# 积分（Edexcel IAL 数学 P3 WMA13）

> Edexcel 国际 A-Level 数学 · P3 (WMA13)
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-p3-integration/

本指南覆盖Edexcel IAL纯数学3（WMA13）要求的全部积分内容，包括标准积分规则、识别积分法、使用恒等式的三角积分，专为IA2考试备考设计。

**先修:** [标准函数的求导（P2知识点）](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-p2-differentiation/); [三角恒等式（P2知识点）](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-p2-trigonometric-identities/)

## 学习目标

- 对包括 $e^{kx}$、$\frac{1}{x}$、$\sin kx$ 和 $\cos kx$ 在内的标准函数及其和差形式进行积分运算
- 对 $\int f'(x)/f(x) dx$ 和 $\int f'(x)[f(x)]^n dx$ 形式的积分应用识别积分法
- 使用三角恒等式改写平方三角函数项以完成积分
- 在所有不定积分结果中正确添加绝对值符号和积分常数

## P3 标准积分

下方列出了你在P3阶段必须掌握的核心标准积分集合。所有这些都是不定积分，因此你必须在每一个最终结果后添加积分常数$c$。

**标准积分** — 一组常见函数的反导数，可以直接应用，也可以应用于函数的线性组合。

*例:* $\int 3\cos 2x dx = \frac{3}{2}\sin 2x + c$

- $\int e^{kx} dx = \frac{1}{k}e^{kx} + c$
- $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + c, x \neq 0$
- $\int \sin kx dx = -\frac{1}{k}\cos kx + c$
- $\int \cos kx dx = \frac{1}{k}\sin kx + c$
- $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + c$

> **note**
>
> 以下积分会在考试公式手册中给出，你不需要背诵：$\int \sec^2 kx dx = \frac{1}{k}\tan kx + c$，$\int \tan x dx = \ln|\sec x| + c$，$\int \cot x dx = \ln|\sin x| + c$。

**例题:** 求$\int \left( 2e^{5x} + \frac{3}{2x} - 4\sin 3x \right) dx$

1. 使用标准积分规则分别对每一项积分：
2. $$\int 2e^{5x} dx = 2 \times \frac{1}{5}e^{5x} = \frac{2}{5}e^{5x}$$
3. $$\int \frac{3}{2x} dx = \frac{3}{2} \int \frac{1}{x} dx = \frac{3}{2}\ln|x|$$
4. $$\int -4\sin 3x dx = -4 \times \left(-\frac{1}{3}\cos 3x\right) = \frac{4}{3}\cos 3x$$
5. 合并所有结果并添加积分常数$c$：
6. $$\frac{2}{5}e^{5x} + \frac{3}{2}\ln|x| + \frac{4}{3}\cos 3x + c$$

> **考试提示:** 对$1/(kx)$积分时，先把$1/k$提出来避免出错：$\int 1/(2x) dx = (1/2)\ln|x| + c$，而不是$2\ln|x| + c$。

## 识别积分法：反向链式法则

识别积分法也叫反向链式法则，可以对结构为复合函数导数的函数进行积分。P3阶段你必须掌握两种核心形式。

**识别积分形式** — 两种不需要换元就可以完成积分的标准反向链式法则结构。

> **tip**
>
> 如果被积函数中$f'(x)$的系数不是1，你可以乘以该常数的倒数来调整，让积分匹配要求的形式。

**例题:** 求$\int 10x(3x^2 + 7)^4 dx$

1. 识别出$f(x) = 3x^2 + 7$，因此$f'(x) = 6x$。
2. 积分中的项是10x，也就是$\frac{10}{6} \times f'(x) = \frac{5}{3}f'(x)$。改写积分：
3. $$\int \frac{5}{3} \times 6x(3x^2 +7)^4 dx = \frac{5}{3} \int f'(x)[f(x)]^4 dx$$
4. 代入第一条识别规则，令$n=4$：
5. $$\frac{5}{3} \times \frac{[f(x)]^5}{5} + c = \frac{1}{3}(3x^2 +7)^5 + c$$

**例题:** 求$\int \frac{6\cos 2x}{\sin 2x + 5} dx$

1. 识别出$f(x) = \sin 2x + 5$，因此$f'(x) = 2\cos 2x$。
2. 分子是$6\cos 2x = 3 \times 2\cos 2x = 3f'(x)$。改写积分：
3. $$3 \int \frac{f'(x)}{f(x)} dx$$
4. 应用第二条识别规则：
5. $$3\ln|f(x)| + c = 3\ln|\sin 2x + 5| + c$$

> **考试提示:** 对识别积分的结果求导进行校验：如果你得到了原来的被积函数，说明你的答案是正确的。这是考试中快速排查错误的好方法。

## 使用恒等式积分三角函数

很多三角积分无法直接用标准规则求解，因此你需要先用三角恒等式改写被积函数，把它转化为可以直接积分的形式。

**P3积分核心三角恒等式** — 二倍角恒等式和毕达哥拉斯恒等式，用于将平方三角函数改写为可积分的线性形式。

*例:* $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$，$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$，$\tan^2 x = \sec^2 x - 1$

**例题:** 求$\int \tan^2 3x dx$

1. 使用毕达哥拉斯恒等式$\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1$，令$\theta = 3x$：
2. $$\int (\sec^2 3x - 1) dx$$
3. 分别对两项积分，使用公式手册给出的$\int \sec^2 kx dx$结果：
4. $$\int \sec^2 3x dx = \frac{1}{3}\tan 3x$$
5. $$\int -1 dx = -x$$
6. 合并结果并添加积分常数：
7. $$\frac{1}{3}\tan 3x - x + c$$

**例题:** 求$\int 4\cos^2 2x dx$

1. 应用余弦平方的二倍角恒等式：$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$，令$\theta = 2x$：
2. $$4 \times \int \frac{1 + \cos 4x}{2} dx = 2 \int (1 + \cos 4x) dx$$
3. 逐项积分：
4. $$2 \left( x + \frac{1}{4}\sin 4x \right) + c$$
5. 化简最终结果：
6. $$2x + \frac{1}{2}\sin 4x + c$$

> **考试提示:** 一定要先写下你使用的恒等式来展示步骤。即使后续出现算术错误，Edexcel也会为正确应用恒等式给分。

## 考试风格混合积分练习

P3考试题目经常在同一道题中结合多种积分技巧，要求你为被积函数的每一部分选择正确的规则或恒等式。

**例题:** 将$\int \left( \tan x + 3\cos^2 x \right) dx$化简为待积分形式（不需要计算P4范围内的内容）

1. 将积分拆分为两个独立项：
2. $$\int \tan x dx + \int 3\cos^2 x dx$$
3. 第一项：使用公式手册给出的结果$\int \tan x dx = \ln|\sec x| + c_1$
4. 第二项：使用二倍角恒等式改写$\cos^2 x$：
5. $$3 \times \int \frac{1 + \cos 2x}{2} dx = \frac{3}{2} \int 1 dx + \frac{3}{2} \int \cos 2x dx$$
6. 对标准项积分：
7. $$\frac{3}{2}x + \frac{3}{4}\sin 2x + c_2$$
8. 合并所有结果，将常数合并为单个$c$：
9. $$\ln|\sec x| + \frac{3}{2}x + \frac{3}{4}\sin 2x + c$$

**概念自测**

1. $\int 2\sec^2 5x dx$的结果是什么？

   *解析:* 正确！这里使用了公式手册给出的$\int \sec^2 kx dx = (1/k)\tan kx + c$结果。

2. 积分$\sin^2 4x$需要使用什么恒等式？

   *解析:* 正确。这个恒等式将平方正弦项改写为可以直接积分的线性形式。

## 常见错误

- **错误做法:** 在不定积分的最终结果中忘记添加积分常数$c$
  - 原因: Edexcel在P3积分题中每遗漏一个积分常数会扣1分
  - 正确做法: 无论使用什么方法，都要在每一个不定积分的最后一步添加$+ c$
- **错误做法:** 对$1/x$或$f'(x)/f(x)$积分时，在ln的自变量两侧遗漏绝对值符号
  - 原因: 自然对数仅对正值有定义，因此绝对值是数学正确性的必要要求，遗漏会被扣分
  - 正确做法: 对这类积分形式始终写$\ln|f(x)|$，不要写$\ln(f(x))$
- **错误做法:** 对$\sin kx$积分时符号出错
  - 原因: $\cos kx$的导数是$-k\sin kx$，因此$\sin kx$的积分需要带负号
  - 正确做法: 牢记$\int \sin kx dx = -\frac{1}{k}\cos kx + c$，对结果求导进行二次校验
- **错误做法:** 错误地将$1/(kx)$积分得到$k\ln|x| + c$
  - 原因: 分母中x的系数是可以提到积分外的常数因子，最终结果中它会出现在分数的分子位置
  - 正确做法: 将$1/(kx)$改写为$(1/k)(1/x)$，因此积分结果是$(1/k)\ln|x| + c$
- **错误做法:** 在P3识别积分题中尝试使用换元积分或分部积分
  - 原因: 这些方法属于P4内容，在考试中使用会浪费时间，如果步骤不完整可能无法拿到全部分数
  - 正确做法: P3中的反向链式法则问题使用两种识别积分形式求解

## 速查表

| 积分类型 | 规则 | 备注 |
| --- | --- | --- |
| $\int e^{kx} dx$ | $\frac{1}{k}e^{kx} + c$ | 需要背诵 |
| $\int \frac{1}{x} dx$ | $\ln\|x\| + c$ | 必须包含绝对值 |
| $\int \sin kx dx$ | $-\frac{1}{k}\cos kx + c$ | 需要带负号 |
| $\int \cos kx dx$ | $\frac{1}{k}\sin kx + c$ | 不带负号 |
| $\int f'(x)[f(x)]^n dx$ | $\frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1} + c, n \neq -1$ | 识别积分（反向链式法则） |
| $\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx$ | $\ln\|f(x)\| + c$ | 必须包含绝对值 |
| $\int \tan^2 kx dx$ | $\frac{1}{k}\tan kx - x + c$ | 使用$\tan^2 = \sec^2 - 1$ |
| $\int \sin^2 kx dx$ | $\frac{x}{2} - \frac{\sin 2kx}{4k} + c$ | 使用二倍角恒等式 |

## 下一步

现在你已经掌握了P3的全部积分内容，可以继续学习纯数学4（P4）中的更高级积分技巧，包括换元积分、分部积分和部分分式积分。这些技能直接建立在你P3学到的识别积分规则之上，因此在继续学习之前请确保你能熟练识别复合函数中的$f(x)$和$f'(x)$。你还会使用这些积分技巧来解决P4中涉及旋转体体积和可分离微分方程的高分值考题。想要更多P3练习，可以完成WMA13试卷中的历年积分题，只做要求使用标准规则、识别积分和三角恒等式的题目，定积分和面积问题属于P2内容。

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