# 数值方法（Edexcel IAL P3）

> Edexcel 国际A-Level 数学 · Edexcel IAL 数学 P3 (WMA13)
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-p3-numerical-methods/

本指南涵盖Edexcel IAL 纯数学3（P3）要求的两项核心数值方法技能：使用符号变号法则定位f(x)=0的根，以及应用给定的迭代递推关系式求根的近似值。

**先修:** [能够对给定x值计算连续函数的函数值](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-p1-functions/); [熟悉递推关系式的相关知识](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-p2-sequences-series/)

## 学习目标

- 使用连续函数的符号变号法则定位f(x)=0的根
- 应用给定的迭代递推关系式计算根的近似值
- 在考试题目中使用符号变号推理证明近似根的精度

## 1. 使用符号变号法则进行根定位

**根定位的符号变号法则** — 对于区间[a, b]上的连续函数f(x)，若f(a)和f(b)符号相反（一正一负），则开区间(a, b)内至少存在一个\(f(x) = 0\)的根。

*例:* 若f(1.2) = -0.3且f(1.3) = 0.4，则1.2和1.3之间存在一个根。

即使题目没有明确要求，你也需要在考试作答中说明f(x)的连续性才能拿到全部分数。不连续函数（例如存在渐近线的函数）可能出现符号变号但不存在根的情况，因此连续性条件是必不可少的。

**例题:** 证明函数\(f(x) = x^3 - 3x + 1\)在区间(1.5, 1.6)内存在一个根。

1. 步骤1：计算区间下界处的f(x)值

   $$f(1.5) = (1.5)^3 - 3(1.5) + 1 = 3.375 - 4.5 + 1 = -0.125$$
2. 步骤2：计算区间上界处的f(x)值

   $$f(1.6) = (1.6)^3 - 3(1.6) + 1 = 4.096 - 4.8 + 1 = 0.296$$
3. 步骤3：说明符号变号与连续性条件：f(x)是多项式，因此在全体实数x上连续。f(1.5) < 0且f(1.6) > 0，存在符号变号，这证明f(x)=0的一个根位于(1.5, 1.6)内。

> **考试提示**
>
> 如果题目要求你确认某个根精确到n位小数，测试区间取\([x - 0.5 \times 10^{-n}, x + 0.5 \times 10^{-n}]\)。对于2位小数精度，就是在你的近似根两侧取±0.005的范围。

*计算器:* allowed

## 2. 使用题目给定的迭代递推关系式

**根近似的迭代法** — 迭代法使用考试题目给出的形式为\(x_{n+1} = g(x_n)\)的递推关系式，生成收敛到f(x)=0的根的近似序列\(x_0, x_1, x_2, ...\)。

*例:* 递推关系式\(x_{n+1} = \sqrt[3]{3x_n - 1}\)可用于近似求解\(x^3 - 3x + 1 = 0\)的根。

在P3考试中，起始值\(x_0\)和递推关系式本身都会直接提供给你，本单元你不需要从f(x)=0自行推导递推关系式。

**例题:** 迭代公式\(x_{n+1} = \sqrt[3]{3x_n - 1}\)用于求\(f(x) = x^3 - 3x + 1 = 0\)的一个根。取\(x_0 = 1.5\)，求\(x_1, x_2, x_3\)的值，结果保留4位小数。

1. 步骤1：将\(x_0=1.5\)代入递推关系式计算\(x_1\)

   $$x_1 = \sqrt[3]{3(1.5) - 1} = \sqrt[3]{3.5} \approx 1.5183$$
2. 步骤2：使用计算器存储的完整\(x_1\)值计算\(x_2\)，不要使用舍入后的近似值

   $$x_2 = \sqrt[3]{3(1.5183) - 1} \approx 1.5257$$
3. 步骤3：使用计算器存储的完整\(x_2\)值计算\(x_3\)

   $$x_3 = \sqrt[3]{3(1.5257) - 1} \approx 1.5289$$
4. 步骤4：按照要求将所有最终结果保留4位小数：\(x_1=1.8708, x_2=2.1476, x_3=2.3330\)

> **warning**
>
> 计算下一次迭代时必须使用前一次结果的计算器全精度值，不能使用舍入后的值。对中间步骤舍入会产生累积误差，导致最终答案错误。

> **考试提示:** 如果题目询问为什么迭代序列会收敛到根，你可以对最后两次迭代值之间的区间使用符号变号法则，证明根位于该区间内。

*计算器:* allowed

## 3. 证明近似根的精度

常见的考试题目会要求你确认通过迭代得到的近似根精确到指定的小数位数或有效数字，这需要你在近似值周围的合适区间上使用符号变号法则。

**例题:** 证明通过迭代得到的\(f(x) = x^3 - 3x + 1 = 0\)的根x=1.532精确到3位小数。

1. 步骤1：确定3位小数精度对应的区间：所有介于1.5315和1.5325之间的值，在保留3位小数时都会舍入为1.532。

   $$\text{Test interval: } [1.5315, 1.5325]$$
2. 步骤2：计算区间两个端点处的f(x)值

   $$f(1.5315) = (1.5315)^3 - 3(1.5315) + 1 ≈ -0.0015$$
3. $$f(1.5325) = (1.5325)^3 - 3(1.5325) + 1 ≈ 0.0035$$
4. 步骤3：给出结论：f(x)是连续函数，区间上存在符号变号，因此根位于1.5315和1.5325之间，即x=1.532精确到3位小数。

**考试命令词**

本主题的关键指令术语：

- **Show that** — 你必须展示全部计算步骤，包括显式计算区间端点处的f(x)值，同时说明连续性和符号变号条件。 *(证明(1.2,1.3)内存在根要求你计算f(1.2)、f(1.3)，并说明符号变号与连续性。)*

- **Find** — 使用计算器全精度计算要求的迭代值，仅将最终答案舍入到题目指定的位数。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 使用符号变号法则时忘记说明f(x)是连续的。
  - 原因: 符号变号法则仅适用于连续函数；不连续函数的符号变号不能保证存在根，每道题你会因此丢失1分。
  - 正确做法: 始终添加一行说明："f(x)在[a,b]上连续（例如它是多项式/指数函数/三角函数），因此符号变号证明区间内存在根。"
- **错误做法:** 使用前一次迭代的舍入值计算下一项。
  - 原因: 舍入误差会在多次迭代中累积，导致最终结果错误。
  - 正确做法: 将每一次迭代的结果存储在计算器内存中，计算下一项时使用全精度值，仅对最终要写下的答案做舍入。
- **错误做法:** 证明n位小数精度时使用了错误的区间。
  - 原因: 使用[x - 10⁻ⁿ, x + 10⁻ⁿ]而不是[x - 0.5×10⁻ⁿ, x + 0.5×10⁻ⁿ]会导致符号变号测试错误。
  - 正确做法: 对于3位小数精度，在近似根两侧各取0.0005的范围作为测试区间，例如x=1.532对应的测试区间是[1.5315, 1.5325]。
- **错误做法:** 在f(a)或f(b)等于0的情况下应用符号变号法则。
  - 原因: 如果f(a)=0，那么a本身就是根，而不是包含根的区间的端点。
  - 正确做法: 如果f(a)=0，说明x=a是f(x)=0的精确根，不要使用符号变号法则。
- **错误做法:** 尝试自行推导迭代递推关系式。
  - 原因: P3考试中迭代公式一定会给出，自行推导是不必要的，还很可能得到不收敛的错误公式。
  - 正确做法: 完全使用题目给出的递推关系式，即使你知道其他可用的公式也不要替换。

## 速查表

| 技能 | 步骤 | 考试得分检查 |
| --- | --- | --- |
| 通过符号变号定位根 |  |  |
| 应用迭代公式 |  |  |
| 证明根的精度 |  |  |

## 下一步

在掌握Edexcel IAL P3数值方法的核心技能后，你可以将这些技巧应用到涉及多项式、三角函数和指数函数的各类考试题型中。数值方法经常和P3的其他主题（包括求导和三角恒等式）结合考察，因此练习跨主题混合题可以帮助你适应真实考试的出题结构。请确保你能熟练使用计算器快速计算函数值和运行迭代，时间管理在P3考试中非常关键。你还需要练习清晰地写出推导过程，本主题的很多分数是授予你的推理过程，而不仅仅是最终数值答案。

- [P3 求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-p3-differentiation/)

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