数列与级数

Q: 我需要背诵AP和GP的求和公式吗？

虽然这些公式会在考试公式手册中提供，但你必须能够完整推导两个证明，因为推导题是常规考点。

Q: 什么时候我可以使用GP的无穷项和公式？

无穷项和仅当公比的绝对值小于1（）时适用，此时级数收敛到一个固定的有限值。

Q: P2涵盖负指数的二项式展开吗？

不，P2仅要求掌握正整数次幂的的二项式展开。负指数和有理指数的内容在纯数学4（P4）中讲解。

Edexcel 国际A-Level 数学· 2018 考纲（第3版），首次考试2019年1月· 35 分钟阅读

1. 数列的类型与递推关系★★☆☆☆⏱ 8 min

✓ 计算器

📘 定义

数列

由第n项公式 $u_{n} = f (n)$ 或带有给定初始项 $u_{1}$ 的递推关系 $u_{n + 1} = f (u_{n})$ 定义的有序项列表。

例:

偶数数列的第n项为 $u_{n} = 2 n$ 。

数列可分类为：
• 递增：对所有 $n \in N$ ， $u_{n + 1} > u_{n}$
• 递减：对所有 $n \in N$ ， $u_{n + 1} < u_{n}$
• 周期：对所有n， $u_{n + k} = u_{n}$ ，其中k为周期（循环长度）。

📐 例题

某数列定义为 $u_{1} = 3$ ， $u_{n + 1} = 2 u_{n} - 1$ 。求前4项，对数列分类，若为周期数列则说明其周期。

1
计算前4项： $u_{1} = 3$ ， $u_{2} = 2 (3) - 1 = 5$ ， $u_{3} = 2 (5) - 1 = 9$ ， $u_{4} = 2 (9) - 1 = 17$
2
验证分类：每一项都大于前一项，因此该数列为递增数列。
3
验证周期性：项不重复，因此该数列不是周期数列。

Exam tip:

递推关系题通常要求你验证数列的收敛性；对于Edexcel P2，仅对等比递推关系应用GP收敛规则 $∣ r ∣ < 1$ 。

2. 等差数列与级数（AP）★★★☆☆⏱ 10 min

✓ 计算器

📘 定义

等差数列（AP）

$u_{n} = a + (n - 1) d$ , $S_{n} = \frac{1}{2} n [2 a + (n - 1) d]$

连续项之间具有恒定公差 $d$ 的数列，其中 $a$ 为首项。

例:

数列2, 5, 8, 11的 $a = 2$ ， $d = 3$ 。

🔬 推导

目标:

证明等差数列前n项的和

1
正序写出和： $S_{n} = a + (a + d) + (a + 2 d) + ... + (a + (n - 1) d)$
2
倒序写出和： $S_{n} = (a + (n - 1) d) + (a + (n - 2) d) + ... + a$
3
两式相加： $2 S_{n} = n [2 a + (n - 1) d]$
4
整理得： $S_{n} = \frac{1}{2} n [2 a + (n - 1) d] = \frac{1}{2} n (a + l)$ ，其中 $l$ 为末项。

结果:

该求和公式对所有有限等差数列均成立。

前n个自然数的和是a=1、d=1的AP特例： $S_{n} = \frac{1}{2} n (n + 1)$ 。西格玛符号 $\sum_{r = 1}^{n} u_{r}$ 用于表示从r=1到r=n的项的和。

📐 例题

求等差数列7, 11, 15, 19...的前20项和。使用AP求和证明的结构验证你的结果。

1
确定参数： $a = 7$ ， $d = 4$ ， $n = 20$
2
计算第20项： $u_{20} = 7 + (20 - 1) (4) = 83$
3
使用求和公式： $S_{20} = \frac{1}{2} * 20 * (7 + 83) = 10 * 90 = 900$
4
验证：正序+倒序相加得到20对和均为90的项，因此 $2 S_{20} = 20 * 90 = 1800$ ，确认 $S_{20} = 900$ 。

Exam tip:

AP求和公式的证明是常规的3-4分题；请准确记忆正序/倒序相加法。

3. 等比数列与级数（GP）★★★☆☆⏱ 10 min

✓ 计算器

📘 定义

等比数列（GP）

$u_{n} = a r^{n - 1}$ , $S_{n} = \frac{a ( 1 - r ^{n} )}{1 - r}$ ( $r \neq = 1$ ), $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$ ( $∣ r ∣ < 1$ )

连续项之间具有恒定公比 $r$ 的数列，其中 $a$ 为首项。

例:

数列2, 6, 18, 54的 $a = 2$ ， $r = 3$ 。

🔬 推导

目标:

证明等比数列前n项的和

1
写出和： $S_{n} = a + a r + a r^{2} + ... + a r^{n - 1}$
2
两边乘以 $r$ ： $r S_{n} = a r + a r^{2} + ... + a r^{n - 1} + a r^{n}$
3
用第一个式子减去第二个式子： $S_{n} - r S_{n} = a - a r^{n}$
4
因式分解并整理： $S_{n} (1 - r) = a (1 - r^{n})$ → $S_{n} = \frac{a ( 1 - r ^{n} )}{1 - r}$ ，其中 $r \neq = 1$ 。

结果:

该求和公式对所有 $r \neq = 1$ 的有限等比数列均成立。

对于 $∣ r ∣ < 1$ 的收敛GP，当 $n \to \infty$ 时， $r^{n} \to 0$ ，因此无穷项和为 $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$ 。当给定目标和或项值时，可使用对数求解n。

📐 例题

某GP首项为100，公比为0.8。求：(a)前10项的和，(b)无穷项和，(c)满足 $u_{n} < 1$ 的最小n值。

1
(a) 前10项和： $S_{10} = \frac{100 ( 1 - 0. 8 ^{10} )}{1 - 0.8} = 500 (1 - 0.1074) = 446.3$ （保留1位小数）
2
(b) $∣0.8∣ < 1$ ，因此无穷项和： $S_{\infty} = \frac{100}{1 - 0.8} = 500$
3
(c) 令 $u_{n} < 1$ ： $100 * 0. 8^{n - 1} < 1$ → $0. 8^{n - 1} < 0.01$ 。两边取自然对数： $(n - 1) ln (0.8) < ln (0.01)$ 。由于 $ln (0.8)$ 为负，反转不等号： $n - 1 > \frac{l n ( 0.01 )}{l n ( 0.8 )} \approx 20.6$ ，因此最小整数 $n = 22$ 。

Exam tip:

使用无穷项和公式时必须明确说明 $∣ r ∣ < 1$ ，这是Edexcel考试的得分点。

4. 正整数n的二项式展开★★★★☆⏱ 7 min

✓ 计算器

📘 定义

二项式展开（正整数n）

$(a + b)^{n} = \sum_{r = 0}^{n} (r n) a^{n - r} b^{r}$ , $(r n) =^{n} C_{r} = \frac{n !}{r ! ( n - r )!}$

将二项式的正整数次幂 $n$ 展开的形式，其中 $^{n} C_{r}$ 为二项式系数。

例:

$(1 + x)^{3} = 1 + 3 x + 3 x^{2} + x^{3}$

对于形如 $(a + b x)^{n}$ 的展开，在标准公式中将 $b$ 替换为 $b x$ 即可。你可以使用计算器上的 $^{n} C_{r}$ 功能快速计算二项式系数，但必须写出推导过程以获得步骤分。

📐 例题

求 $(2 - 3 x)^{5}$ 按x升幂展开的前4项，并写出 $x^{3}$ 的系数。

1
确定参数： $a = 2$ ， $b = - 3 x$ ， $n = 5$
2
$\binom{5}{0}2^5(-3x)^0 = 1 * 32 * 1 = 32$
3
$\binom{5}{1}2^4(-3x)^1 = 5 * 16 * (-3x) = -240x$
4
$\binom{5}{2}2^3(-3x)^2 = 10 * 8 * 9x^2 = 720x^2$
5
$\binom{5}{3}2^2(-3x)^3 = 10 * 4 * (-27x^3) = -1080x^3$
6
前4项： $32 - 240 x + 720 x^{2} - 1080 x^{3}$ 。 $x^{3}$ 的系数为-1080。

Exam tip:

二项式展开时务必将幂次作用于x的整个系数（包括符号），避免常见的符号错误。

5. 常见陷阱

错误做法:

在GP问题中求解n时，除以小于1的数的对数后忘记反转不等号方向。

原因:

0到1之间的数的对数为负数，除以负值会翻转不等号方向。

正确做法:

除法前检查对数值的符号，若除数为负则明确反转不等号。

错误做法:

对 $∣ r ∣ \geq 1$ 的GP使用无穷项和公式。

原因:

若 $∣ r ∣ \geq 1$ ，项不会趋近于0，因此级数发散，不存在有限的无穷项和。

正确做法:

应用无穷项和公式前务必验证 $∣ r ∣ < 1$ ，并在考试答案中明确写出该条件。

错误做法:

在AP求和证明中，正序和倒序相加时出错。

原因:

每对项的和都等于同一个值（a + l，其中l为末项），因此共有n个相同的对，得到 $2 S_{n} = n (a + l)$ 。

正确做法:

牢记完整的证明结构：先正序写出 $S_{n}$ ，再倒序写出，逐项相加，整理得到 $S_{n}$ 。

错误做法:

二项式展开时忘记将幂次作用于x的整个系数。

原因:

若项为 $(- 3 x)^{r}$ ，幂次同时作用于-3和x，而非仅作用于x。

正确做法:

展开时将整个x项放在括号内，确保幂次同时作用于系数、符号和变量。

错误做法:

混淆AP和GP的第n项公式：对AP使用 $a r^{n - 1}$ 或对GP使用 $a + (n - 1) d$ 。

原因:

AP使用加法的恒定公差，GP使用乘法的恒定公比，因此公式不可互换。

正确做法:

选择第n项公式前，先检查数列是具有恒定公差（AP）还是恒定公比（GP）。

6. 速查表

概念	公式	关键说明	考试要求
数列分类	$u_{n + 1} > u_{n}$ （递增）, $u_{n + 1} < u_{n}$ （递减）, $u_{n + k} = u_{n}$ （周期k）	测试≥4项以确认模式	对给定数列/递推关系进行分类
AP第n项	$u_{n} = a + (n - 1) d$	a = 首项，d = 公差	求解未知项/公差
AP求和	$S_{n} = \frac{1}{2} n (2 a + (n - 1) d) = \frac{1}{2} n (a + l)$	l = 末项	要求掌握证明；计算有限和
GP第n项	$u_{n} = a r^{n - 1}$	a = 首项，r = 公比	使用对数求解n
GP求和	$S_{n} = \frac{a ( 1 - r ^{n} )}{1 - r}$ (r≠1), $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$ (\|r\|<1)	仅对收敛级数使用S∞	要求掌握证明；使用S∞时需说明\|r\|<1条件
二项式展开	$(a + b x)^{n} = \sum_{r = 0}^{n} (r n) a^{n - r} (b x)^{r}$	$(r n) =^{n} C_{r} = \frac{n !}{r ! ( n - r )!}$ ，仅适用于正整数n	求解指定系数/项

7. 常见问题

我需要背诵AP和GP的求和公式吗？

虽然这些公式会在考试公式手册中提供，但你必须能够完整推导两个证明，因为推导题是常规考点。

什么时候我可以使用GP的无穷项和公式？

无穷项和 $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$ 仅当公比的绝对值小于1（ $∣ r ∣ < 1$ ）时适用，此时级数收敛到一个固定的有限值。

P2涵盖负指数的二项式展开吗？

不，P2仅要求掌握正整数次幂的 $(a + b x)$ 的二项式展开。负指数和有理指数的内容在纯数学4（P4）中讲解。

深入阅读

下一步

掌握P2数列与级数后，你就可以开始学习IAL考试所需的更进阶的纯数学主题了。接下来你将学习三角函数的求导与积分，这些内容建立在你的代数和级数知识基础上，用于求解微积分问题。你也可以练习本主题的考试题型以巩固理解，复习后续主题（如P4有理指数二项式级数和进阶微积分）会用到的证明技巧。请务必牢记要求掌握的AP和GP求和证明，这些是高频低难度的得分点，考试中不应失分。