积分（Edexcel IAL P4）

Q: 我需要为P4考试熟记分部积分公式吗？

不需要，分部积分公式和sec x、cosec x的积分都会在考试公式手册中提供。你只需要熟记P3的识别积分，例如。

Q: P4考试需要计算绕y轴的旋转体体积吗？

不需要，Edexcel明确规定P4仅要求使用公式计算绕x轴的旋转体体积，绕y轴的体积不在考察范围内。

Edexcel 国际 A-Level 数学· 2018 版大纲第3期，首次考试2019年· 45 分钟阅读

1. 绕x轴的旋转体体积★★☆☆☆⏱ 8 min

✓ 计算器

将曲线 $y = f (x)$ 下方、介于 $x = a$ 和 $x = b$ 之间的区域绕x轴旋转形成的立体体积，由以下公式给出：

V = \pi \int_{a}^{b} y^2 dx

📘 定义

参数曲线的旋转体体积

对于由参数 $x = x (t)$ 、 $y = y (t)$ 定义的曲线，当 $t = t_{1}$ 时 $x = a$ ， $t = t_{2}$ 时 $x = b$ ，将 $y = y (t)$ 和 $d x = \frac{d x}{d t} d t$ 代入标准公式即可计算体积。

例:

$V = π \int_{t_{1}}^{t_{2}} y (t)^{2} \frac{d x}{d t} d t$

📐 例题

求曲线 $y = e^{2 x}$ 在 $x = 0$ 到 $x = 1$ 之间的部分绕x轴旋转形成的旋转体体积，结果以 $π$ 表示。

1
步骤1：写出体积公式，代入 $y = e^{2 x}$
$V = \pi \int_{0}^{1} (e^{2x})^2 dx = \pi \int_{0}^{1} e^{4x} dx$
2
步骤2：使用P3的 $e^{k x}$ 识别积分规则积分
$\int e^{4x} dx = \frac{1}{4}e^{4x} + C$
3
步骤3：计算0到1之间的定积分
$V = \pi \left[ \frac{1}{4}e^{4x} \right]_0^1 = \pi \left( \frac{1}{4}e^4 - \frac{1}{4}e^0 \right) = \frac{\pi}{4}(e^4 - 1)$

Exam tip:

积分前务必先对y平方，并且记得在积分外带上π因子——这是体积题中最常见的失分点。

2. 换元积分法与分部积分法★★★☆☆⏱ 12 min

✓ 计算器

换元积分法是链式法则的逆运算，分部积分法是乘积法则的逆运算。在P4考试中，复杂积分会给出换元方式，对于 $x^{2} e^{x}$ 或 $e^{x} sin x$ 这类函数，你可能需要多次应用分部积分法。

📘 定义

分部积分法

公式手册中给出的形式为 $\int u \frac{d v}{d x} d x = uv - \int v \frac{d u}{d x} d x$ 。选择u为求导后可以简化的函数（例如多项式、ln x）。

例:

对于 $\int x e^{x} d x$ ，选择 $u = x$ （求导后简化为1）且 $\frac{d v}{d x} = e^{x}$ 。

📐 例题

使用换元 $u = x - 2$ 计算 $\int x x - 2 d x$ 。

1
步骤1：整理换元式得到 $x = u + 2$ ，求导得到 $d x = d u$ 。
2
步骤2：代入积分：
$\int (u + 2) \sqrt{u} du = \int (u^{3/2} + 2u^{1/2}) du$
3
步骤3：逐项积分：
$= \frac{2}{5}u^{5/2} + \frac{4}{3}u^{3/2} + C$
4
步骤4：代回 $u = x - 2$ ：
$= \frac{2}{5}(x - 2)^{5/2} + \frac{4}{3}(x - 2)^{3/2} + C$

📐 例题

计算 $\int e^{x} sin x d x$

1
步骤1：第一次分部积分：令 $u = sin x$ ， $\frac{d v}{d x} = e^{x}$ ，因此 $\frac{d u}{d x} = cos x$ ， $v = e^{x}$ 。
$I = \int e^x \sin x dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x dx$
2
步骤2：对剩余积分第二次分部积分：令 $u = cos x$ ， $\frac{d v}{d x} = e^{x}$ ，因此 $\frac{d u}{d x} = - sin x$ ， $v = e^{x}$ 。
$I = e^x \sin x - \left( e^x \cos x - \int e^x (-\sin x) dx \right) = e^x \sin x - e^x \cos x - \int e^x \sin x dx$
3
步骤3：注意剩余积分等于原积分I，整理后求解I：
$I + I = e^x(\sin x - \cos x) \implies 2I = e^x(\sin x - \cos x) \implies I = \frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x) + C$

Exam tip:

对于ln x的积分，始终设 $u = ln x$ 且 $\frac{d v}{d x} = 1$ ，因为ln x很难直接积分，但求导后得到 $1/ x$ 可以简化剩余积分。

3. 部分分式积分与识别积分★★★☆☆⏱ 8 min

✓ 计算器

你可以先将有理函数分解为部分分式，再使用标准P3识别规则对每一项积分。常见形式包括线性分母、重线性分母，以及形如 $\frac{a x + b}{c x ^{2} + d}$ 或 $\frac{k}{( m x + n ) ^{p}}$ 的函数。

📐 例题

计算 $\int \frac{4 x + 5}{( x - 1 ) ( x + 2 ) ^{2}} d x$

1
步骤1：将分式分解为部分分式：
$\frac{4x + 5}{(x - 1)(x + 2)^2} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2} + \frac{C}{(x + 2)^2}$
2
步骤2：求解常数：两侧同乘分母，代入x=1、x=-2，比较系数得到A=1，B=-1，C=1。
3
步骤3：分别对每一项积分：
$\int \left( \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{(x + 2)^2} \right) dx$
4
步骤4：应用识别积分：
$= \ln|x - 1| - \ln|x + 2| - \frac{1}{x + 2} + C = \ln \left| \frac{x - 1}{x + 2} \right| - \frac{1}{x + 2} + C$

Exam tip:

对于形式为 $\frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )}$ 的积分，结果为 $ln ∣ f (x) ∣ + C$ ——这是P4最常考察的识别积分，因此在尝试部分分式或换元之前，务必先检查分子是否是分母导数的倍数。

4. 一阶可分离变量微分方程★★★★☆⏱ 9 min

✓ 计算器

如果一阶微分方程可以被重新整理，将所有含y的项放到一侧，所有含x的项放到另一侧，那么它就是可分离变量的。你需要掌握通解（含任意常数C）和特解（使用给定边界条件求出C）的求解。

📘 定义

可分离变量微分方程形式

所有可分离变量常微分方程都可以写成 $\frac{d y}{d x} = f (x) g (y)$ ，整理后得到 $\int \frac{1}{g ( y )} d y = \int f (x) d x$ 即可积分。

例:

对于 $\frac{d y}{d x} = x^{2} y$ ，整理为 $\int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} d x$ 。

📐 例题

求解微分方程 $\frac{d y}{d x} = 2 x cos^{2} y$ ，已知当 $x = 0$ 时 $y = \frac{π}{4}$ ，结果表示为 $y = f (x)$ 的形式。

1
步骤1：整理分离变量，两侧除以 $cos^{2} y$ ：
$\int \sec^2 y dy = \int 2x dx$
2
步骤2：两侧积分，在一侧加上积分常数：
$\tan y = x^2 + C$
3
步骤3：使用边界条件 $x = 0, y = π /4$ 求C：
$\tan(\pi/4) = 0 + C \implies C = 1$
4
步骤4：整理为要求的形式：
$y = \arctan(x^2 + 1)$

Exam tip:

两侧积分后立刻加上积分常数，再代入边界条件。如果在代入边界值之后再加C，你会丢失分数。

5. 参数曲线下的面积★★★☆☆⏱ 8 min

✓ 计算器

对于由参数 $x = x (t)$ 、 $y = y (t)$ 定义的曲线，介于 $x = a$ （对应 $t = t_{1}$ ）和 $x = b$ （对应 $t = t_{2}$ ）之间的曲线下面积，可以通过将 $d x = \frac{d x}{d t} d t$ 代入标准面积公式 $\int y d x$ 计算。这类题目不需要你绘制曲线。

📐 例题

曲线的参数方程为 $x = t^{2} + 1$ ， $y = 3 t + 2$ ，其中 $t \geq 0$ 。求曲线在 $x = 1$ 到 $x = 5$ 之间下方的面积。

1
步骤1：求对应x上下限的t值：当x=1时， $t^{2} + 1 = 1 ⟹ t = 0$ ；当x=5时， $t^{2} + 1 = 5 ⟹ t = 2$ 。
2
步骤2：将x对t求导：
$\frac{dx}{dt} = 2t \implies dx = 2t dt$
3
步骤3：代入面积公式，替换y、dx和上下限：
$A = \int_{t=0}^{t=2} (3t + 2) \cdot 2t dt = \int_{0}^{2} (6t^2 + 4t) dt$
4
步骤4：积分并求值：
$A = \left[ 2t^3 + 2t^2 \right]_0^2 = (2*8 + 2*4) - 0 = 16 + 8 = 24$

Exam tip:

确保t的上下限顺序对应x值递增的方向。如果 $\frac{d x}{d t}$ 为负，你可能需要反转上下限得到正的面积，但只要使用对应x上下限的t值，通常会自动处理。

6. 常见陷阱

错误做法:

计算旋转体体积时忘记带上π因子。

原因:

体积公式要求y²的积分乘以π，在匆忙计算时经常被遗漏。

正确做法:

开始做体积题时，在做任何积分步骤之前，立刻把π写在积分符号外面。

错误做法:

分部积分时选错u项，例如计算∫x eˣ dx时设u = eˣ而不是u = x。

原因:

这会导致积分变得更复杂难以求解，因为eˣ求导后形式不变。

正确做法:

使用助记符LIPET（对数、反三角函数、多项式、指数函数、三角函数）选择u：选择列表中最先出现的函数作为u项。

错误做法:

积分参数方程或使用换元法时忘记更换积分上下限。

原因:

如果你在以t或u为变量的积分中保留x的上下限，得到的数值结果会出错。

正确做法:

积分中一更换变量，立刻把原上下限转换为新变量对应的上下限，再进行求值。

错误做法:

求解微分方程时，代入边界条件之后才加积分常数。

原因:

积分常数是通解的一部分，在代入边界之前省略它会导致C的取值错误。

正确做法:

微分方程两侧积分后立刻加上常数C，再代入任何给定的x和y值。

错误做法:

计算旋转体体积时只对y表达式中的x项平方，而不是对整个y表达式平方，例如把(2x + 3)²写成2x² + 9而不是4x² + 12x +9。

原因:

y²的展开错误会完全改变积分结果，导致步骤分和结果分全部丢失。

正确做法:

即使看起来很简单，也要明确写出y²的完整展开式再积分，避免代数错误。

7. 速查表

概念	公式/规则	关键提示
绕x轴旋转体体积	$V = π \int_{a}^{b} y^{2} d x$ ，参数形式： $V = π \int_{t 1}^{t 2} y (t)^{2} \frac{d x}{d t} d t$	永远不要忘记积分外的π因子
分部积分法	$\int u \frac{d v}{d x} d x = uv - \int v \frac{d u}{d x} d x$ （考试提供）	计算∫ln x dx时选择u = ln x，设dv/dx = 1
部分分式积分	分别对每个部分分式项积分，对于1/(ax+b)项使用 $ln ∣ f (x) ∣$	先检查分子是否是分母的导数，避免不必要的部分分式分解
可分离变量微分方程	整理为 $\int g (y) d y = \int f (x) d x$ ，加C之后再应用边界条件	永远在代入边界值之前加上常数C
参数曲线面积	$A = \int_{t 1}^{t 2} y (t) \frac{d x}{d t} d t$	积分前将x的上下限转换为t的上下限

8. 常见问题

我需要为P4考试熟记分部积分公式吗？

不需要，分部积分公式和sec x、cosec x的积分都会在考试公式手册中提供。你只需要熟记P3的识别积分，例如 $\int \frac{x}{x ^{2} + c} d x = \frac{1}{2} ln ∣ x^{2} + c ∣ + C$ 。

P4考试需要计算绕y轴的旋转体体积吗？

不需要，Edexcel明确规定P4仅要求使用公式 $π \int y^{2} d x$ 计算绕x轴的旋转体体积，绕y轴的体积不在考察范围内。

P4的积分题可以使用图形计算器吗？

可以，所有Edexcel IAL数学试卷都允许使用计算器，但禁止使用CAS（符号代数）计算器。即使你可以用计算器验证答案，也必须写出全部解题步骤才能获得满分。

深入阅读

formula_bookEdexcel IAL 数学公式手册P1-P4所有单元的官方公式手册

下一步

现在你已经掌握了P4全部积分内容，可以开始练习结合多种积分技巧的完整考试风格题目，这类题目经常作为P4试卷的最后一道大题出现。请确保你也练习将积分和其他P4主题（如参数方程、微分方程）结合的跨主题题目，这类题目十分常见。即使你用计算器验证了答案，也要写出全部解题步骤，因为积分题的大部分分数来自步骤分。最后，练习将积分技能应用到实际建模题中，这类题目经常和微分方程问题一同出现在考试里。