# 微分（Edexcel IAL 纯数学3）

> Edexcel 国际A-Level 数学 · IAL P3 数学 2018 考纲版
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-p3-differentiation/

本指南涵盖Edexcel IAL P3全部微分内容，包括标准函数导数、链式/乘积/商数法则、反函数微分以及2018 WMA13考纲要求的指数增长/衰减模型。

**先修:** [基础多项式微分（P1）](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-p1-basic-differentiation/); [驻点及其应用（P2）](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-p2-stationary-points/)

## 学习目标

- 对P3标准函数求导，包括$e^{kx}$、$\ln  kx$、三角函数及其倒数
- 将链式、乘积和商数法则应用于复合函数、乘积函数和商函数
- 使用恒等式$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$进行反函数微分
- 求解指数增长/衰减问题，分析模型适用性并应用$\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a$法则

## P3标准函数的微分

首先熟记你需要掌握的标准导数（公式手册不会提供），同时牢记给出的倒数三角函数导数。你可以直接使用和法则对这些函数的任意和或差求导：分别对每一项求导即可。

**P3标准导数** — 需要熟记：$\frac{d}{dx}(\sin kx) = k\cos kx$，$\frac{d}{dx}(\cos kx) = -k\sin kx$，$\frac{d}{dx}(e^{kx}) = ke^{kx}$，$\frac{d}{dx}(\ln kx) = 1/x$，$\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a$。公式手册给出：$\frac{d}{dx}(\tan kx) = k\sec^2 kx$，$\frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x$，$\frac{d}{dx}(\cot x) = -\cosec^2 x$，$\frac{d}{dx}(\cosec x) = -\cosec x \cot x$。

**例题:** 对函数$f(x) = 3e^{2x} + 4\cos 3x + \ln 5x$关于x求导。

1. 使用和法则分别对每一项求导：
2. $$\frac{d}{dx}(3e^{2x}) = 3 \times 2e^{2x} = 6e^{2x}$$
3. $$\frac{d}{dx}(4\cos 3x) = 4 \times (-3\sin 3x) = -12\sin 3x$$
4. $$\frac{d}{dx}(\ln 5x) = \frac{1}{x}$$
5. 合并各项得到最终导数：
6. $$f'(x) = 6e^{2x} - 12\sin 3x + \frac{1}{x}$$

> **考试提示:** 记住$\ln  kx$的导数是$1/x$而非$k/x$，因为应用链式法则或拆分$\ln  k + \ln  x$时k会被消去。

*计算器:* allowed

## 应用链式、乘积和商数法则

对于复合函数、两个函数的乘积或两个函数的商，使用对应的求导法则。对于更复杂的函数，你可能需要组合多个法则，这在考试题目中十分常见。

**例题:** 对$y = \tan^2(2x)$关于x求导。

1. 改写为复合函数：$y = [\tan(2x)]^2$，令$u = \tan(2x)$，$y = u^2$
2. 应用链式法则：$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx}$
3. $$\frac{dy}{du} = 2u = 2\tan(2x)$$
4. （使用$k=2$时$\tan kx$的给定导数）

   $$\frac{du}{dx} = 2\sec^2(2x)$$
5. 将结果相乘并代回u：
6. $$\frac{dy}{dx} = 2\tan(2x) \times 2\sec^2(2x) = 4\tan(2x)\sec^2(2x)$$

**例题:** 对$y = 2x^4 \sin x$关于x求导。

1. 应用乘积法则：令$u = 2x^4$，$v = \sin x$，因此$\frac{dy}{dx} = u'v + uv'$
2. $$u' = 8x^3, v' = \cos x$$
3. $$\frac{dy}{dx} = 8x^3\sin x + 2x^4\cos x = 2x^3(4\sin x + x\cos x)$$

> **考试提示:** 在乘积/商数法则题中清晰标记函数（例如$u =$第一项，$v =$第二项），避免计算过程中混淆各项。

*计算器:* allowed

## 反函数微分：$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$

当给定x作为y的函数时，你可以先计算$\frac{dx}{dy}$再取其倒数得到$\frac{dy}{dx}$。这避免了将表达式整理为y关于x的函数，而对于三角函数或指数函数来说，整理通常是不可能完成的。

**反函数微分法则** — 对于连续函数且满足$\frac{dx}{dy} ≠ 0$，有$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$。除非另有说明，最终答案应以x为变量。

**例题:** 已知$x = \sin 3y$，求$\frac{dy}{dx}$，答案以x为变量。

1. 首先将x对y求导：
2. $$\frac{dx}{dy} = 3\cos 3y$$
3. 取倒数得到以y为变量的$\frac{dy}{dx}$：
4. $$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3\cos 3y}$$
5. 使用恒等式$\sin^2θ + \cos^2θ = 1$将$\cos 3y$改写为x的形式：$\cos 3y = \sqrt{1 - \sin^2 3y} = \sqrt{1 - x^2}$
6. 代回得到以x为变量的最终答案：
7. $$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3\sqrt{1 - x^2}}$$

> **考试提示:** 始终检查题目是否要求答案以x为变量；如果没有要求，以y为变量作答是可接受的，但通常转换为x才能拿到全部分数。

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## 指数增长与衰减模型

指数模型的形式为$N = N_0e^{kt}$，其中$N_0$是$t=0$时的初始值，k为正时表示增长，k为负时表示衰减。你需要对这些模型求导，分析t很大时的行为，并评估该模型在现实场景中的适用程度。

> **info**
>
> $a^x$的导数是$a^x \ln a$，该法则用于模型题中出现的底数不为e的指数函数。

**例题:** 样本中的细菌数量由模型$N = 200e^{0.05t}$描述，其中t为时间，单位为小时。(a) 求初始细菌数量。(b) 求t=10时N关于t的变化率，答案保留三位有效数字。(c) 解释为什么该模型对于t极大的情况不适用。

1. (a) 初始值对应$t=0$：
2. $$N_0 = 200e^0 = 200$$
3. (b) 对N求导得到变化率：
4. $$\frac{dN}{dt} = 200 \times 0.05 e^{0.05t} = 10e^{0.05t}$$
5. 代入$t=10$：
6. （约16.5个细菌每小时，三位有效数字）

   $$\frac{dN}{dt} = 10e^{0.5} \approx 16.5$$
7. (c) 当t极大时，N会无限制增长，这是不可能的，因为细菌最终会耗尽空间和营养，因此该模型高估了大t时的种群数量。

> **考试提示:** 评估模型适用性时，始终结合现实约束：种群上限、非负数量或指数模型未考虑的物理边界。

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## 常见错误

- **错误做法:** 对$\cos kx$、$\cot x$或$\cosec x$求导时忘记负号
  - 原因: 混淆余弦、余切、余割的负导数与正弦、正切、正割的正导数
  - 正确做法: 对这些函数求导时先写出符号，再补充导数的其余部分
- **错误做法:** 计算$\frac{d}{dx}(\ln kx) = \frac{k}{x}$
  - 原因: 错误应用链式法则，忘记$\ln  kx = \ln  k + \ln  x$，因此常数$\ln  k$的导数为0
  - 正确做法: 熟记无论k取何值都有$\frac{d}{dx}(\ln kx) = \frac{1}{x}$，或正确应用链式法则：$\frac{1}{kx} \times k = \frac{1}{x}$
- **错误做法:** 将商数法则的分子写为$fg' - f'g$而非$f'g - fg'$
  - 原因: 混淆项的顺序导致符号错误
  - 正确做法: 使用助记口诀：“下导上减上导下，整体除以下方平方”
- **错误做法:** 当题目要求答案以x为变量时，$\frac{dy}{dx}$仍以y为变量表示
  - 原因: 取倒数后忘记使用三角/代数恒等式将含y的项转换为x的形式
  - 正确做法: 明确检查题目要求，必要时使用相关恒等式将y替换为x
- **错误做法:** 对$a^x$应用幂法则得到$xa^{x-1}$
  - 原因: 混淆指数函数（变量在指数上）和幂函数（变量在底数上）
  - 正确做法: 判断变量是在底数上（使用幂法则）还是指数上（使用$\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a$）

## 速查表

| 法则/函数 | 导数 | 公式手册中给出？ |
| --- | --- | --- |
| $\sin kx$ | $k\cos kx$ | 否 |
| $\cos kx$ | $-k\sin kx$ | 否 |
| $e^{kx}$ | $ke^{kx}$ | 否 |
| $\ln kx$ | $\frac{1}{x}$ | 否 |
| $a^x$ | $a^x \ln a$ | 否 |
| $\tan kx$ | $k\sec^2 kx$ | 是 |
| $\sec x$ | $\sec x \tan x$ | 是 |
| $\cot x$ | $-\cosec^2 x$ | 是 |
| $\cosec x$ | $-\cosec x \cot x$ | 是 |
| 乘积法则 ($fg$) | $f'g + fg'$ | 否 |
| 商数法则 ($f/g$) | $\frac{f'g - fg'}{g^2}$ | 是 |
| 链式法则 ($f(g(x))$) | $f'(g(x))g'(x)$ | 否 |
| 反函数微分 | $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$ | 否 |

## 下一步

掌握P3微分内容后，你可以继续学习P4的高级微分主题，包括隐函数微分、参数微分以及相关变化率。你还应该练习将这些法则应用于P3历年真题，熟悉考试表述和评分标准。考试前务必熟记所有非给定的导数，它们在多种题型中都频繁出现。指数增长/衰减题通常和对数题结合出现，因此复习P3对数内容将帮助你高效完成多步大题。

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