $\sum x y = 156$ 。计算PMCC $r$ 并解释其数值含义。

1
1. 计算 $S_{xx}$ ：
2
$S_{xx} = 100 - \frac{24^2}{8} = 100 - 72 = 28$
3
1. 计算 $S_{y y}$ ：
4
$S_{yy} = 250 - \frac{40^2}{8} = 250 - 200 = 50$
5
1. 计算 $S_{x y}$ ：
6
$S_{xy} = 156 - \frac{24 \times 40}{8} = 156 - 120 = 36$
7
1. 计算 $r$ ：
8
$r = \frac{36}{\sqrt{28 \times 50}} = \frac{36}{\sqrt{1400}} \approx 0.962$
9
1. 解释：两个变量之间存在极强的正线性相关。

Exam tip:

在考试题目中解释 $r$ 时务必结合上下文，不要只写'强正相关'，要将其与给定变量关联，例如'复习时间和考试分数之间存在强正相关'。

3. 拟合y对x最小二乘回归线★★★☆☆⏱ 7 min

✓ 计算器

y对x最小二乘回归线是使每个数据点到直线的垂直距离平方和最小的直线。它用于在已知解释变量 $x$ 的取值时预测响应变量 $y$ 的取值。

📘 定义

y对x回归线

y = a + bx

其中斜率 $b = \frac{S _{x y}}{S _{xx}}$ ，y轴截距 $a = \overset{y}{ˉ} - b \overset{x}{ˉ}$ 。 $\overset{x}{ˉ}$ 和 $\overset{y}{ˉ}$ 分别是 $x$ 和 $y$ 的均值。所有公式都在考试手册中提供。

要在散点图上绘制回归线，计算直线上的两个点（例如 $x = 0$ 时 $y = a$ ， $x = \overset{x}{ˉ}$ 时 $y = \overset{y}{ˉ}$ ——回归线始终经过均值点 $(\overset{x}{ˉ}, \overset{y}{ˉ})$ ），然后过这两个点画直线即可。

📐 例题

沿用前一个示例的数据： $\sum x = 24$ ， $\sum y = 40$ ， $S_{xx} = 28$ ， $S_{x y} = 36$ ， $n = 8$ 。求y对x回归线的方程，并用它预测复习4小时的学生的考试分数（x为复习小时数，y为满分10分的考试分数）。已知观测到的x取值范围为1到6小时。

1
1. 计算斜率 $b$ ：
2
$b = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{36}{28} \approx 1.29$
3
1. 计算均值：
4
$\bar{x} = 24 / 8 = 3, \bar{y} = 40 / 8 = 5$
5
1. 计算截距 $a$ ：
6
$a = 5 - (1.29 \times 3) \approx 1.13$
7
1. 回归线方程： $y = 1.13 + 1.29 x$ （保留三位有效数字）
8
1. 代入x=4预测：
9
$y = 1.13 + (1.29 \times 4) = 6.29 \approx 6.3$
10
1. 有效性判断：x=4位于1到6的观测范围内，因此预测是可靠的。

Exam tip:

务必说明预测是否可靠，并结合外推的概念给出理由。

4. 用线性编码简化计算★★★★☆⏱ 6 min

✓ 计算器

对变量进行线性编码（线性变换）可以简化相关和回归的计算，尤其当数据值很大时。线性编码的形式为 $X = \frac{x - c}{d}$ 或 $Y = \frac{y - e}{f}$ ，其中c、d、e、f均为常数。

📐 例题

一组数据使用编码 $X = x - 10$ 和 $Y = \frac{y}{5}$ 来简化计算。编码后数据的回归线为 $Y = 2 + 3 X$ 。求原始变量x和y对应的回归线方程。

1
1. 将编码表达式代入编码后的回归线：
2
$\frac{y}{5} = 2 + 3(x - 10)$
3
1. 两边同时乘以5消去分母：
4
$y = 10 + 15(x - 10)$
5
1. 展开并化简：
6
$y = 10 + 15x - 150 = 15x - 140$
7
1. 原始变量的最终回归线： $y = - 140 + 15 x$

Exam tip:

如果要求你使用编码后的值计算PMCC，无需转换回原始变量即可得到正确的r值。

5. 常见陷阱

错误做法:

使用x对y回归线而非y对x回归线

原因:

S1仅考察y对x回归线，x对y回归线是设计用来从y预测x的，不能用来从x预测y，因此预测结果会出错。

正确做法:

始终构建并使用y对x回归线，从解释变量x预测响应变量y。

错误做法:

将低PMCC解读为变量之间不存在任何关系

原因:

PMCC仅测量线性相关性；低r值可能意味着变量之间存在强的非线性关系。

正确做法:

仅说明不存在线性相关，参考散点图检查是否存在非线性关系。

错误做法:

在观测到的x值范围之外进行外推以做出预测

原因:

没有证据表明线性关系在收集到的数据范围之外仍然成立，因此预测结果不可靠。

正确做法:

仅对位于观测范围内的x值做出预测，如果预测因外推而不可靠，务必明确说明。

错误做法:

绘图或做回归时混淆解释变量和响应变量

原因:

回归线的构建取决于哪个变量是解释变量，交换两者会得到错误的直线。

正确做法:

首先识别解释变量（x）：它是预期会引起响应变量（y）变化的变量。

错误做法:

尝试背诵Sxx、Syy、Sxy、PMCC和回归线的所有公式

原因:

所有要求的公式都在考试公式手册中提供，背诵是不必要的，记错公式还会导致错误。

正确做法:

熟悉手册中每个公式的位置，以便在考试中快速查找。

6. 速查表

概念	公式 / 规则	关键提示
PMCC r	$r = \frac{S _{x y}}{S _{xx} S _{y y}}$	取值范围： $- 1 \leq r \leq 1$ ；仅测量线性相关性；不受线性编码影响
回归线 $y = a + b x$	$b = \frac{S _{x y}}{S _{xx}}$ , $a = \overset{y}{ˉ} - b \overset{x}{ˉ}$	经过点 $(\overset{x}{ˉ}, \overset{y}{ˉ})$ ；仅用于y对x的预测
预测有效性	仅当x位于观测x范围内时有效	在观测范围之外外推不可靠
线性编码的影响	r值保持不变	回归系数会变化；代入编码规则转换回原始变量

7. 常见问题

我需要背诵PMCC或回归线的公式吗？

不需要，考试中 $S_{xx}$ 、 $S_{y y}$ 、 $S_{x y}$ 、PMCC和回归线系数的所有公式都在Edexcel数学公式与统计数表手册中提供。熟悉这些公式的位置可以在考试中节省时间。

我可以在S1考试中使用x对y的回归线吗？

不可以，S1仅考察y对x的最小二乘回归线。x对y的回归线是用于从y预测x的，因此用它预测响应变量y会得到错误结果。

什么时候回归线的预测结果不可靠？

如果你在观测到的解释变量取值范围之外进行外推，或者变量之间的线性相关性非常弱，预测结果就不可靠。在考试作答时，务必说明预测的有效性。

深入阅读

下一步

掌握Edexcel IAL S1的相关与回归内容后，你就可以开始学习概率分布，这是S1教学大纲中下一个占分权重很高的主题。相关与回归类题目约占S1考试总分的10-15%，因此请务必练习历年真题，熟悉常见的出题风格，包括编码和结果解读类题型。记住所有公式都在考试手册中提供，因此重点要放在正确应用公式和为你的答案提供合理依据上，尤其是在评价相关强度或预测有效性的时候。本主题也为S3中更高级的统计分析打下基础，包括相关性的显著性检验，如果你后续学习A2进阶数学就会接触到这些内容。