# 代数与函数（Edexcel IAL P3）

> Edexcel 国际A-Level 数学 · IAL P3 2018考纲
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-p3-algebra-and-functions/

本指南覆盖Edexcel IAL P3代数与函数的全部考纲内容，包括有理式化简、函数/定义域/值域、模方程/不等式、复合图像变换，完全贴合2018版WMA13考纲要求。

**先修:** [代数因式分解和基础函数记号（Edexcel IAL P1）](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-p1-algebra-basics/); [单一图像变换（Edexcel IAL P1）](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-p1-graph-transformations/)

## 学习目标

- 通过因式分解和代数除法化简有理式（仅要求线性/二次分母）
- 定义函数，计算定义域/值域，区分一对一/多对一映射，计算复合函数与反函数
- 绘制模函数图像，求解模方程与模不等式
- 应用垂直/水平拉伸、反射和平移的组合变换作用于函数图像

## 有理式化简（§1.1）

P3中的有理式仅包含线性或二次分母，化简方式为对分子和分母分别因式分解，再约去非零公因子。如果分子次数高于分母，先进行代数长除法再因式分解。本单元不考核部分分式内容。

**有理式** — 分子和分母均为代数多项式的分式，P3考核范围内仅涉及线性或二次分母的有理式。

*例:* \(\frac{x^3 + 1}{x^2 - 1}\)

**例题:** 完全化简\(\frac{x^3 + 1}{x^2 - 1}\)，并写出x的排除值。

1. 使用标准多项式恒等式对分子和分母因式分解：
2. $$x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$$
3. $$x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)$$
4. 约去非零公因子\((x + 1)\)，同时记录使原分母为零的排除值：\(x \neq -1\)和\(x \neq 1\)：
5. $$\frac{(x + 1)(x^2 - x + 1)}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1}$$
6. 该表达式已完全化简，二次分子和线性分母之间没有公因子。

> **考试提示:** 即使题目没有明确要求，也必须写出x的排除值（使原分母为零的x取值）才能拿到全部分数。

*计算器:* allowed

## 函数、复合函数与反函数（§1.2）

函数是从输入集合（定义域）到输出集合（值域）的映射，每个输入恰好对应一个输出。一对一函数的每个输入都对应唯一输出，多对一函数的多个不同输入可以对应同一输出。复合函数记为fg(x)，表示先作用g再作用f。反函数逆映射原函数的操作，仅对一对一函数存在；其图像是原函数f(x)关于直线\(y=x\)的对称图像。

**复合函数** — 将一个函数的输出作为另一个函数的输入得到的新函数，记为fg(x)，表示先作用g再作用f。

*例:* 若\(f(x) = 2x + 3\)且\(g(x) = x^2\)，则\(fg(x) = 2x^2 + 3\)

**例题:** 已知\(f(x) = 2x + 3\)的定义域为\(x \geq 0\)，\(g(x) = x^2\)的定义域为全体实数，求(a)\(fg(x)\)，(b)f(x)的值域，(c)\(f^{-1}(x)\)并写出其定义域。

1. (a) 求\(fg(x)\)，将g(x)的输出代入f(x)：
2. $$fg(x) = 2(g(x)) + 3 = 2x^2 + 3$$
3. (b) \(f(x)\)是严格递增的线性函数，代入定义域边界即可得到最小输出值：
4. $$f(0) = 2(0) + 3 = 3$$
5. \(f(x)\)的值域为\(f(x) \geq 3\)。
6. (c) 求反函数，令\(y = f(x)\)，将x整理为表达式的主体，再交换x和y：
7. $$y = 2x + 3 \implies x = \frac{y - 3}{2} \implies f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$$
8. \(f^{-1}(x)\)的定义域等于f(x)的值域，因此定义域为\(x \geq 3\)

> **考试提示:** 记住反函数的定义域始终等于原函数的值域，而非原函数的定义域。这是本主题最常见的失分点。

*计算器:* allowed

## 模函数：图像、方程与不等式（§1.3）

模函数返回输入的非负值，因此它的图像永远不会出现在x轴下方。绘制\(y = |ax + b|\)时，先画出直线\(y = ax + b\)，再将x轴下方的部分反射到x轴上方，得到顶点在\(x = -\frac{b}{a}\)的V形图像。对于\(y = |f(x)|\)，将f(x)的负半部分反射到x轴上方；对于\(y = f(|x|)\)，将f(x)的右半部分沿y轴反射到左侧。

**模函数** — 返回输入非负值的函数\(|x|\)，定义为当\(x \geq 0\)时\(|x| = x\)，当\(x < 0\)时\(|x| = -x\)。

**例题:** 求解不等式\(|2x - 1| > x + 5\)。

1. 先求解对应的等式\(|2x - 1| = x + 5\)得到临界点，根据模内表达式的符号拆分情况讨论：
2. 情况1：\(2x - 1 \geq 0\)（即\(x \geq 0.5\)）：\(2x - 1 = x + 5 \implies x = 6\)
3. 情况2：\(2x - 1 < 0\)（即\(x < 0.5\)）：\(-(2x - 1) = x + 5 \implies -3x = 4 \implies x = -\frac{4}{3}\)
4. 测试各区间判断是否满足原不等式：
5. - 对于\(x < -\frac{4}{3}\)：代入测试值\(x = -2\)，\(|-5| = 5 > -2 + 5 = 3\) → 有效
- 对于\(-\frac{4}{3} < x < 6\)：代入测试值\(x = 0\)，\(|-1| = 1 > 0 + 5 = 5\) → 无效
- 对于\(x > 6\)：代入测试值\(x = 7\)，\(|13| = 13 > 7 + 5 = 12\) → 有效
6. 最终解：\(x < -\frac{4}{3}\)或\(x > 6\)

> **考试提示:** 求解模不等式时一定要分区间验证，不能直接移项忽略模号，否则会漏掉有效解或者引入增根。

*计算器:* allowed

## 复合图像变换（§1.4）

P3考核四种标准变换的组合：垂直拉伸/反射\(y = af(x)\)、垂直平移\(y = f(x) + a\)、水平平移\(y = f(x + a)\)、水平拉伸/反射\(y = f(ax)\)。始终先作用拉伸和反射，再作用平移，避免坐标映射错误。

**例题:** 描述将\(y = \cos x\)的图像变换为\(y = -\cos(x + \frac{\pi}{4}) + 3\)的完整变换序列。

1. 1. 沿x轴反射：将\(y = \cos x\)变换为\(y = -\cos x\)。
2. 2. 向左水平平移\(\frac{\pi}{4}\)个单位：将\(y = -\cos x\)变换为\(y = -\cos(x + \frac{\pi}{4})\)。
3. 3. 向上垂直平移3个单位：得到最终图像\(y = -\cos(x + \frac{\pi}{4}) + 3\)。

> **考试提示:** 分别列出每一步变换才能拿到全部分数，不要将水平或垂直调整合并为单一步骤。注意\(y = f(ax + b)\)明确不在P3考核范围内。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 约去有理式中的公因子时不写出x的排除值
  - 原因: 约去对部分x取值等于零的因子会导致表达式无定义，每道题会因此丢失1-2分
  - 正确做法: 始终列出使原分母为零的x取值，即使题目没有明确要求
- **错误做法:** 计算复合函数fg(x)时先作用f再作用g
  - 原因: 记号fg(x)表示最右侧的函数先作用，即g在f之前作用，顺序不能颠倒
  - 正确做法: 记住复合函数的作用顺序是从右到左，将右侧函数代入左侧函数
- **错误做法:** 将原函数的定义域作为其反函数的定义域
  - 原因: 反函数将原函数的输出作为输入，因此它的定义域等于原函数的值域
  - 正确做法: 先计算原函数的值域，以此得到反函数的定义域
- **错误做法:** 对模方程两边直接平方后不验证解
  - 原因: 平方操作会引入不满足原模方程的增根
  - 正确做法: 根据模内表达式的符号拆分情况讨论，或者将所有解代回原方程验证有效性
- **错误做法:** 复合变换时先作用平移再作用拉伸/反射
  - 原因: 先平移会在拉伸前移动图像位置，导致变换后的坐标完全错误
  - 正确做法: 先完成所有拉伸和反射操作，再进行水平和垂直平移

## 速查表

| 概念 | 核心规则 | 考试提醒 |
| --- | --- | --- |
| 化简有理式 | 因式分解分子/分母，约去公因子 | 写出分母为零对应的x排除值 |
| 复合函数fg(x) | 先作用g再作用f，将g(x)代入f | 顺序从右到左，不是从左到右 |
| 反函数 | 仅对一对一函数存在，图像关于y=x对称 | f⁻¹的定义域等于原函数f的值域 |
| 模方程/不等式 | 按模内表达式≥0和<0拆分情况讨论 | 验证所有解/区间的有效性 |
| 复合变换 | 先作用拉伸/反射，再作用平移 | y=f(ax+b)不在P3考核范围内 |

## 下一步

掌握P3代数与函数内容后，你可以继续学习P3的下一个核心主题：三角恒等式与三角方程，该主题大量用到你刚学到的函数变换技巧。你掌握的有理式化简技能也会对后续P3微积分内容（包括更复杂函数的求导和积分）起到关键作用。本主题是P4部分分式和进阶微积分内容的基础，请确保你能熟练求解模不等式、计算反函数后再继续学习。定期练习历年真题，避开常见失分点，提升考试答题速度。

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