二项式展开

Q: 我需要背诵P4的二项式级数公式吗？

不需要，的级数公式会在考试公式手册中提供。你只需要学习如何将其调整适配到的形式，以及推导正确的有效区间。

Q: 如果x超出了有效区间会发生什么？

无穷级数将不会收敛，因此展开式无法得到原表达式的有效近似。在使用展开式之前务必确认x处于有效区间内。

Edexcel 国际A-Level 数学· P4 §4.1· 18 分钟阅读

1. 调整标准二项式级数的形式★★☆☆☆⏱ 5 min

✓ 计算器

公式手册提供了任意有理指数n下 $(1 + x)^{n}$ 的标准二项式级数：

1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \dots

要展开 $(a x + b)^{n}$ ，首先提取常数项b，将表达式改写为 $1 + k x$ 的形式：

(ax + b)^n = b^n\left(1 + \frac{a}{b}x\right)^n

📘 定义

有理指数下的二项式级数

二项式的有理指数次幂的无穷幂级数展开，仅在特定x区间内收敛

例:

$(1 - 3 x)^{- 1} = 1 + 3 x + 9 x^{2} + 27 x^{3} + \dots$ for $∣ x ∣ < \frac{1}{3}$

📐 例题

求 $(2 + 4 x)^{- \frac{1}{2}}$ 展开式的前三个非零项

1
1. 从括号中提取常数项2：
$(2 + 4x)^{-\frac{1}{2}} = 2^{-\frac{1}{2}}\left(1 + \frac{4}{2}x\right)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(1 + 2x\right)^{-\frac{1}{2}}$
2
1. 将 $n = - \frac{1}{2}$ 代入标准二项式级数到 $(1 + 2 x)^{- \frac{1}{2}}$ ，将原公式中的x替换为2x：
$(1 + 2x)^{-\frac{1}{2}} = 1 + \left(-\frac{1}{2}\right)(2x) + \frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)}{2!}(2x)^2 + \dots$
3
1. 化简每一项：
$= 1 - x + \frac{3}{8}(4x^2) + \dots = 1 - x + \frac{3}{2}x^2 + \dots$
4
1. 乘以提取出的常数 $\frac{1}{2}$ ：
$= \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{3x^2}{2\sqrt{2}} + \dots （可根据要求有理化）$

Exam tip:

务必先提取出较大的常数项，保证剩余括号内的表达式为 $1 + k x$ 的形式，避免计算错误。

2. 二项式级数的有效区间★★☆☆☆⏱ 4 min

✓ 计算器

标准二项式级数仅在 $1 + k x$ 括号内的表达式的绝对值小于1时收敛。对于展开形式 $b^{n} (1 + \frac{a}{b} x)^{n}$ ，收敛条件为：

\left|\frac{a}{b}x\right| < 1

整理后得到x的有效区间： $∣ x ∣ < \frac{b}{a}$ 。你必须在任何二项式展开式旁边标注该区间才能获得全部分数。

📐 例题

写出 $(3 - 6 x)^{\frac{2}{3}}$ 展开式的有效区间

1
1. 提取常数项3：
$(3 - 6x)^{\frac{2}{3}} = 3^{\frac{2}{3}}\left(1 - 2x\right)^{\frac{2}{3}}$
2
1. 对括号内的表达式应用收敛条件：
$|-2x| < 1 \implies 2|x| < 1$
3
1. 整理求解 $∣ x ∣$ ：
$|x| < \frac{1}{2}$

✓ 快速检测

测试你对有效区间的理解：

$(4 + 12 x)^{- 2}$ 的有效区间是什么？
- $∣ x ∣ < 1/3$
- $∣ x ∣ < 3$
- $∣ x ∣ < 1/4$
- $∣ x ∣ < 4$

3. 通过部分分式展开有理函数★★★☆☆⏱ 6 min

✓ 计算器

很多考试题目要求你展开分子次数小于分母次数的有理函数。首先将函数分解为部分分式（P4 §2.1内容），然后使用二项式级数分别展开每个部分分式项，最后合并同类项。

📐 例题

给定 $\frac{3 x + 5}{( x + 1 ) ( x + 2 )}$ ，求其二项式展开的前三项并写出整体有效区间。

1
1. 首先分解为部分分式并改写为二项式形式：
$\frac{3x +5}{(x+1)(x+2)} = \frac{2}{x+1} + \frac{1}{x+2} = 2(1 + x)^{-1} + \frac{1}{2}\left(1 + \frac{x}{2}\right)^{-1}$
2
1. 分别展开每一项：
- 第一项： $2 (1 + x)^{- 1} = 2 (1 - x + x^{2} + \dots) = 2 - 2 x + 2 x^{2} + \dots$ ，有效区间为 $∣ x ∣ < 1$
- 第二项： $\frac{1}{2} (1 + \frac{x}{2})^{- 1} = \frac{1}{2} (1 - \frac{x}{2} + \frac{x ^{2}}{4} + \dots) = \frac{1}{2} - \frac{x}{4} + \frac{x ^{2}}{8} + \dots$ ，有效区间为 $∣ x ∣ < 2$
3
1. 合并同类项：
$(2 + 1/2) + (-2x - x/4) + (2x^2 + x^2/8) + \dots = \frac{5}{2} - \frac{9x}{4} + \frac{17x^2}{8} + \dots$
4
1. 整体有效区间是 $∣ x ∣ < 1$ 和 $∣ x ∣ < 2$ 中更小的那个，即 $∣ x ∣ < 1$ 。

Exam tip:

务必先做部分分式分解再展开，不要尝试直接对整个分母展开，这会导致错误失分。

4. 使用二项式展开求近似值★★★★☆⏱ 5 min

✓ 计算器

你可能被要求使用二项式展开式，代入有效区间内的小x值来近似原表达式的结果。将小x值代入展开式的前几项即可得到近似值。

📐 例题

使用 $(1 + 0.02)^{- 3}$ 展开式的前三项求近似值，结果保留4位小数。

1
1. 写出 $(1 + x)^{- 3}$ 展开到 $x^{2}$ 项的形式：
$(1+x)^{-3} = 1 - 3x + \frac{(-3)(-4)}{2!}x^2 + \dots = 1 - 3x + 6x^2 + \dots$
2
1. 将 $x = 0.02$ 代入展开式：
$(1 + 0.02)^{-3} ≈ 1 - 3(0.02) + 6(0.02)^2 = 1 - 0.06 + 0.0024 = 0.9424$
3
1. 验证数值在有效区间内： $∣0.02∣ < 1$ ，因此该近似值有效。

Exam tip:

在使用展开式求近似值之前，务必检查x值是否在有效区间内；如果不在，得到的近似值将是错误的。

5. 常见陷阱

错误做法:

对有理指数使用带组合数 $^{n} C_{r}$ 的正整数次二项式公式

原因:

$^{n} C_{r}$ 公式仅在n为正整数时适用于有限展开，不适用于有理指数的无穷级数

正确做法:

在P4中对所有有理指数使用公式手册中给出的标准无穷级数公式

错误做法:

在应用标准级数之前忘记提取常数项

原因:

标准级数仅适用于 $(1 + k x)$ 形式的表达式，直接应用到 $(a x + b)$ 会得到错误的项

正确做法:

务必先提取常数b，将表达式改写为 $b^{n} (1 + \frac{a}{b} x)^{n}$ 之后再展开

错误做法:

将有效区间写为 $∣ x ∣ < a / b$ 而非 $∣ x ∣ < b / a$

原因:

收敛条件要求 $∣ (a / b) x ∣ < 1$ ，整理后得到 $∣ x ∣ < b / a$ ，将分数取反会得到无效的区间

正确做法:

仔细整理收敛条件求解 $∣ x ∣$ ，每次都检查你的代数运算

错误做法:

对部分分式展开的有效区间取并集而非交集

原因:

级数仅在所有单个项都收敛时才收敛，因此你需要满足所有有效条件的区间

正确做法:

选择所有单个部分分式有效区间中最小的一个作为合并后展开式的整体区间

6. 速查表

表达式	展开方法	有效区间
$(1 + x)^{n}$ , $n$ 为有理数	使用给定公式： $1 + n x + \frac{n ( n - 1 )}{2 !} x^{2} + \dots$	$∣ x ∣ < 1$
$(a x + b)^{n}$ , $n$ 为有理数	提取 $b^{n}$ ，通过标准公式展开 $(1 + \frac{a}{b} x)^{n}$	$∣ x ∣ < \frac{b}{a}$
有理函数	先分解为部分分式，分别展开每一项后合并同类项	所有单个部分分式有效区间中的最小区间

7. 常见问题

我需要背诵P4的二项式级数公式吗？

不需要， $(1 + x)^{n}$ 的级数公式会在考试公式手册中提供。你只需要学习如何将其调整适配到 $(a x + b)^{n}$ 的形式，以及推导正确的有效区间。

如果x超出了有效区间会发生什么？

无穷级数将不会收敛，因此展开式无法得到原表达式的有效近似。在使用展开式之前务必确认x处于有效区间内。

深入阅读

official_resourceEdexcel IAL 数学 P4 公式手册包含标准$(1+x)^n$二项式级数公式

下一步

在掌握Edexcel IAL P4的二项式展开之后，你可以将这项技能应用到本单元的其他主题，包括幂级数求导和数值近似。该主题经常和部分分式、代数运算结合考察，因此请务必练习往年真题，在考试前巩固你的理解。你在这里学到的技能在后续学习进阶数学时也会用到，进阶数学中二项式级数会拓展到复指数的情况。