# 三角学

> Edexcel 国际A-Level 数学 · IAL 数学 P2 (WMA12)
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-p2-trigonometry/

本指南严格贴合2018版IAS考纲要求，覆盖Edexcel IAL纯数学2（P2）三角学模块所需的核心三角恒等式与方程求解技能。

**先修:** [P1阶段的三角函数图像与基础方程求解](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-p1-basic-trigonometry/); 求解线性与二次代数方程

## 学习目标

- 牢记并应用P2两大核心三角恒等式：$\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ 和 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
- 在给定区间内求解含变换自变量的线性三角方程
- 利用恒等式$\text{sin}^2\theta + \text{cos}^2\theta = 1$求解二次三角方程
- 规避P2三角题作答时的常见考试陷阱

## P2核心三角恒等式

**P2要求掌握的三角恒等式** — 你必须熟记的两个恒等式（考试公式手册中不会提供），适用于所有P2三角问题：

$$1. \\ \text{tan}\theta = \frac{\text{sin}\theta}{\text{cos}\theta} \quad (\text{valid when } \text{cos}\theta \neq 0)$$

$$2. \\ \text{sin}^2\theta + \text{cos}^2\theta = 1$$

你可以对第二个恒等式变形，用于替换平方形式的三角比：$\text{sin}^2\theta = 1 - \text{cos}^2\theta$ 或 $\text{cos}^2\theta = 1 - \text{sin}^2\theta$，这对后续求解二次三角方程至关重要。

**例题:** 已知$\text{sin}\theta = \frac{5}{13}$且θ为锐角，求$\text{cos}\theta$和$\text{tan}\theta$的精确值。

1. 步骤1：使用恒等式$\text{sin}^2\theta + \text{cos}^2\theta = 1$，代入$\text{sin}\theta = \frac{5}{13}$：

   $$(\frac{5}{13})^2 + \text{cos}^2\theta = 1$$
2. 整理求解$\text{cos}^2\theta$：

   $$\text{cos}^2\theta = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$$
3. 由于θ是锐角，$\text{cos}\theta$为正，因此$\text{cos}\theta = \frac{12}{13}$
4. 步骤2：使用恒等式$\text{tan}\theta = \frac{\text{sin}\theta}{\text{cos}\theta}$：

   $$\text{tan}\theta = \frac{\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}} = \frac{5}{12}$$

*计算器:* allowed

## 求解含变换自变量的三角方程

P2三角方程包含对角度（自变量）的单次线性变换，例如$x + 30^\text{o}$, $2x$, $2(x+\frac{\text{π}}{6})$。遵循以下4步方法即可正确求解：

1. 用u代换变换后的自变量，对给定区间的上下限执行相同的变换，得到u的取值范围
2. 在调整后的区间内找到u的所有解
3. 对每个合法的u值变形求解对应的x值
4. 验证所有x解都落在原给定区间内

> **tip**
>
> 务必首先调整区间：这是最常被跳过的步骤，会导致漏解或多解。

**例题:** 求解$\text{sin}(x+\frac{\text{π}}{2}) = \frac{3}{4}$，其中$0 < x < 2\text{π}$，答案保留2位小数。

1. 步骤1：令$u = x + \frac{\text{π}}{2}$，调整区间：$0 + \frac{\text{π}}{2} < u < 2\text{π} + \frac{\text{π}}{2} → \frac{\text{π}}{2} < u < \frac{5\text{π}}{2}$
2. 步骤2：求解$\text{sin}u = 0.75$。主解为$u = \text{arcsin}(0.75) ≈ 0.848$ 弧度，该值低于区间下限，接下来的合法解为：

   $$u = \text{π} - 0.848 ≈ 2.294 \text{ rad}, \quad u = 2\text{π} + 0.848 ≈ 7.131 \text{ rad}$$
3. 步骤3：求解x：$x = u - \frac{\text{π}}{2}$

   $$x ≈ 2.294 - 1.571 = 0.72, \quad x ≈ 7.131 - 1.571 = 5.56$$
4. 步骤4：验证0.72和5.56都落在$0 < x < 2\text{π}$（≈6.28）范围内，均为合法解。

*计算器:* allowed

## 求解二次三角方程

二次三角方程同时包含平方项三角比和一次项三角比，例如$6\text{cos}^2x + \text{sin}x - 5 = 0$。利用恒等式$\text{sin}^2\theta + \text{cos}^2\theta = 1$将方程改写为单一三角比的二次方程，再按常规方法求解。

> **warning**
>
> 绝对不要将方程两边同时除以$\text{sin}x$或$\text{cos}x$：这会消去所有该三角比等于0的解，导致失分。请始终使用因式分解代替。

**例题:** 求解$6\text{cos}^2x + \text{sin}x - 5 = 0$，其中$0 ≤ x < 360^\text{o}$，非精确答案保留1位小数。

1. 步骤1：将$\text{cos}^2x$替换为$1 - \text{sin}^2x$，得到关于$\text{sin}x$的二次方程：

   $$6(1 - \text{sin}^2x) + \text{sin}x -5 = 0 → 6\text{sin}^2x - \text{sin}x - 1 = 0$$
2. 步骤2：令$y = \text{sin}x$，求解二次方程：

   $$(3y + 1)(2y - 1) = 0 → y = -\frac{1}{3} \text{ or } y = \frac{1}{2}$$
3. 步骤3：求解$\text{sin}x = \frac{1}{2}$：区间内的解为$x = 30^\text{o}, 150^\text{o}$
4. 步骤4：求解$\text{sin}x = -\frac{1}{3}$：主解≈-19.47°，因此区间内的合法解为$x = 180 + 19.47 = 199.5^\text{o}, 360 - 19.47 = 340.5^\text{o}$
5. 最终解：$30^\text{o}, 150^\text{o}, 199.5^\text{o}, 340.5^\text{o}$

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 求解含变换自变量的方程时忘记调整区间
  - 原因: 你会漏掉合法解，或者得到原区间外的无效解，最多丢失本题一半的分数
  - 正确做法: 首先用u代换变换后的自变量，对原区间上下限执行相同的变换，得到u的合法取值范围后再开始求解
- **错误做法:** 使用P3阶段的三角恒等式（正割、余割、倍角、和角公式）求解P2方程
  - 原因: 这些内容不属于P2考纲要求，你会无谓出错或者浪费考试时间
  - 正确做法: 所有P2三角问题仅使用两个核心恒等式（$\text{tan}\theta = \frac{\text{sin}\theta}{\text{cos}\theta}$ 和 $\text{sin}^2\theta + \text{cos}^2\theta = 1$）
- **错误做法:** 未检查区间就直接舍去负的三角比解
  - 原因: 第2、3、4象限的角度对应的正弦或余弦值为负，这样做会直接排除最多一半的合法解
  - 正确做法: 在求解x之前，先在调整后的区间内找到该三角比的所有解，包括三角比为负的解
- **错误做法:** 为了简化将三角方程两边同时除以$\text{sin}x$或$\text{cos}x$
  - 原因: 这会移除所有被除三角比等于0的解，导致失分
  - 正确做法: 将所有项移到方程的同一侧，提取公有的三角比进行因式分解，不要做除法

## 速查表

| 知识点 | 公式/方法 | 关键考试提示 |
| --- | --- | --- |
| 核心恒等式1 | $\text{sin}^2\theta + \text{cos}^2\theta = 1$ | 必须熟记，公式手册中不提供 |
| 核心恒等式2 | $\text{tan}\theta = \frac{\text{sin}\theta}{\text{cos}\theta}$ | 仅当$\text{cos}\theta ≠ 0$时成立 |
| 变换自变量方程 | 1. 为u调整区间 2. 求解u 3. 求解x | 先调整区间避免漏解 |
| 二次三角方程 | 用恒等式替换平方项→求解二次方程→求解三角方程 | 绝对不要除以三角比，改用因式分解 |

## 下一步

掌握P2三角学内容后，你就可以进阶学习纯数学3（P3）中的更高级三角内容，包括倒数三角比、和角与倍角恒等式、R型表达式。这些技能直接建立在你现在学到的核心恒等式和方程求解方法之上，所以在继续学习之前，请确保你能熟练求解所有P2风格的三角方程。你也可以用P2历年真题练习这些技能，熟悉Edexcel的考试表述和评分标准要求，确保避开本指南列出的所有常见陷阱。

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