代数与函数（Edexcel IAL P3）
Edexcel 国际A-Level 数学· P3 §1.1 至 §1.4 (WMA13, 第3版，首次考核2019年)· 25 分钟阅读
1. 有理式化简（§1.1）★★☆☆☆⏱ 6 min
✓ 计算器
P3中的有理式仅包含线性或二次分母，化简方式为对分子和分母分别因式分解，再约去非零公因子。如果分子次数高于分母，先进行代数长除法再因式分解。本单元不考核部分分式内容。
有理式
分子和分母均为代数多项式的分式，P3考核范围内仅涉及线性或二次分母的有理式。
例:
(\frac{x^3 + 1}{x^2 - 1})
完全化简(\frac{x^3 + 1}{x^2 - 1})，并写出x的排除值。
- 1
使用标准多项式恒等式对分子和分母因式分解：
- 2
- 3
- 4
约去非零公因子((x + 1))，同时记录使原分母为零的排除值：(x \neq -1)和(x \neq 1)：
- 5
- 6
该表达式已完全化简，二次分子和线性分母之间没有公因子。
Exam tip:
即使题目没有明确要求，也必须写出x的排除值（使原分母为零的x取值）才能拿到全部分数。
2. 函数、复合函数与反函数（§1.2）★★★☆☆⏱ 7 min
✓ 计算器
函数是从输入集合（定义域）到输出集合（值域）的映射，每个输入恰好对应一个输出。一对一函数的每个输入都对应唯一输出，多对一函数的多个不同输入可以对应同一输出。复合函数记为fg(x)，表示先作用g再作用f。反函数逆映射原函数的操作，仅对一对一函数存在；其图像是原函数f(x)关于直线(y=x)的对称图像。
复合函数
将一个函数的输出作为另一个函数的输入得到的新函数，记为fg(x)，表示先作用g再作用f。
例:
若(f(x) = 2x + 3)且(g(x) = x^2)，则(fg(x) = 2x^2 + 3)
已知(f(x) = 2x + 3)的定义域为(x \geq 0)，(g(x) = x^2)的定义域为全体实数，求(a)(fg(x))，(b)f(x)的值域，(c)(f^{-1}(x))并写出其定义域。
- 1
(a) 求(fg(x))，将g(x)的输出代入f(x)：
- 2
- 3
(b) (f(x))是严格递增的线性函数，代入定义域边界即可得到最小输出值：
- 4
- 5
(f(x))的值域为(f(x) \geq 3)。
- 6
(c) 求反函数，令(y = f(x))，将x整理为表达式的主体，再交换x和y：
- 7
- 8
(f^{-1}(x))的定义域等于f(x)的值域，因此定义域为(x \geq 3)
Exam tip:
记住反函数的定义域始终等于原函数的值域，而非原函数的定义域。这是本主题最常见的失分点。
3. 模函数：图像、方程与不等式（§1.3）★★★☆☆⏱ 7 min
✓ 计算器
模函数返回输入的非负值，因此它的图像永远不会出现在x轴下方。绘制(y = |ax + b|)时，先画出直线(y = ax + b)，再将x轴下方的部分反射到x轴上方，得到顶点在(x = -\frac{b}{a})的V形图像。对于(y = |f(x)|)，将f(x)的负半部分反射到x轴上方；对于(y = f(|x|))，将f(x)的右半部分沿y轴反射到左侧。
模函数
返回输入非负值的函数(|x|)，定义为当(x \geq 0)时(|x| = x)，当(x < 0)时(|x| = -x)。
求解不等式(|2x - 1| > x + 5)。
- 1
先求解对应的等式(|2x - 1| = x + 5)得到临界点，根据模内表达式的符号拆分情况讨论：
- 2
情况1：(2x - 1 \geq 0)（即(x \geq 0.5)）：(2x - 1 = x + 5 \implies x = 6)
- 3
情况2：(2x - 1 < 0)（即(x < 0.5)）：(-(2x - 1) = x + 5 \implies -3x = 4 \implies x = -\frac{4}{3})
- 4
测试各区间判断是否满足原不等式：
- 5
- 对于(x < -\frac{4}{3})：代入测试值(x = -2)，(|-5| = 5 > -2 + 5 = 3) → 有效
- 对于(-\frac{4}{3} < x < 6)：代入测试值(x = 0)，(|-1| = 1 > 0 + 5 = 5) → 无效
- 对于(x > 6)：代入测试值(x = 7)，(|13| = 13 > 7 + 5 = 12) → 有效
- 6
最终解：(x < -\frac{4}{3})或(x > 6)
Exam tip:
求解模不等式时一定要分区间验证，不能直接移项忽略模号，否则会漏掉有效解或者引入增根。
4. 复合图像变换（§1.4）★★★★☆⏱ 5 min
✓ 计算器
P3考核四种标准变换的组合：垂直拉伸/反射(y = af(x))、垂直平移(y = f(x) + a)、水平平移(y = f(x + a))、水平拉伸/反射(y = f(ax))。始终先作用拉伸和反射，再作用平移，避免坐标映射错误。
描述将(y = \cos x)的图像变换为(y = -\cos(x + \frac{\pi}{4}) + 3)的完整变换序列。
- 1
- 沿x轴反射：将(y = \cos x)变换为(y = -\cos x)。
- 2
- 向左水平平移(\frac{\pi}{4})个单位：将(y = -\cos x)变换为(y = -\cos(x + \frac{\pi}{4}))。
- 3
- 向上垂直平移3个单位：得到最终图像(y = -\cos(x + \frac{\pi}{4}) + 3)。
Exam tip:
分别列出每一步变换才能拿到全部分数，不要将水平或垂直调整合并为单一步骤。注意(y = f(ax + b))明确不在P3考核范围内。
5. 常见陷阱
错误做法:
约去有理式中的公因子时不写出x的排除值
原因:
约去对部分x取值等于零的因子会导致表达式无定义，每道题会因此丢失1-2分
正确做法:
始终列出使原分母为零的x取值，即使题目没有明确要求
错误做法:
计算复合函数fg(x)时先作用f再作用g
原因:
记号fg(x)表示最右侧的函数先作用，即g在f之前作用，顺序不能颠倒
正确做法:
记住复合函数的作用顺序是从右到左，将右侧函数代入左侧函数
错误做法:
将原函数的定义域作为其反函数的定义域
原因:
反函数将原函数的输出作为输入，因此它的定义域等于原函数的值域
正确做法:
先计算原函数的值域，以此得到反函数的定义域
错误做法:
对模方程两边直接平方后不验证解
原因:
平方操作会引入不满足原模方程的增根
正确做法:
根据模内表达式的符号拆分情况讨论，或者将所有解代回原方程验证有效性
错误做法:
复合变换时先作用平移再作用拉伸/反射
原因:
先平移会在拉伸前移动图像位置，导致变换后的坐标完全错误
正确做法:
先完成所有拉伸和反射操作，再进行水平和垂直平移
6. 速查表
概念 | 核心规则 | 考试提醒 |
|---|---|---|
化简有理式 | 因式分解分子/分母，约去公因子 | 写出分母为零对应的x排除值 |
复合函数fg(x) | 先作用g再作用f，将g(x)代入f | 顺序从右到左，不是从左到右 |
反函数 | 仅对一对一函数存在，图像关于y=x对称 | f⁻¹的定义域等于原函数f的值域 |
模方程/不等式 | 按模内表达式≥0和<0拆分情况讨论 | 验证所有解/区间的有效性 |
复合变换 | 先作用拉伸/反射，再作用平移 | y=f(ax+b)不在P3考核范围内 |
7. 常见问题
P3代数与函数部分需要学习部分分式吗？
不需要，部分分式仅在P4中考核。P3仅要求通过因式分解和代数除法化简有理式，不涉及部分分式分解。
复合图像变换的作用顺序是什么？
始终先完成所有拉伸和反射操作，再进行水平或垂直平移，避免坐标映射错误。
函数什么时候存在合法的反函数？
只有当函数是一对一函数时才存在合法反函数。多对一函数必须先将定义域限制到一个子集，使其在该子集上为一对一函数，才能计算反函数。
P3会考核y=f(ax+b)这类变换吗？
不会，水平拉伸和平移的组合变换y=f(ax+b)明确不在P3考纲范围内，考试中不会出现。
深入阅读
下一步
掌握P3代数与函数内容后，你可以继续学习P3的下一个核心主题：三角恒等式与三角方程，该主题大量用到你刚学到的函数变换技巧。你掌握的有理式化简技能也会对后续P3微积分内容（包括更复杂函数的求导和积分）起到关键作用。本主题是P4部分分式和进阶微积分内容的基础，请确保你能熟练求解模不等式、计算反函数后再继续学习。定期练习历年真题，避开常见失分点，提升考试答题速度。