三角学

Edexcel 国际A-Level 数学· 2018 Specification (Issue 3), P2 §6.1-6.2· 40 分钟阅读

1. P2核心三角恒等式★★☆☆☆⏱ 10 min

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📘 定义

P2要求掌握的三角恒等式

你必须熟记的两个恒等式（考试公式手册中不会提供），适用于所有P2三角问题：

1. \\ \text{tan}\theta = \frac{\text{sin}\theta}{\text{cos}\theta} \quad (\text{valid when } \text{cos}\theta \neq 0)

2. \\ \text{sin}^2\theta + \text{cos}^2\theta = 1

你可以对第二个恒等式变形，用于替换平方形式的三角比： $sin^{2} θ = 1 - cos^{2} θ$ 或 $cos^{2} θ = 1 - sin^{2} θ$ ，这对后续求解二次三角方程至关重要。

📐 例题

已知 $sin θ = \frac{5}{13}$ 且θ为锐角，求 $cos θ$ 和 $tan θ$ 的精确值。

1
步骤1：使用恒等式 $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ ，代入 $sin θ = \frac{5}{13}$ ：
$(\frac{5}{13})^2 + \text{cos}^2\theta = 1$
2
整理求解 $cos^{2} θ$ ：
$\text{cos}^2\theta = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$
3
由于θ是锐角， $cos θ$ 为正，因此 $cos θ = \frac{12}{13}$
4
步骤2：使用恒等式 $tan θ = \frac{sin θ}{cos θ}$ ：
$\text{tan}\theta = \frac{\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}} = \frac{5}{12}$

2. 求解含变换自变量的三角方程★★★☆☆⏱ 15 min

✓ 计算器

P2三角方程包含对角度（自变量）的单次线性变换，例如 $x + 3 0^{o}$ , $2 x$ , $2 (x + \frac{π}{6})$ 。遵循以下4步方法即可正确求解：

用u代换变换后的自变量，对给定区间的上下限执行相同的变换，得到u的取值范围
在调整后的区间内找到u的所有解
对每个合法的u值变形求解对应的x值
验证所有x解都落在原给定区间内

📐 例题

求解 $sin (x + \frac{π}{2}) = \frac{3}{4}$ ，其中 $0 < x < 2 π$ ，答案保留2位小数。

1
步骤1：令 $u = x + \frac{π}{2}$ ，调整区间： $0 + \frac{π}{2} < u < 2 π + \frac{π}{2} \to \frac{π}{2} < u < \frac{5 π}{2}$
2
步骤2：求解 $sin u = 0.75$ 。主解为 $u = arcsin (0.75) \approx 0.848$ 弧度，该值低于区间下限，接下来的合法解为：
$u = \text{π} - 0.848 ≈ 2.294 \text{ rad}, \quad u = 2\text{π} + 0.848 ≈ 7.131 \text{ rad}$
3
步骤3：求解x： $x = u - \frac{π}{2}$
$x ≈ 2.294 - 1.571 = 0.72, \quad x ≈ 7.131 - 1.571 = 5.56$
4
步骤4：验证0.72和5.56都落在 $0 < x < 2 π$ （≈6.28）范围内，均为合法解。

3. 求解二次三角方程★★★★☆⏱ 15 min

✓ 计算器

二次三角方程同时包含平方项三角比和一次项三角比，例如 $6 cos^{2} x + sin x - 5 = 0$ 。利用恒等式 $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ 将方程改写为单一三角比的二次方程，再按常规方法求解。

📐 例题

求解 $6 cos^{2} x + sin x - 5 = 0$ ，其中 $0 \leq x < 36 0^{o}$ ，非精确答案保留1位小数。

1
步骤1：将 $cos^{2} x$ 替换为 $1 - sin^{2} x$ ，得到关于 $sin x$ 的二次方程：
$6(1 - \text{sin}^2x) + \text{sin}x -5 = 0 → 6\text{sin}^2x - \text{sin}x - 1 = 0$
2
步骤2：令 $y = sin x$ ，求解二次方程：
$(3y + 1)(2y - 1) = 0 → y = -\frac{1}{3} \text{ or } y = \frac{1}{2}$
3
步骤3：求解 $sin x = \frac{1}{2}$ ：区间内的解为 $x = 3 0^{o}, 15 0^{o}$
4
步骤4：求解 $sin x = - \frac{1}{3}$ ：主解≈-19.47°，因此区间内的合法解为 $x = 180 + 19.47 = 199. 5^{o}, 360 - 19.47 = 340. 5^{o}$
5
最终解： $3 0^{o}, 15 0^{o}, 199. 5^{o}, 340. 5^{o}$

4. 常见陷阱

错误做法:

求解含变换自变量的方程时忘记调整区间

原因:

你会漏掉合法解，或者得到原区间外的无效解，最多丢失本题一半的分数

正确做法:

首先用u代换变换后的自变量，对原区间上下限执行相同的变换，得到u的合法取值范围后再开始求解

错误做法:

使用P3阶段的三角恒等式（正割、余割、倍角、和角公式）求解P2方程

原因:

这些内容不属于P2考纲要求，你会无谓出错或者浪费考试时间

正确做法:

所有P2三角问题仅使用两个核心恒等式（ $tan θ = \frac{sin θ}{cos θ}$ 和 $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ ）

错误做法:

未检查区间就直接舍去负的三角比解

原因:

第2、3、4象限的角度对应的正弦或余弦值为负，这样做会直接排除最多一半的合法解

正确做法:

在求解x之前，先在调整后的区间内找到该三角比的所有解，包括三角比为负的解

错误做法:

为了简化将三角方程两边同时除以 $sin x$ 或 $cos x$

原因:

这会移除所有被除三角比等于0的解，导致失分

正确做法:

将所有项移到方程的同一侧，提取公有的三角比进行因式分解，不要做除法

5. 速查表

知识点	公式/方法	关键考试提示
核心恒等式1	$sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$	必须熟记，公式手册中不提供
核心恒等式2	$tan θ = \frac{sin θ}{cos θ}$	仅当 $cos θ \neq = 0$ 时成立
变换自变量方程	为u调整区间 2. 求解u 3. 求解x	先调整区间避免漏解
二次三角方程	用恒等式替换平方项→求解二次方程→求解三角方程	绝对不要除以三角比，改用因式分解

深入阅读

formula_bookEdexcel IAL 数学公式手册本手册不包含P2阶段的三角恒等式，你必须自行熟记这些内容

下一步

掌握P2三角学内容后，你就可以进阶学习纯数学3（P3）中的更高级三角内容，包括倒数三角比、和角与倍角恒等式、R型表达式。这些技能直接建立在你现在学到的核心恒等式和方程求解方法之上，所以在继续学习之前，请确保你能熟练求解所有P2风格的三角方程。你也可以用P2历年真题练习这些技能，熟悉Edexcel的考试表述和评分标准要求，确保避开本指南列出的所有常见陷阱。