微分（Edexcel IAL 纯数学3）

Q: P3考试中哪些微分公式是给出的？

公式手册提供、、、的导数以及商数法则。你必须熟记、、、的导数，以及和法则、乘积法则、链式法则和的求导法则。

Edexcel 国际A-Level 数学· WMA13 Unit P3 §4.1 to §4.4· 25 分钟阅读

1. P3标准函数的微分★★☆☆☆⏱ 5 min

✓ 计算器

首先熟记你需要掌握的标准导数（公式手册不会提供），同时牢记给出的倒数三角函数导数。你可以直接使用和法则对这些函数的任意和或差求导：分别对每一项求导即可。

📘 定义

P3标准导数

需要熟记： $\frac{d}{d x} (sin k x) = k cos k x$ ， $\frac{d}{d x} (cos k x) = - k sin k x$ ， $\frac{d}{d x} (e^{k x}) = k e^{k x}$ ， $\frac{d}{d x} (ln k x) = 1/ x$ ， $\frac{d}{d x} (a^{x}) = a^{x} ln a$ 。公式手册给出： $\frac{d}{d x} (tan k x) = k sec^{2} k x$ ， $\frac{d}{d x} (sec x) = sec x tan x$ ， $\frac{d}{d x} (cot x) = - cosec^{2} x$ ， $\frac{d}{d x} (cosec x) = - cosec x cot x$ 。

📐 例题

对函数 $f (x) = 3 e^{2 x} + 4 cos 3 x + ln 5 x$ 关于x求导。

1
使用和法则分别对每一项求导：
2
$\frac{d}{dx}(3e^{2x}) = 3 \times 2e^{2x} = 6e^{2x}$
3
$\frac{d}{dx}(4\cos 3x) = 4 \times (-3\sin 3x) = -12\sin 3x$
4
$\frac{d}{dx}(\ln 5x) = \frac{1}{x}$
5
合并各项得到最终导数：
6
$f'(x) = 6e^{2x} - 12\sin 3x + \frac{1}{x}$

Exam tip:

记住 $ln k x$ 的导数是 $1/ x$ 而非 $k / x$ ，因为应用链式法则或拆分 $ln k + ln x$ 时k会被消去。

2. 应用链式、乘积和商数法则★★★☆☆⏱ 7 min

✓ 计算器

对于复合函数、两个函数的乘积或两个函数的商，使用对应的求导法则。对于更复杂的函数，你可能需要组合多个法则，这在考试题目中十分常见。

📐 例题

对 $y = tan^{2} (2 x)$ 关于x求导。

1
改写为复合函数： $y = [tan (2 x)]^{2}$ ，令 $u = tan (2 x)$ ， $y = u^{2}$
2
应用链式法则： $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \times \frac{d u}{d x}$
3
$\frac{dy}{du} = 2u = 2\tan(2x)$
4
（使用 $k = 2$ 时 $tan k x$ 的给定导数）
$\frac{du}{dx} = 2\sec^2(2x)$
5
将结果相乘并代回u：
6
$\frac{dy}{dx} = 2\tan(2x) \times 2\sec^2(2x) = 4\tan(2x)\sec^2(2x)$

📐 例题

对 $y = 2 x^{4} sin x$ 关于x求导。

1
应用乘积法则：令 $u = 2 x^{4}$ ， $v = sin x$ ，因此 $\frac{d y}{d x} = u^{'} v + u v^{'}$
2
$u' = 8x^3, v' = \cos x$
3
$\frac{dy}{dx} = 8x^3\sin x + 2x^4\cos x = 2x^3(4\sin x + x\cos x)$

Exam tip:

在乘积/商数法则题中清晰标记函数（例如 $u =$ 第一项， $v =$ 第二项），避免计算过程中混淆各项。

3. 反函数微分：$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$★★★☆☆⏱ 4 min

✓ 计算器

当给定x作为y的函数时，你可以先计算 $\frac{d x}{d y}$ 再取其倒数得到 $\frac{d y}{d x}$ 。这避免了将表达式整理为y关于x的函数，而对于三角函数或指数函数来说，整理通常是不可能完成的。

📘 定义

反函数微分法则

对于连续函数且满足 $\frac{d x}{d y} \neq = 0$ ，有 $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{d x}{d y}}$ 。除非另有说明，最终答案应以x为变量。

📐 例题

已知 $x = sin 3 y$ ，求 $\frac{d y}{d x}$ ，答案以x为变量。

1
首先将x对y求导：
2
$\frac{dx}{dy} = 3\cos 3y$
3
取倒数得到以y为变量的 $\frac{d y}{d x}$ ：
4
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3\cos 3y}$
5
使用恒等式 $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ 将 $cos 3 y$ 改写为x的形式： $cos 3 y = 1 - sin^{2} 3 y = 1 - x^{2}$
6
代回得到以x为变量的最终答案：
7
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3\sqrt{1 - x^2}}$

Exam tip:

始终检查题目是否要求答案以x为变量；如果没有要求，以y为变量作答是可接受的，但通常转换为x才能拿到全部分数。

4. 指数增长与衰减模型★★★★☆⏱ 6 min

✓ 计算器

指数模型的形式为 $N = N_{0} e^{k t}$ ，其中 $N_{0}$ 是 $t = 0$ 时的初始值，k为正时表示增长，k为负时表示衰减。你需要对这些模型求导，分析t很大时的行为，并评估该模型在现实场景中的适用程度。

📐 例题

样本中的细菌数量由模型 $N = 200 e^{0.05 t}$ 描述，其中t为时间，单位为小时。(a) 求初始细菌数量。(b) 求t=10时N关于t的变化率，答案保留三位有效数字。(c) 解释为什么该模型对于t极大的情况不适用。

1
(a) 初始值对应 $t = 0$ ：
2
$N_0 = 200e^0 = 200$
3
(b) 对N求导得到变化率：
4
$\frac{dN}{dt} = 200 \times 0.05 e^{0.05t} = 10e^{0.05t}$
5
代入 $t = 10$ ：
6
（约16.5个细菌每小时，三位有效数字）
$\frac{dN}{dt} = 10e^{0.5} \approx 16.5$
7
(c) 当t极大时，N会无限制增长，这是不可能的，因为细菌最终会耗尽空间和营养，因此该模型高估了大t时的种群数量。

Exam tip:

评估模型适用性时，始终结合现实约束：种群上限、非负数量或指数模型未考虑的物理边界。

5. 常见陷阱

错误做法:

对 $cos k x$ 、 $cot x$ 或 $cosec x$ 求导时忘记负号

原因:

混淆余弦、余切、余割的负导数与正弦、正切、正割的正导数

正确做法:

对这些函数求导时先写出符号，再补充导数的其余部分

错误做法:

计算 $\frac{d}{d x} (ln k x) = \frac{k}{x}$

原因:

错误应用链式法则，忘记 $ln k x = ln k + ln x$ ，因此常数 $ln k$ 的导数为0

正确做法:

熟记无论k取何值都有 $\frac{d}{d x} (ln k x) = \frac{1}{x}$ ，或正确应用链式法则： $\frac{1}{k x} \times k = \frac{1}{x}$

错误做法:

将商数法则的分子写为 $f g^{'} - f^{'} g$ 而非 $f^{'} g - f g^{'}$

原因:

混淆项的顺序导致符号错误

正确做法:

使用助记口诀：“下导上减上导下，整体除以下方平方”

错误做法:

当题目要求答案以x为变量时， $\frac{d y}{d x}$ 仍以y为变量表示

原因:

取倒数后忘记使用三角/代数恒等式将含y的项转换为x的形式

正确做法:

明确检查题目要求，必要时使用相关恒等式将y替换为x

错误做法:

对 $a^{x}$ 应用幂法则得到 $x a^{x - 1}$

原因:

混淆指数函数（变量在指数上）和幂函数（变量在底数上）

正确做法:

判断变量是在底数上（使用幂法则）还是指数上（使用 $\frac{d}{d x} (a^{x}) = a^{x} ln a$ ）

6. 速查表

法则/函数	导数	公式手册中给出？
$sin k x$	$k cos k x$	否
$cos k x$	$- k sin k x$	否
$e^{k x}$	$k e^{k x}$	否
$ln k x$	$\frac{1}{x}$	否
$a^{x}$	$a^{x} ln a$	否
$tan k x$	$k sec^{2} k x$	是
$sec x$	$sec x tan x$	是
$cot x$	$- cosec^{2} x$	是
$cosec x$	$- cosec x cot x$	是
乘积法则 ( $f g$ )	$f^{'} g + f g^{'}$	否
商数法则 ( $f / g$ )	$\frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}$	是
链式法则 ( $f (g (x))$ )	$f^{'} (g (x)) g^{'} (x)$	否
反函数微分	$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{d x}{d y}}$	否

7. 常见问题

P3考试中哪些微分公式是给出的？

公式手册提供 $tan k x$ 、 $sec x$ 、 $cot x$ 、 $cosec x$ 的导数以及商数法则。你必须熟记 $sin k x$ 、 $cos k x$ 、 $e^{k x}$ 、 $ln x$ 的导数，以及和法则、乘积法则、链式法则和 $a^{x}$ 的求导法则。

P3指数模型题需要我构造微分方程吗？

不需要，构造微分方程是P4的内容。P3部分你会直接得到指数模型，要求对其进行分析或求导。

深入阅读

formula_bookletEdexcel IAL 数学 2018 考纲版公式手册包含所有P3给定的微分公式

下一步

掌握P3微分内容后，你可以继续学习P4的高级微分主题，包括隐函数微分、参数微分以及相关变化率。你还应该练习将这些法则应用于P3历年真题，熟悉考试表述和评分标准。考试前务必熟记所有非给定的导数，它们在多种题型中都频繁出现。指数增长/衰减题通常和对数题结合出现，因此复习P3对数内容将帮助你高效完成多步大题。