# 求导（纯数学4）

> Edexcel 国际A-Level 数学 · IAL P4 数学
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-p4-differentiation/

本指南覆盖Edexcel IAL P4所有求导相关内容：隐函数求导、参数方程求导、两类曲线的切线/法线方程，以及微分方程的建立（含相关变化率问题）。

**先修:** [P3阶段所学的求导规则（链式法则、乘积法则、商数法则）](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-p3-differentiation/); [P1阶段所学的笛卡尔曲线切线与法线方程](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-p1-coordinate-geometry/)

## 学习目标

- 对隐式定义的函数求导，求解斜率、切线与法线
- 对参数定义的函数求导，求解斜率、切线与法线
- 建立简单微分方程，包括相关变化率问题的微分方程

## 隐函数求导与切线/法线方程

**隐函数** — x和y未分离（y未单独置于等式一侧）的函数，例如 $x^2 + 3xy + y^2 = 10$

*例:* $x^2 + 2y^2 - xy = 2$

进行隐函数求导时，对所有项关于$x$应用P3阶段的标准求导规则，对包含$y$的项使用链式法则：每次对$y$的项求导后都乘以$\frac{dy}{dx}$。将得到的等式重新整理，分离出$\frac{dy}{dx}$，之后代入坐标值即可得到给定点处的斜率。

**例题:** 求曲线 $x^2 + 2y^2 - xy = 2$ 在点(1, 1)处的切线方程。

1. 对每一项关于$x$求导：

   $$\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(2y^2) - \frac{d}{dx}(xy) = \frac{d}{dx}(4)$$
2. 应用链式法则和乘积法则展开：

   $$2x + 4y\frac{dy}{dx} - (y + x\frac{dy}{dx}) = 0$$
3. 重新整理以分离出$\frac{dy}{dx}$：

   $$\frac{dy}{dx} = \frac{y - 2x}{4y - x}$$
4. 代入$x=1, y=1$，得到切线斜率：

   $$m = \frac{1 - 2}{4 - 1} = -\frac{1}{3}$$
5. 使用点斜式写出切线方程：

   $$y - 1 = -\frac{1}{3}(x - 1) \implies x + 3y = 4$$

> **考试提示:** 代入坐标值之前务必先分离出$\frac{dy}{dx}$，避免算术错误同时节省时间。

*计算器:* allowed

## 参数方程求导与切线/法线方程

**参数函数** — x和y均通过第三个独立变量（参数，通常记为$t$）定义的曲线，例如 $x = 2t + 1$, $y = t^2 - 3t$

对于参数方程$x = f(t)$，$y = g(t)$，曲线的斜率由公式$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$给出，前提是$\frac{dx}{dt} \neq 0$。若$\frac{dx}{dt}=0$，则切线为竖直线；若$\frac{dy}{dt}=0$，则切线为水平线。

**例题:** 某曲线由参数方程$x = t^2 + 1$, $y = 3t - t^3$定义，求该曲线在$t=1$处的法线方程。

1. 对$x$和$y$关于$t$求导：

   $$\frac{dx}{dt} = 2t, \frac{dy}{dt} = 3 - 3t^2$$
2. 使用参数斜率规则计算$\frac{dy}{dx}$：

   $$\frac{dy}{dx} = \frac{3 - 3t^2}{2t}$$
3. 代入$t=1$：$\frac{dy}{dx} = 0$，因此切线是水平的，意味着法线是竖直的。
4. 求$t=1$处的坐标：$x=1^2 +1=2$, $y=3(1) - 1^3 = 2$
5. 写出过点(2, 2)的竖直法线方程：

   $$x = 2$$

> **考试提示:** 对于竖直/水平切线，务必明确说明斜率类型，不要仅写0或未定义，以此体现你完全理解题目背景。

*计算器:* allowed

## 简单微分方程的建立

**微分方程** — 将函数与其一个或多个导数关联起来的方程，例如 $\frac{dP}{dt} = kP$

你将得到变量之间的上下文或代数关系，需要将文字描述转化为导数项，从而建立微分方程。本章节你**不需要**求解这些方程。你引入的任何比例常数都必须明确定义。

**例题:** 放射性物质的质量$m$的减小速率与当前质量成正比，建立描述该关系的微分方程模型。

1. 将“质量的减小速率”转化为$-\frac{dm}{dt}$，其中$t$为时间（负号表示质量减小）。
2. 将“与当前质量成正比”转化为$km$，其中$k$为正比例正常数。
3. 合并得到最终微分方程：

   $$-\frac{dm}{dt} = km \implies \frac{dm}{dt} = -km$$

> **考试提示:** 如果你没有明确定义微分方程中引入的常数，将会被扣掉1分。

*计算器:* allowed

## 相关变化率问题

相关变化率问题需要使用链式法则将一个量的变化率与另一个量的变化率关联起来：$\frac{da}{db} = \frac{da}{dc} \times \frac{dc}{db}$。你通常需要使用标准几何公式（例如球的体积、圆的面积）来关联两个物理量。

**例题:** 球形气球的半径$r$以2 cm/s的恒定速率增大，求当$r = 5$ cm时气球体积$V$的增大速率。使用公式$V = \frac{4}{3}\pi r^3$。

1. 确定已知速率：$\frac{dr}{dt} = 2$ cm/s。我们需要求$r=5$时的$\frac{dV}{dt}$。
2. 应用链式法则关联两个速率：

   $$\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dr} \times \frac{dr}{dt}$$
3. 将体积公式对$r$求导：

   $$\frac{dV}{dr} = 4\pi r^2$$
4. 代入$r=5$和$\frac{dr}{dt}=2$计算最终速率：

   $$\frac{dV}{dt} = 4\pi (5)^2 \times 2 = 200\pi \text{ cm}^3/\text{s}$$

> **考试提示:** 变化率问题的最终答案必须包含单位，通常有1分是专门分配给正确单位的。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 进行隐函数求导时，忘记将求导后的$y$项乘以$\frac{dy}{dx}$，例如写出$\frac{d}{dx}(y^2) = 2y$。
  - 原因: 隐函数求导需要使用链式法则，因为$y$是$x$的函数，因此必须考虑$y$对$x$的导数。
  - 正确做法: 应用规则时，立即将每一个求导后的$y$项乘以$\frac{dy}{dx}$。
- **错误做法:** 参数方程求导时颠倒分子分母，写出$\frac{dy}{dx} = \frac{dx/dt}{dy/dt}$。
  - 原因: 链式法则仅给出$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$，颠倒后得到的是正确斜率的倒数。
  - 正确做法: 进行除法运算前确认导数的顺序，检查分数相乘时$dt$是否可以约去。
- **错误做法:** 建立微分方程时添加积分常数。
  - 原因: 积分常数仅适用于求解微分方程的步骤，不适用于从给定关系建立微分方程的步骤。
  - 正确做法: 建立微分方程时省略积分常数，仅在题目要求时定义比例常数。
- **错误做法:** 相关变化率问题中使用错误的链式法则结构，例如写出$\frac{dV}{dt} = \frac{dr}{dt} \div \frac{dV}{dr}$。
  - 原因: 链式法则应用错误会导致单位颠倒，数值结果错误。
  - 正确做法: 先写出要求的速率，再将其表示为两个已知/可推导速率的乘积，消去中间变量。
- **错误做法:** 计算法线斜率时，得到与切线斜率相同的值，或者使用正倒数而非负倒数。
  - 原因: 法线与切线垂直，因此对于非零有限值，二者的斜率乘积为-1。
  - 正确做法: 若切线斜率为$m$，则法线斜率为$-\frac{1}{m}$；水平/竖直的特殊情况需要单独处理，该公式不适用。

## 速查表

| 概念 | 公式 / 方法 | 考试核心注意点 |
| --- | --- | --- |
| 隐函数求导 | 所有项对$x$求导，$y$的项乘以$\frac{dy}{dx}$，整理得到$\frac{dy}{dx}$ | 混合$x,y$项需要应用乘积/商数法则 |
| 参数方程求导 | $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ | 若$\frac{dx}{dt}=0$则斜率未定义（竖直切线） |
| 微分方程建立 | 将文字描述的速率转化为导数项，添加比例常数 | 本章节不需要求解微分方程 |
| 相关变化率 | 使用链式法则关联目标速率与已知速率，例如$\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dr} \times \frac{dr}{dt}$ | 最终答案必须包含单位 |

## 下一步

现在你已经掌握了P4求导的全部技能，可以继续学习P4积分章节，在那里你将利用求导的结果反向推导积分，求解你刚刚学会建立的可分离变量微分方程。这些求导技能也经常出现在分值6-8分的P4长考题中，与解析几何和建模任务结合考察，因此练习历年真题对于提升解题速度和准确率至关重要。如果你正在学习进阶数学，这些技能也是后续微积分知识点（包括极坐标和微分方程）的基础。

- [P3 求导规则（复习）](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-p3-differentiation/)

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