# 二项式展开 > Edexcel 国际A-Level 数学 · IAL 2018 > 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-p4-binomial-expansion/ 本指南涵盖Edexcel IAL P4大纲中任意有理指数的二项式级数，包括调整形式展开$(ax+b)^n$、写出有效区间，以及使用部分分式分解展开有理函数。 **先修:** [部分分式分解（P4 §2.1）](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-p4-partial-fractions/); [基础代数运算](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-p2-algebraic-manipulation/) ## 学习目标 - 推导任意有理指数n下$(ax+b)^n$的二项式展开式 - 写出任意二项式级数对应的正确有效区间 - 先将有理函数分解为部分分式再进行展开 - 应用展开式计算小x值下的有效近似值 ## 调整标准二项式级数的形式 公式手册提供了任意有理指数n下$(1+x)^n$的标准二项式级数： $$1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \dots$$ 要展开$(ax+b)^n$，首先提取常数项b，将表达式改写为$1 + kx$的形式： $$(ax + b)^n = b^n\left(1 + \frac{a}{b}x\right)^n$$ **有理指数下的二项式级数** — 二项式的有理指数次幂的无穷幂级数展开，仅在特定x区间内收敛 *例:* $(1 - 3x)^{-1} = 1 + 3x + 9x^2 + 27x^3 + \dots$ for $|x|<\frac{1}{3}$ **例题:** 求$(2 + 4x)^{-\frac{1}{2}}$展开式的前三个非零项 1. 1. 从括号中提取常数项2： $$(2 + 4x)^{-\frac{1}{2}} = 2^{-\frac{1}{2}}\left(1 + \frac{4}{2}x\right)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(1 + 2x\right)^{-\frac{1}{2}}$$ 2. 2. 将$n = -\frac{1}{2}$代入标准二项式级数到$(1 + 2x)^{-\frac{1}{2}}$，将原公式中的x替换为2x： $$(1 + 2x)^{-\frac{1}{2}} = 1 + \left(-\frac{1}{2}\right)(2x) + \frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)}{2!}(2x)^2 + \dots$$ 3. 3. 化简每一项： $$= 1 - x + \frac{3}{8}(4x^2) + \dots = 1 - x + \frac{3}{2}x^2 + \dots$$ 4. 4. 乘以提取出的常数$\frac{1}{\sqrt{2}}$： $$= \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{3x^2}{2\sqrt{2}} + \dots （可根据要求有理化）$$ > **考试提示:** 务必先提取出较大的常数项，保证剩余括号内的表达式为$1 + kx$的形式，避免计算错误。 *计算器:* allowed ## 二项式级数的有效区间 标准二项式级数仅在$1 + kx$括号内的表达式的绝对值小于1时收敛。对于展开形式$b^n\left(1 + \frac{a}{b}x\right)^n$，收敛条件为： $$\left|\frac{a}{b}x\right| < 1$$ 整理后得到x的有效区间：$|x| < \frac{b}{a}$。你必须在任何二项式展开式旁边标注该区间才能获得全部分数。 > **warning** > > 如果你通过部分分式展开多个项，整体有效区间是所有单个项有效区间的交集（最小的区间）。 **例题:** 写出$(3 - 6x)^{\frac{2}{3}}$展开式的有效区间 1. 1. 提取常数项3： $$(3 - 6x)^{\frac{2}{3}} = 3^{\frac{2}{3}}\left(1 - 2x\right)^{\frac{2}{3}}$$ 2. 2. 对括号内的表达式应用收敛条件： $$|-2x| < 1 \implies 2|x| < 1$$ 3. 3. 整理求解$|x|$： $$|x| < \frac{1}{2}$$ **概念自测** 测试你对有效区间的理解： 1. $(4 + 12x)^{-2}$的有效区间是什么？ - $|x| < 1/3$ - $|x| < 3$ - $|x| < 1/4$ - $|x| < 4$ *答案:* $|x| < 1/3$ *解析:* 正确：提取4后得到$(1 + 3x)^{-2}$，因此$|3x| < 1 \implies |x| < 1/3$。 *计算器:* allowed ## 通过部分分式展开有理函数 很多考试题目要求你展开分子次数小于分母次数的有理函数。首先将函数分解为部分分式（P4 §2.1内容），然后使用二项式级数分别展开每个部分分式项，最后合并同类项。 **例题:** 给定$\frac{3x + 5}{(x+1)(x+2)}$，求其二项式展开的前三项并写出整体有效区间。 1. 1. 首先分解为部分分式并改写为二项式形式： $$\frac{3x +5}{(x+1)(x+2)} = \frac{2}{x+1} + \frac{1}{x+2} = 2(1 + x)^{-1} + \frac{1}{2}\left(1 + \frac{x}{2}\right)^{-1}$$ 2. 2. 分别展开每一项： - 第一项：$2(1+x)^{-1} = 2\left(1 - x + x^2 + \dots\right) = 2 - 2x + 2x^2 + \dots$，有效区间为$|x|<1$ - 第二项：$\frac{1}{2}\left(1 + \frac{x}{2}\right)^{-1} = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} + \dots\right) = \frac{1}{2} - \frac{x}{4} + \frac{x^2}{8} + \dots$，有效区间为$|x|<2$ 3. 3. 合并同类项： $$(2 + 1/2) + (-2x - x/4) + (2x^2 + x^2/8) + \dots = \frac{5}{2} - \frac{9x}{4} + \frac{17x^2}{8} + \dots$$ 4. 4. 整体有效区间是$|x|<1$和$|x|<2$中更小的那个，即$|x|<1$。 > **考试提示:** 务必先做部分分式分解再展开，不要尝试直接对整个分母展开，这会导致错误失分。 *计算器:* allowed ## 使用二项式展开求近似值 你可能被要求使用二项式展开式，代入有效区间内的小x值来近似原表达式的结果。将小x值代入展开式的前几项即可得到近似值。 **例题:** 使用$(1 + 0.02)^{-3}$展开式的前三项求近似值，结果保留4位小数。 1. 1. 写出$(1 + x)^{-3}$展开到$x^2$项的形式： $$(1+x)^{-3} = 1 - 3x + \frac{(-3)(-4)}{2!}x^2 + \dots = 1 - 3x + 6x^2 + \dots$$ 2. 2. 将$x=0.02$代入展开式： $$(1 + 0.02)^{-3} ≈ 1 - 3(0.02) + 6(0.02)^2 = 1 - 0.06 + 0.0024 = 0.9424$$ 3. 3. 验证数值在有效区间内：$|0.02| < 1$，因此该近似值有效。 > **考试提示:** 在使用展开式求近似值之前，务必检查x值是否在有效区间内；如果不在，得到的近似值将是错误的。 *计算器:* allowed ## 常见错误 - **错误做法:** 对有理指数使用带组合数$^nC_r$的正整数次二项式公式 - 原因: $^nC_r$公式仅在n为正整数时适用于有限展开，不适用于有理指数的无穷级数 - 正确做法: 在P4中对所有有理指数使用公式手册中给出的标准无穷级数公式 - **错误做法:** 在应用标准级数之前忘记提取常数项 - 原因: 标准级数仅适用于$(1 + kx)$形式的表达式，直接应用到$(ax + b)$会得到错误的项 - 正确做法: 务必先提取常数b，将表达式改写为$b^n\left(1 + \frac{a}{b}x\right)^n$之后再展开 - **错误做法:** 将有效区间写为$|x| < a/b$而非$|x|